湖南省株洲市高二数学下学期期中试题 理.doc

湖南省株洲市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理时间 120 分钟，满分 150 分一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合 题目要求的)15 10i1在复平面内，复数3i对应的点的坐标为()a(1,3)b(3,1)c(1,3)d(3，1)答案a 12二项式(xx)6 的展开式中常数项为 ()a15 b15c20d20 1 1 33解析 二项式(x)6 的展开式的通项是 tr1c r x6 r()rcr (1)rx6r，令 6 r0，得 r66xx22 14.因此，二项式(x)6 的展开式中的常数项是 c4(1)415，故选 b6x3、6 名同学安排到 3 个社区 a，b，c 参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到 a社区，乙和丙同学均不能到 c 社区，则不同的安排方法种数为() a12b9c6d53解析： 从甲、乙、丙以外的 3 人中选 2 人到 c 社区，共 c2种，剩余的 4 人中除去甲后任选一人到 a社区共 c1种，剩余 2 人到 b 社区，共有 c2c19 种33 3(n3)(n4)4用数学归纳法证明等式 123(n3)是 ()(nn*)时，验证 n1，左边应取的项2a1b12c123d1234解析 当 n1 时，左12(13)124，故应选 d.5三次函数当 x1 时有极大值 4，当 x3 时有极小值 0，且函数过原点，则此函数是 () ayx36x29xbyx36x29xcyx36x29xdyx36x29x解析 由条件设 f(x)ax3bx2 cx，则 f (x)3ax22bxc3a( x1)(x3)，b6a，c9a，f(x)ax36ax29ax，f(1)4，a1.f(x)x36x29 x，故选 b.6在复平面内，点 a 对应的复数为 12i，ab(2,1)，则点 b 对应的复数的共轭复数为 ()a13ib13ic13id13i解析 由条件知 a(1,2)，又ab(2,1)，b(1,3)，点 b 对应复数 z13i，故 z 13i.7已知函数 f(x)x2bx 的图象在点 a(1，f(1)处的切线 l 与直线 3xy20 平行，若数列 1 的f(n)前 n 项和为 sn，则 s2017 的值为 ()2016a.20172015b.20162013c.20142014d2015解析 f (x)2xb，由 f (1)2b3，得 b1.则 f(x)x2x. 1 于是f(n) 1 n2n 1 1 n(n1) n 1 ，n1 1 1 1 s2017f(1)f(2)f(2017)11 1 1 1 1 2016 )( )()1.22 32016 20172017 2017(18、盒子中装有形状、大小完全相同的 3 个红球和 2 个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到 2 次时停止取球那么取球次数恰为 3 次的概率是 () 18a125 36b125 44c125 81d12533 2 3 36解析 每次取到红球的概率为 ，所求概率为 c1 .故选 b52 5 5 51259曲线 yx33x 和 yx 围成图形的面积为 () a4b8c10d9yx33x，解析 由yx，x0， 解得y0，x2， 或y2，x2， 或y2.yx33x 与 y x 都是奇函数，围成图形的面积为s22x(x33x)dx2 2(4xx3)dx 2(2x21x4) |28，故选 b.000410袋中有 4 只红球，3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得 3 分， 设得分为随机变量 x，则 p(x7)的值为()111316 726a. 30b.35c.35d.c4c4解析： 4 只球中黑球个数可能为 0,1,2,3，相应得分依次为 4,6,8,10.p(x7)p(x4) p(x6) 47c3 1 112 134c3 .7c4 3535 3511如图，第 n 个图形是由正 n2 边形“扩展”而来(n1,2,3，)，则第 n 个图形中顶点个数为 ()a(n1)(n2)b(n2)(n3)cn2dn解析 第一个图形共有 1234 个顶点，第二个图形共有 2045 个顶点，第三个图形共有 3056 个顶点，第四个图形共有 4267 个顶点，故第 n 个图形共有(n2)(n3)个顶点12已知 a0，函数 f(x)(x22ax)ex，若 f(x)在1,1上是单调减函数，则 a 的取值范围是()a.(0，3 )b.(1 3 )c.3 )()1d. 0，42 442解析 f(x)(2x2a)ex(x 22ax)e2x2(22a)x2aex，由题意当 x1,1时，f(x)0 恒成立，g， 即 x2(22a)x2a0 恒成立令 g(x)x2(22a)x2a，则有g，12 2a 2a0， 即1222a2a0，3解得 a .4二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13、复数 (2 + i)i 的虚部是 试题分析：由 (2 + i )i = 2i + i 2 = -1 + 2i ，则虚部是 2.14已知 cx= c3x-2，则 x = 10 10答案1 或 3lgx，x0，15设 f(x) xa3t2dt，x0， 若 f(f(1)1，则 a .00解析 f(1)0，f(f(1)f(0)0 a3t2dtt3 |aa31，a1.016、已知 0a1，方程 a|x|logax|的实根个数为 n，且(x1)n( x1)11a0a1(x2)a2(x2)2a10(x2)10a11(x2)11，则 a1 等于 解析 作出 ya|x|(0a1)与 y|logax|的 大致图象如图所示，所以 n2.故(x1)n(x1)11(x2111)2(x21)11，所以 a12c102119三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分) 五位师傅和五名徒弟站一排 (1)五名徒弟必须排在一起共有多少种排法？ (2)五名徒弟不能相邻共有多少种排法？ (3)师傅和徒弟相间共有多少种排法？解：(1)先将五名徒弟看作一人与五位师傅排列有 a6种排法，五名徒弟在内部全排列有 a5种，据乘法65原理排法共有 a6a586 400(种)6 5(2)先将五位师傅全排列有 a5种排法，再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位上有 a5种排法，据56乘法原则，排法共计 a5a586 400(种)6 55(3)先将五位师傅排列有 a5种排法，再将五名徒弟排 在五位师傅产生的六个空位中前五位或后五位上有 2a5种排法，据乘法原理 排法共有 2a5a528 800(种)55 518(本小题满分 12 分) (本小题满分 12 分) 某款游戏共四关，玩家只有通过上一关才能继续进入下一关游戏，每通过一关可得 10 分，现在甲和乙来玩这款游戏，已知甲每关通过的概率是 1 ，乙每关通过的概2率是 2 3(1) 求甲、乙两人最后得分之和为 20 的概率；(2) 设甲的最后得分为 x，求 x 的分布列解：(1) 设“甲、乙最后得分之和为 20”为事件 a，“甲 0 分，乙 20 分”为事件 b，“甲 10 分，乙 10 分” 为事件 c，“甲 20 分，乙 0 分”为事件 dp（b）=（1- 1）（2）2 （1- 2）= 2p（c）= 1 （1- 1） 2 （1- 2）= 1则2 3 3 272 2 3 3 18p（d）=（1）2 （1- 1）（1- 2）= 12232437则 p（a）=p（b）+p（c）+p（d）=216（6 分）（2）x 的所有可能取值为 0,10,20,30,40.1p（x=0）=2p（x=10）=1 (1-21 ) = 12 4p（x=20）=( 1 )2 (1 - 1 ) = 1p（x=30）=( 1 )3 (1 - 1 ) = 12 2 82 2 16p（x=40）=( 1 )4 = 1x 分布列为2 16x010203040p12141811611619.（本小题满分 12 分）在如图所示的多面体 abcde 中，ab平面 acd,de平面 acd，ac=ad=cd=de=2，ab=1。（1）请在线段 ce 上找到一点 f，使得直线 bf平面 acd，并证明；（2）求平面 bce 与平面 acd 所成锐二面角的大小；e解法一：以 d 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得 x 轴和z 轴的正半轴分别经过点 a 和点 e，则各点的坐标为 d (0, 0, 0) ，ba (2, 0, 0) ， e(0, 0, 2) ， b (2, 0, 1) ， c (1, 3, 0) ，（1）点 f 应是线段 ce 的中点，下面证明：设 f 是线段 ce 的中点，则点 f 的坐标为adf ( 1 ,3 , 1) ， bf = (- 3 ,3 , 0)2 2 2219 题图cde = (0,0,2), bf de = 0, bf de ，而 de 是平面 acd 的一个法向量， 此即证得 bf平面 acd；6 分（2）设平面 bce 的法向量为 n = (x, y, z) ，则 n cb ，且 n ce ，由 cb = (1, -3,1) ， ce = (-1, -3, 2) ， x - - x -3 y + z = 03 y + 2 z = 0，不妨设 y =x = 13 ，则 z = 2，即 n = (1, 3, 2) ，所求角q 满足 cosq = n (0, 0, 2) =2 p，q =；12 分| n | 2 2 4解法二：（1）由已知 ab平面 acd，de平面 acd，ab/ed，设 f 为线段 ce 的中点，h 是线段 cd 的中点，连接 fh，则 fh =/ 1 ed ， fh =/2ab ，四边形 abfh 是平行四边形， bf / ah ，由 bf 平面 acd 内，ah 平面 acd， bf / 平面 acd（2）由已知条件可知 dacd 即为 dbce在平面 acd 上的射影，设所求的二面角的大小为q ，则 cosq = sdacd ，sdbce易求得 bc=be =5 ，ce = 2 2 ， s= 1 | ce | be 2 - ( ce )2 =6 ，dbce22而 s=3 | ac |2 =3 ， cosq = sdacd =2 p p，且 0 q 1，an1f(an)(nn)(1)若an为常数列，求 a 的值；(2)判断 an 与 2 的大小，并证明你的结论解析： (1)若an为常数列，则 ana.由 an1f(an)，得 af(a)因为 f(x)x2a2，所以 a.2(x1)2(a1)又 a1，所以 a2(a1)，解得 a2. (2)当 a2 时，由(1)知 an2.a2nn当 a2 时，因为 a1a，an1f(an)2(a 1)，a12a2所以 a2.2(a11)a2所以 a222(a1)a24a42(a2)20，即 a22.2(a1)a222(a1)(a22)22(a1)因为 a322(a21)22(a21)0，所以 a32.猜想当 n2 时，an2.下面用数学归纳法证明：n2 时，a22，显然猜想成立假设当 nk(k2)时，猜想成立，即 ak2.a2k当 nk1 时，ak1f(ak)，a 2k k 4a 42(ak1)(ak 2)2所以 ak12.2(a 1)2(a 1)kk由 ak2，知 ak120，所以 ak12.根据和可知，当 a2 时，对于一切不小于 2 的正整数 n 都有 an2.综上所述，当 a2 时，an2；当 1a2 时，a12(n2)；当 a2 时，an2x2 y 221如图，椭圆+a2 b2= 1上的点 m 与椭圆右焦点 f2 的连线 mf2 与 x 轴垂直，且 om（o 是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线 ab 平行（1）求椭圆的离心率；p（2）f1 是椭圆的左焦点，c 是椭圆上的任一点，证明： f1cf2 ；2（3）过 f1 且与 ab 垂直的直线交椭圆于 p、q，若 dpf1q 的面积是 20 3 ，求此时椭圆的方程b2 b2b b2 b c 221（1）易得 m (c, ), k =, k =, = b = c a =2c,e = = .aomac aba ac a a 24 分（2）证：由椭圆定义得： | f1c | + | f2c |= 2a, cos f1cf21 2 1 2| f c |2 + | f c |2 - | f f |2=2 | f1c | f2c |4a2 - 4c2 - 2 | f c | f c | 2b2= 1 2= -1.2 | f1c | f2c | | f1c | f2c | f c | f c | (| f1c | + | f2c |)2 = a2 ,cos f cf 2b2 2c2-1 =-1 = 0,f cf p .1 2 21 2 a22c21 2 28 分（3）解：设直线 pq 的方程为 y = - a ( x - c),即y = -b2 ( x - c)代入椭圆方程消去 x 得：(1 -1 y + c)22y2+ = 1，整理得：a2b25 y2 - 2 2cy - 2c2 = 0, y + y= 2 2c , y y