第1讲 等差数列、等比数列.docx

第1讲等差数列、等比数列【自主学习】第1讲等差数列、等比数列(本讲对应学生用书第5759页)自主学习回归教材1. (必修5 P39例3改编)已知等差数列an，如果点(n，an)在直线y=2x-1上，那么公差d=.【答案】2【解析】由题意知an=2n-1，所以公差为2.2. (必修5 P48习题7改编)在等差数列an中，已知S5=5，那么a3=.【答案】1【解析】由于S5=5a3=5，所以a3=1.3. (必修5 P54习题11改编)已知实数k和5k-2的等比中项是2k，那么k=.【答案】2【解析】由题意知k(5k-2)=(2k)2，即k2-2k=0，所以k=2或k=0(舍去).4. (必修5 P54习题6改编)已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成等比数列，则该等比数列的公比q=.【答案】3【解析】设等差数列公差为d，由a2，a3，a6依次构成等比数列得=a2a6，即(a2+d)2=a2(a2+4d)，d=2a2，所以等比数列的公比q=3.5. (必修5 P62习题13改编)对于任意实数x，若有an=xn，则数列an的前n项和Sn=.【答案】【解析】当x=0时，Sn=0；当x=1时，Sn=n；当x0，且x1时，Sn=.【要点导学】要点导学各个击破等差数列、等比数列的基本量运算例1(2015北京卷)已知等差数列an满足a1+a2=10，a4-a3=2.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设等比数列bn满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列an的第几项相等?【分析】(1) 利用等差数列的通项公式，将a1，a2，a3，a4关系式转化成a1和d的方程组，解方程得到a1和d的值，求出等差数列的通项公式；(2) 先利用第一问的结论得到b2和b3的值，再利用等比数列的通项公式，将b2和b3转化为b1和q，解出b1和q的值，得到b6的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n的值，即项数.【解答】(1) 设等差数列an的公差为d.因为a4-a3=2，所以d=2.又因为a1+a2=10，所以2a1+d=10，故a1=4，所以an=4+2(n-1)=2n+2.(2) 设等比数列bn的公比为q.因为b2=a3=8，b3=a7=16，所以q=2，b1=4，所以b6=426-1=128.由128=2n+2，得n=63.所以b6与数列an的第63项相等.【点评】(1) 本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生分析问题、解决问题的能力、转化能力、计算能力.本题求等差数列和等比数列的基本量的关系，利用通项公式求解.(2) 本题需要掌握的知识点是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，即等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d，等比数列的通项公式：an=a1qn-1.变式(2014重庆卷)已知an是首项为1、公差为2的等差数列，Sn表示数列an的前n项和.(1) 求an及Sn；(2) 设bn是首项为2的等比数列，公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0，求数列bn的通项公式及其前n项和Tn.【解答】(1) 因为an是首项a1=1，公差d=2的等差数列，所以an=a1+(n-1)d=2n-1，Sn=1+3+(2n-1)=n2.(2) 由(1)得a4=7，S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0，即q2-8q+16=0，所以(q-4)2=0，从而q=4.又b1=2，q=4，所以bn=b1qn-1=24n-1=22n-1，从而bn的前n项和Tn=(4n-1).等差数列、等比数列的判断与证明例2(2014徐州三模改编)已知数列an，bn满足a1=3，anbn=2，bn+1=an，nN*，证明数列是等差数列，并求数列bn的通项公式.【分析】结合等差数列的概念，要证明数列是等差数列，就是要证明-是一个常数.将anbn=2代入bn+1=an-=，即证明数列是等差数列.【解答】(1) 因为anbn=2，所以an=，则bn+1=anbn-=2-=2-=，所以-=.又a1=3，所以b1=.故，公差为的等差数列，即=+(n-1)=，所以bn=.【点评】判断或证明一个数列是等差数列或等比数列最直接和常用的方法就是定义法.结合等差数列、等比数列的概念，判断或证明数列是等差、等比数列的常用方法有以下三种：(1) 定义法；(2) 等比(差)中项法；(3) 根据数列通项特征求证.变式(2014江西卷)已知数列an的前n项和Sn=，nN*.(1) 求数列an的通项公式；(2) 求证：对任意的n1，都有mN*，使得a1，an，am成等比数列.【解答】(1) 当n=1时，a1=S1=1.当n2时，an=Sn-Sn-1=-=3n-2.当n=1时，a1=31-2=1，所以an=3n-2.(2) 若a1，an，am成等比数列，则=a1am，所以(3n-2)2=3m-2，即3m=(3n-2)2+2=9n2-12n+6，所以m=3n2-4n+2.则对任意n1，都有3n2-4n+2N*，所以对任意的n1，都有mN*，使得a1，an，am成等比数列.等差数列与等比数列综合例3(2015福建卷)在等差数列an中，已知a2=4，a4+a7=15.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设bn=+n，求b1+b2+b3+b10的值.【分析】(1) 由a2=4，a4+a7=15得到a1，d的方程组，求出a1，d，得an=n+2；(2) 由bn=+n得bn=2n+n通过分组求和完成运算.【解答】(1) 设等差数列an的公差为d.由已知得解得所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2) 由(1)可得bn=2n+n，所以b1+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10)=(2+22+23+210)+(1+2+3+10)=+=(211-2)+55=211+53=2 101.【点评】(1) 要求一个等差或等比数列的通项，只要求出等差数列的基本量是a1，d或者等比数列的基本量a1，q.本题中先找出确定等差数列给定的两个独立条件，通过两个条件联立方程组，解出a1，d，即可求出通项公式.(2) 把一个等差数列an放到指数上，如就构成一个新的等比数列；同样，把一个等比数列bn(bn0)放到真数上，如lg bn就构成了一个新的等差数列.变式(2014北京卷)在等差数列an中，已知a1=3，a4=12，在数列bn中，b1=4，b4=20，且bn-an为等比数列.(1) 求数列an和bn的通项公式；(2) 求数列bn的前n项和.【解答】(1) 设等差数列an的公差为d，由题意得d=3，故an=a1+(n-1)d=3n.设等比数列bn-an的公比为q，由题意得q3=8，解得q=2，所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1，从而bn=3n+2n-1.(2) 由(1)知bn=3n+2n-1，因为数列an的前n项和为n(n+1)，数列2n-1的前n项和为1=2n-1，所以数列bn的前n项和为n(n+1)+2n-1.1. (2015广东卷)在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=.【答案】10【解析】a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25，所以a5=5，所以a2+a8=2a5=10.2. (2015安徽卷)已知数列an是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列an的前n项和等于.【答案】2n-1【解析】设数列an的公比为q，由a2a3=a1a4=8，a1+a4=9知a1，a4是一元二次方程x2-9x+8=0的两根，解此方程得x=1或x=8.又数列an递增，因此a1=1，a4=a1q3=8，解得q=2，故数列an的前n项和Sn=2n-1.3. (2015全国卷)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S8=4S4，则a10=.【答案】【解析】因为公差d=1，S8=4S4，所以8a1+87=4，解得a1=，所以a10=a1+9d=+9=.4. (2015南京、盐城一模改编)已知数列an满足a1=-1，a2a1，|an+1-an|=2n(nN*)，若数列a2n-1单调递减，数列a2n单调递增，求数列an的通项公式.【解答】因为|an+1-an|=2n，所以当n=1时，|a2-a1|=2.由a2a1，a1=-1得a2=1.当n=2时，|a3-a2|=4，得a3=-3 或a3=5.因为a2n-1单调递减，所以a3=-3.当n=3时，|a4-a3|=8，得a4=5或a4=-11.因为a2n单调递增，所以a4=5.同理得a5=-11，a6=21.因为a2n-1单调递减，a1=-10，所以a2n-10.所以当n为奇数时(n3)，有an-an-1=-2n-1，an-1-an-2=2n-2.两式相加得an-an-2=-2n-2.那么a3-a1=-2；a5-a3=-23；an-an-2=-2n-2，以上各式相加得an-a1=-(2+23+25+2n-2)，所以an=a1-=-.同理，当n为偶数时，an=.所以an=也可以写成an=.【融会贯通】完善提高融会贯通典例(2014扬州期末)已知数列an的前n项和为Sn，若an和都是等差数列，则=.【答案】2【规范解答】方法一：设数列an的公差为d，依题意得2=+，即2=+，化简可得d=2a1，所以=2.方法二：设数列an的公差为d，则=， 由于是等差数列，所以a1-=0，那=2.方法三：因为Sn是等差数列an的前n项和，所以可设Sn=An2+Bn，又因为是等差数列，所以可设=an+b，所以=an+b，即An2+Bn=a2n2+2abn+b2， 所以A=a2，B=b=0，即Sn=a2n2，所以a1=S1=a2，a2=S2-S1=4a2-a2=3a2，所以=2.变式1设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列是公差为d的等差数列，则数列an的通项公式为.(用n，d表示)【答案】an=(2n-1)d2【解析】由题意知d0，=+(n-1)d=+(n-1)d，2a2=a1+a33a2=S33(S2-S1)=S3，3(+d)2-a1=(+2d)2，化简得a1-2d+d2=0，解得=d，即a1=d2，=d+(n-1)d=nd，Sn=n2d2，当n2时，an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=(2n-1)d2，适合n=1的情形.故所求an=(2n-1)d2.变式2已知数列an的前n项和为Sn，若an和都是等差数列，则的最小值为.【答案】21【解析】由范题赏析知d=2a1，所以an=(2n-1)a1，Sn=n2a1，所以=+21.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第35-36页.【课后检测】专题六数列第1讲等差数列、等比数列一、填空题1. (2015宿迁一模)已知an是等差数列，若2a7-a5-3=0，则a9=.2. (2015泰州二模)在等比数列an中，已知a3=4，a7-2a5-32=0，则a7=.3. (2015苏州期末)已知等差数列an中，a4+a6=10，若前5项和S5=5，则其公差为.4. (2015苏锡常镇、宿迁一调)已知等比数列an的各项均为正数，若a4=，a2+a4=，则a5=.5. 在等差数列an中，已知a1=-2 015，其前n项和为Sn，若-=2，则S2 015=.6. (2014扬州期末)设Sn是等比数列an的前n项和，若a5+2a10=0，则=.7. (2015南通、扬州、淮安、连云港二调)已知等差数列an的首项为4，公差为2，前n项和为Sn.若Sk-ak+5=44(kN*)，则k的值为.8. (2014苏州暑假调查)已知an是各项均为正数的等比数列，若2a4+a3-2a2-a1=8，则2a8+a7的最小值为.二、 解答题9. (2014南通期末)已知等差数列an，等比数列bn满足a1+a2=a3，b1b2=b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列.求数列an和数列bn的通项公式.10. 在数列an中，已知a1=，an=2-(n2，nN*)，数列bn满足bn=(nN*).(1) 求证：数列bn是等差数列；(2) 求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.11. (2015湖南卷)设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=2，且an+2=3Sn-Sn+1+3(nN*).(1) 求证：an+2=3an；(2) 求Sn.【课后检测答案】专题六数列第1讲等差数列、等比数列1. 3【解析】方法一：设公差为d，则2(a1+6d)-(a1+4d)-3=0，即a1+8d=3，所以a9=3.方法二：由等差数列的性质得a5+a9=2a7，所以(a5+a9)-a5-3=0，即a9=3.2. 64【解析】设公比为q，则有a3q4-2a3q2-32=0，即q4-2q2-8=0，解得q2=4(负值舍去)，故a7=a3q4=64.3. 2【解析】在等差数列an中，由S5=5a3=5，得a3=1.设公差为d，则a4+a6=(1+d)+(1+3d)=10，解得d=2.4. 【解析】设等比数列an的公比为q.因为a4=，所以a2q2=.又a20，所以a2=q2.因为+a2-=0，所以a2=或a2=-(舍去)，所以q2=，又q0，所以q=，所以a5=a2q3=.5. -2 015【解析】因为S12=12a1+d，S10=10a1+d，所以=a1+d，=a1+d.-=d=2.S2 015=2 015a1+d=2 015(-2 015+2 014)=-2015.6. 【解析】方法一：因为a5+2a10=0，即a5+2a5q5=0，所以q5=-，从而=1+q10=1+=.方法二：因为a5+2a10=0，即a5+2a5q5=0，所以q5=-，又S20=(1+q10)S10，所以=1+q10=1+=.7. 7【解析】由题意得an=4+2(n-1)=2n+2，Sn=n2+3n，所以Sk-ak+5=44可化为k2+3k-2(k+5)-2=44，即k2+k-56=0，解得k=7(k=-8舍去).8. 54【解析】设an的公比为q，由2a4+a3-2a2-a1=8，得(2a2+a1)q2-(2a2+a1)=8，所以(2a2+a1)(q2-1)=8，显然q21.2a8+a7=(2a2+a1)q6=.令t=q2，所以2a8+a7=，设函数f(t)=(t1)，f(t)=.