湖南省娄底市高二数学下学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年湖南省娄底市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（60分每题5分）1若p=x|x1，q=x|x1，则（）apqbqpcrpqdqrp2abc中，已知ab=3，bc=5，b=，这个三角形的面积等于（）ab15cd3在等差数列an中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项的和是（）a13b26c52d564甲、乙、丙三人站在一起照相留念，乙正好站中间的概率为（）abcd5已知正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别为棱bc和棱cc1的中点，则异面直线ac和ef所成的角为（）a30b45c60d906如图框图，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）a7b8c10d117如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）abc4d88已知x1，1，y0，2，则点p（x，y）落在区域内的概率为（）abcd9设函数，且其图象关于y轴对称，则函数y=f（x）的一个单调递减区间是（）abcd10平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知两点a（2，1），b（1，3），若点c满足=+，其中0，1，且+=1，则点c的轨迹方程为（）a2x+3y4=0b（x）2+（y1）2=25c4x+3y5=0（1x2）d3xy+8=0（1x2）11设点p是函数y=图象上的任意一点，点q（2a，a3）（ar），则|pq|的最小值为（）a2bc2d212定义域为r的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x0，2）时，f（x）=若x4，2）时，f（x）有解，则实数t的取值范围是（）a2，0）（0，1）b2，0）1，+）c2，1d（，2（0，1二、填空题（20分每题5分）13已知tan（）=，tan（）=，则tan=14如图，在abc中， =，p是bn上的一点，若=m+，则实数m的值为15设函数，则f（x）2时x的取值范围是16数列an的通项an=n2（cos2sin2），其前n项和为sn，则s30为三、解答题（题型注释）17设数列an和bn满足：a1=，3an+1=2an（nn*），b1+（nn*）（1）求数列anbn的通项公式；（2）求数列bn前n项的和sn18某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：50，6060，7070，8080，9090，100（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分19如图，四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，ab=2ad，pd底面abcd，e，f分别为棱ab，pc的中点（1）求证：ef平面pad；（2）求证：平面pde平面pec20已知圆c：（x3）2+（y4）2=4，直线l1过定点a（1，0）（1）若直线l1与圆相切，切点为b，求线段ab的长度；（2）若l1与圆相交于p，q两点，线段pq的中点为m，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为n，判断aman是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由21已知，（）求tanx的值；（）求的值22设函数f（x）=kaxax（a0且a1，kr），f（x）是定义域为r上的奇函数（1）求k的值，并证明当a1时，函数f（x）是r上的增函数；（2）已知，函数g（x）=a2x+a2x4f（x），x1，2，求g（x）的值域；（3）若a=4，试问是否存在正整数，使得f（2x）f（x）对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由2015-2016学年湖南省娄底市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（60分每题5分）1若p=x|x1，q=x|x1，则（）apqbqpcrpqdqrp【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】利用集合的补集的定义求出p的补集；利用子集的定义判断出qcrp【解答】解：p=x|x1，crp=x|x1，q=x|x1，qcrp，故选d2abc中，已知ab=3，bc=5，b=，这个三角形的面积等于（）ab15cd【考点】正弦定理【分析】根据题意和三角形的面积公式直接求出这个三角形的面积【解答】解：ab=3，bc=5，b=，这个三角形的面积s=，故选：a3在等差数列an中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项的和是（）a13b26c52d56【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和【分析】可得a3+a5=2a4，a7+a13=2a10，代入已知可得a4+a10=4，而s13=，代入计算可得【解答】解：由等差数列的性质可得：a3+a5=2a4，a7+a13=2a10，代入已知可得32a4+23a10=24，即a4+a10=4，故数列的前13项之和s13=26故选b4甲、乙、丙三人站在一起照相留念，乙正好站中间的概率为（）abcd【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】所有的坐法共有种，乙正好坐中间的坐法有种，由此可得乙正好坐中间的概率【解答】解：所有的坐法共有a种，乙正好坐中间的坐法有a种，由此可得乙正好坐中间的概率为：故选b5已知正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别为棱bc和棱cc1的中点，则异面直线ac和ef所成的角为（）a30b45c60d90【考点】异面直线及其所成的角【分析】连接bc1，a1c1，a1b，根据正方体的几何特征，我们能得到a1c1b即为异面直线ac和ef所成的角，判断三角形a1c1b的形状，即可得到异面直线ac和ef所成的角【解答】解：连接bc1，a1c1，a1b，如图所示：根据正方体的结构特征，可得efbc1，aca1c1，则a1c1b即为异面直线ac和ef所成的角bc1=a1c1=a1b，a1c1b为等边三角形故a1c1b=60故选c6如图框图，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）a7b8c10d11【考点】选择结构【分析】从程序框图中得到求p的解析式；列出方程，求出x3的值【解答】解：解得x3=8故选b7如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）abc4d8【考点】由三视图求面积、体积【分析】由题意求出菱形的边长，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，求出正四棱锥侧面积，即可求解【解答】解：一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60的菱形，所以菱形的边长为：1，由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为1，侧棱长为：，所以几何体的表面积为： =4故选c8已知x1，1，y0，2，则点p（x，y）落在区域内的概率为（）abcd【考点】几何概型【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点p（x，y）对应图形的面积，及满足条件“内”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解【解答】解：不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为，则所求概率为故选b9设函数，且其图象关于y轴对称，则函数y=f（x）的一个单调递减区间是（）abcd【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性【分析】利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简函数解析式，由题意和正弦函数的对称轴求出的值，代入解析式利用诱导公式化简，再由余弦函数的单调区间求出f（x）的单调增区间，结合答案项进行判断即可【解答】解：由题意得，f（x）=2sin（）cos（）=2sin（），图象关于y轴对称，=k+，kz，又|，当k=1时，=满足题意，f（x）=2sin（）=2sin（）=2cos，由2k2k可得4k2x4k，函数f（x）的单调递增区间为4k2，4k，kz，当k=0时，函数f（x）的一个单调递增区间为2，0，当k=1时，函数f（x）的一个单调递增区间为2，4，所以a、b、d不正确；c正确，故选：c10平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知两点a（2，1），b（1，3），若点c满足=+，其中0，1，且+=1，则点c的轨迹方程为（）a2x+3y4=0b（x）2+（y1）2=25c4x+3y5=0（1x2）d3xy+8=0（1x2）【考点】轨迹方程【分析】设c（x，y），根据题意得到用x、y表示、的方程组，结合+=1消去、得4x+3y5=0再由0、1，解出x的取值范围，可得点c的轨迹方程【解答】解：设c（x，y），可得=（x，y）点a（2，1）、b（1，3），由=+，得，解得，又+=1，两式联解，消去、得4x+3y5=001且01，01，01，解得1x2由此可得点c的轨迹方程为4x+3y5=0（1x2）故选：c11设点p是函数y=图象上的任意一点，点q（2a，a3）（ar），则|pq|的最小值为（）a2bc2d2【考点】函数的最值及其几何意义【分析】将函数进行化简，得到函数对应曲线的特点，利用直线和圆的性质，即可得到结论【解答】解：由函数y=得（x1）2+y2=4，（y0），对应的曲线为圆心在c（1，0），半径为2的圆的下部分，点q（2a，a3），x=2a，y=a3，消去a得x2y6=0，即q（2a，a3）在直线x2y6=0上，过圆心c作直线的垂线，垂足为a，则|pq|min=|ca|2=2=2，故选：c12定义域为r的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x0，2）时，f（x）=若x4，2）时，f（x）有解，则实数t的取值范围是（）a2，0）（0，1）b2，0）1，+）c2，1d（，2（0，1【考点】分段函数的应用【分析】若若x4，2）时，f（x）有解，等价为fmin（x），根据条件求出fmin（x），即可得到结论【解答】解：当x0，1）时，f（x）=x2x，0当x1，2）时，f（x）=（0.5）|x1.5|1，当x0，2）时，f（x）的最小值为1又函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），f（x）=f（x+2），当x2，0）时，f（x）的最小值为，当x4，2）时，f（x）的最小值为，若x4，2）时，f（x）有解，即fmin（x）=，即4t（t+2）（t1）0且t0解得：t2，0）1，+），故选：b二、填空题（20分每题5分）13已知tan（）=，tan（）=，则tan=【考点】两角和与差的正切函数【分析】直接利用两角和与差的正切函数求解即可【解答】解：tan（）=，tan（）=，则tan=tan（）+（）=故答案为：，14如图，在abc中， =，p是bn上的一点，若=m+，则实数m的值为【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】由已知中abc中，p是bn上的一点，设后，我们易将表示为的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于，m的方程组，解方程组后即可得到m的值【解答】解：p是bn上的一点，设，由，则=m=1，解得=，m=故答案为：15设函数，则f（x）2时x的取值范围是0，+）【考点】对数函数的单调性与特殊点；分段函数的应用【分析】根据分段函数的表达式，解不等式即可，注意要对x进行分类讨论【解答】解：由分段函数可知，若x1，由f（x）2得，21x2，即1x1，x0，此时0x1，若x1，由f（x）2得1log2x2，即log2x1，即x，此时x1，综上：x0，故答案为：0，+）16数列an的通项an=n2（cos2sin2），其前n项和为sn，则s30为470【考点】数列的求和【分析】利用二倍角公式对已知化简可得，an=n2（cos2sin2）=n2cos，然后代入到求和公式中可得， +32cos2+302cos20，求出 特殊角的三角函数值之后，利用平方差公式分组求和即可求解【解答】解：an=n2（cos2sin2）=n2cos+32cos2+302cos20=+= 1+22232）+（42+52622）+= （1232）+（4262）+（2232）+（5262）+= 2（4+10+16+58）（5+11+17+59）= 2=470故答案为：470三、解答题（题型注释）17设数列an和bn满足：a1=，3an+1=2an（nn*），b1+（nn*）（1）求数列anbn的通项公式；（2）求数列bn前n项的和sn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）根据等比数列的定义即可求出，an为首项为，公比为的等比数列，可得其通项公式，由，两式相减即可得到bn的通项公式；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（1），an为首项为，公比为的等比数列，又令令n2，得， =，（n2），当n=1时，满足此式（nn*）；（2）令b1+b2+b3+bn=sn，相减得：，=，=，=，18某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：50，6060，7070，8080，9090，100（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a的值；（2）由平均数加权公式可得平均数为550.05+650.4+750.3+850.2+950.05，计算出结果既得【解答】解：（1）依题意，根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005图中a的值0.005（2）这100名学生语文成绩的平均分为：550.05+650.4+750.3+850.2+950.05=73（分），19如图，四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，ab=2ad，pd底面abcd，e，f分别为棱ab，pc的中点（1）求证：ef平面pad；（2）求证：平面pde平面pec【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）取pd的中点g，连接ag，fg，则由中位线定理可知四边形aefg是平行四边形，于是efag，从而得出ef平面pad；（2）由pd平面abcd得出pdce，由勾股定理的逆定理得出cede，于是ce平面pde，故而平面pde平面pec【解答】证明：（1）取pd的中点g，连接ag，fgf，g分别是pc，pd的中点，gfdc，gf=dc，又e是ab的中点，aedc，且ae=dc，gfae，且gf=ae，四边形aefg是平行四边形，故efag又ef平面pad，ag平面pad，ef平面pad（2）pd底面abcd，ec底面abcd，cepd四边形abcd是矩形，ab=2ad，de=ad，ce=ad，cd=2ad，de2+ce2=cd2，即cede，又pd平面pde，de平面pde，pdde=d，ce平面pdece平面pec，平面pde平面pec20已知圆c：（x3）2+（y4）2=4，直线l1过定点a（1，0）（1）若直线l1与圆相切，切点为b，求线段ab的长度；（2）若l1与圆相交于p，q两点，线段pq的中点为m，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为n，判断aman是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）利用几何法，连接ab，bc与ac，则bcab，且bc=2，从而求出ac与ab的值；（2）讨论斜率不存在以及为0，l1与圆c的位置关系，设出正弦l1的方程，利用直线与直线以及直线与圆的位置关系列出方程求出点m、n的坐标，计算aman的值即可【解答】解：（1）圆c：（x3）2+（y4）2=4，圆心为（3，4），半径为2，直线l1过定点a（1，0）；直线l1与圆c相切，切点为b，连接ab，bc与ac，则bcab，且bc=2，所以ac=2，ab=4，即线段ab的长度为4；（2）易知，若斜率不存在，则l1与圆相切，若斜率为0，则l1与圆相离，故直线的斜率存在，可设l1的方程：y=k（x1），由，解得，再由cml1，解得，又直线cml1，所以，解得，所以为定值21已知，（）求tanx的值；（）求的值【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正切【分析】（1）由可直接求出tan，再由二倍角公式可得tanx的值（2）先对所求式子进行化简，再同时除以cosx得到关于tanx的关系式得到答案【解答】解：（1）由，（2）原式=，由（1）知cosxsinx0，所以上式=cotx+1=22设函数f（x）=kaxax（a0且a1，kr），f（x）是定义域为r上的奇函数（1）求k的值，并证明当a1时，函数f（x）是r上的增函数；（2）已知，函数g（x）=a2x+a2x4f（x），x1，2，求g（x）的值域；（3）若a=4，试问是否存在正整数，使得f（2x）f（x）对