湖南省益阳市箴言中学高三数学模拟试卷（十）理（含解析）.doc

2016年湖南省益阳市箴言中学高考数学模拟试卷（理科）（十）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合m=0，1，2，n=x|x=2a，am，则集合mn=（）a0b0，1c1，2d0，22下列说法中正确的是（）a“x5”是“x3”必要不充分条件b命题“对xr，恒有x2+10”的否定是“xr，使得x2+10”cmr，使函数f（x）=x2+mx（xr）是奇函数d设p，q是简单命题，若pq是真命题，则pq也是真命题3设a+b0，且b0，则（）ab2a2abbb2a2abca2abb2da2abb24函数f（x）=x22lnx的单调减区间是 （）a（0，1b1，+）c（，1（0，1d1，0）（0，15一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）a4b6c8d126已知（为锐角），则sin=（）abcd7已知双曲线=1（a0，b0）的左顶点与抛物线 y2=2px（p0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（1，1），则双曲线的方程为（）a=1by2=1c=1d=18如图给出的是计算1+的值的一个程序框图，则图中执行框中的处和判断框中的处应填的语句是（）an=n+1，i1009bn=n+2，i1009cn=n+1，i1008dn=n+2，i10089如图，在等腰梯形abcd中，ab=8，bc=4，cd=4，点p在线段ad上运动，则|+|的取值范围是（）a6，4+4b4，8c4，8d6，1210已知实数x，y，z满足：x+y6=0，z2+9=xy，则x2+y2=（）a6b12c18d3611集合a，b的并集ab=a1，a2，a3，a4，当ab时，（a，b）与（b，a）视为不同的对，则这样的（a，b）对的个数为（）a12b24c64d8112直线l：ax+y1=0与x，y轴的交点分别为a，b，直线l与圆o：x2+y2=1的交点为c，d，给出下面三个结论：a1，saob=；a1，|ab|cd|；a1，scod其中，所有正确结论的序号是（）abcd二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13的展开式中常数项为14一个四面体，其中一个顶点a的三个角分别为60，90，其中tan=2，则角与60角所在面的二面角的余弦值为15已知点p（x，y），其中x，y满足，则z1=的取值范围，z=的最大值是16正整数a、b满足1ab，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值为三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知函数f（x）=asin（x+）（a0，0，|）的部分图象如图所示（）求函数y=f（x）的解析式；（）在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若f（x）在x4，12上的最大值为c，且c=求abc的面积的最大值18如图，在底面为直角梯形的四棱锥pabcd中，adbc，abc=90，pa平面abcd，pa=3，ad=2，ab=2，bc=6（）求证：bd平面pac；（）求二面角pbda的大小19厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品（）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验求至少有1件是合格品的概率；（）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望e，并求该商家拒收这批产品的概率20已知椭圆c： +=1（ab0）的上顶点为（0，2），且离心率为（1）求椭圆c的方程；（2）从椭圆c上一点p向圆x2+y2=1引两条切线，切点为a，b，当直线ab分别与x轴，y轴交于n，m两点时，求|mn|的最小值21已知f（x）=（xr）在区间1，1上是增函数（）求实数a的值组成的集合a；（）设关于x的方程f（x）=的两个非零实根为x1、x2试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aa及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由选修4-1几何证明选讲22已知a、b、c、d为圆o上的四点，直线de为圆o的切线，acde，ac与bd相交于h点（）求证：bd平分abc；（）若ab=4，ad=6，bd=8，求ah的长选修4-4坐标系与参数方程23在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位已知曲线c的极坐标方程为=2cos，直线l的参数方程为（t为参数，为直线的倾斜角）（i）写出直线l的普通方程和曲线c的直角坐标方程；（）若直线l与曲线c有唯一的公共点，求角的大小选修4-5不等式选讲24已知m，nr+，f（x）=|x+m|+|2xn|（1）求f（x）的最小值；（2）若f（x）的最小值为2，求的最小值2016年湖南省益阳市箴言中学高考数学模拟试卷（理科）（十）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合m=0，1，2，n=x|x=2a，am，则集合mn=（）a0b0，1c1，2d0，2【考点】交集及其运算【分析】集合n的元素需要运用集合m的元素进行计算，经过计算得出m的元素，再求交集【解答】解：由题意知，n=0，2，4，故mn=0，2，故选d2下列说法中正确的是（）a“x5”是“x3”必要不充分条件b命题“对xr，恒有x2+10”的否定是“xr，使得x2+10”cmr，使函数f（x）=x2+mx（xr）是奇函数d设p，q是简单命题，若pq是真命题，则pq也是真命题【考点】命题的真假判断与应用【分析】必须对选项一一加以判断：对a应用充分必要条件定义解决；对b应用命题的否定确定；对c应用奇函数的定义解决；对d应用真值表判断【解答】解：对a，因为x5可推出x3，所以“x5”是“x3”充分不必要条件，故a错；对b，由全称命题或存在性命题的否定得：b正确；对c，若函数f（x）=x2+mx（xr）是奇函数，则由定义知不存在m，故c错；对d，因为p，q是简单命题，若pq是真命题，则p，q中至少有一个为真，所以pq可真可假，故d错故选：b3设a+b0，且b0，则（）ab2a2abbb2a2abca2abb2da2abb2【考点】不等关系与不等式【分析】由“a+b0，且b0”可知a0，|a|b|，ab，然后由不等式的乘法性质，两边同乘一个负数，两个正数的平方后不等关系，可得到结论【解答】解：a+b0，且b0a0，|a|b|，ab由不等式的基本性质得：a2abb2故选d4函数f（x）=x22lnx的单调减区间是 （）a（0，1b1，+）c（，1（0，1d1，0）（0，1【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间【解答】解：f（x）=2x=，（x0），令f（x）0，解得：0x1，故选：a5一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）a4b6c8d12【考点】由三视图求面积、体积【分析】该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面，根据公式可求体积【解答】解：由三视图复原几何体，如图它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，这个几何体的体积：v=4故选a6已知（为锐角），则sin=（）abcd【考点】两角和与差的余弦函数【分析】由于，可得利用平方关系可得： =再利用即可得出【解答】解：，=故选：d7已知双曲线=1（a0，b0）的左顶点与抛物线 y2=2px（p0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（1，1），则双曲线的方程为（）a=1by2=1c=1d=1【考点】双曲线的简单性质【分析】求出抛物线的焦点坐标和准线方程，根据双曲线渐近线的关系建立方程求出a，b的值，即可得到结论【解答】解：抛物线 y2=2px（p0）的焦点坐标为（，0），准线方程为x=，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（1，1），=1，即p=2，y=x过（1，1），即1=，则=1，即b=a，双曲线的左顶点为（a，0），抛物线的焦点坐标为（1，0），双曲线=1（a0，b0）的左顶点与抛物线 y2=2px（p0）的焦点的距离为4，1（a）=1+a=4，则a=3，b=3，即双曲线的方程为=1，故选：c8如图给出的是计算1+的值的一个程序框图，则图中执行框中的处和判断框中的处应填的语句是（）an=n+1，i1009bn=n+2，i1009cn=n+1，i1008dn=n+2，i1008【考点】程序框图【分析】要计算1+的值需要用到直到型循环结构，按照程序执行运算，即可得解【解答】解：的意图为表示各项的分母，而分母来看相差2，n=n+2，的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件，而分母从1到2015共1008项，i1008，故选：d9如图，在等腰梯形abcd中，ab=8，bc=4，cd=4，点p在线段ad上运动，则|+|的取值范围是（）a6，4+4b4，8c4，8d6，12【考点】平面向量数量积的运算【分析】可过d作ab的垂线，且垂足为e，这样可分别以eb，ed为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件即可求出a，b，d的坐标，从而可以得出直线ad的方程为，从而可设，且2x0，从而可以求出向量的坐标，从而得出，而配方即可求出函数y=16（x2+2x+4）在2，0上的值域，即得出的取值范围，从而得出的取值范围【解答】解：如图，过d作ab的垂线，垂足为e，分别以eb，ed为x，y轴，建立平面直角坐标系；根据条件可得，ae=2，eb=6，de=；直线ad方程为：；设，（2x0）；，；=16（x2+2x+4）=16（x+1）2+48；2x0；4816（x+1）2+4864；即；的范围为故选：c10已知实数x，y，z满足：x+y6=0，z2+9=xy，则x2+y2=（）a6b12c18d36【考点】基本不等式【分析】由题意可得xy90，运用基本不等式可得9=x+y2，求得x=y=3，代入计算即可得到所求值【解答】解：实数x，y，z满足：x+y6=0，z2+9=xy，可得x+y=60，z2=xy90，即有x0，y0，且x+y2，可得xy9，又xy9，即有xy=9，且x=y=3，则x2+y2=9+9=12故选：b11集合a，b的并集ab=a1，a2，a3，a4，当ab时，（a，b）与（b，a）视为不同的对，则这样的（a，b）对的个数为（）a12b24c64d81【考点】并集及其运算【分析】由分类讨论思想求出当a为空集时，a中为一个元素时，a中为两个元素时，a中为三个元素时，当a中为四个元素时，分别求出元素b的个数，由此能求出满足条件的（a，b）对的个数【解答】解：分类讨论：（1）当a为空集时，只有1种；（2）当a中为一个元素时，有4种，b中可为三元素（1种）或四元素（1种），故共42=8种；（3）当a中为两个元素时，有6种，b中可为二元素（1种）或3元素（2种）或4元素（1种），故共64=24种；（4）当a中为三个元素时，有4种，b中可为一元素（1种）或两元素（3种）或三元素（3种），或4元素（1种），故共48=32种；（5）当a中为四个元素时，有1种，b中可为空集（1种）或一元素（4种）或两元素（6种）或三元素（4种）或4元素（1种），故共116=16共1+8+24+32+16=81种故选：d12直线l：ax+y1=0与x，y轴的交点分别为a，b，直线l与圆o：x2+y2=1的交点为c，d，给出下面三个结论：a1，saob=；a1，|ab|cd|；a1，scod其中，所有正确结论的序号是（）abcd【考点】直线与圆的位置关系【分析】当a1时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论正确；当a1时，反证法可得结论错误；由三角形的面积公式可得scod=sinaoc，可得结论正确【解答】解：当a1时，把x=0代入直线方程可得y=a，把y=0代入直线方程可得x=，saob=a=，故结论正确；当a1时，|ab|=，故|ab|2=a2+，直线l可化为a2x+ya=0，圆心o到l的距离d=，故|cd|2=4（1d2）=41（a2+），假设|ab|cd|，则|ab|2|cd|2，即a2+4（1），整理可得（a2+）24（a2+）+40，即（a2+2）20，显然矛盾，故结论错误；scod=|oa|oc|sinaoc=sinaoc，故a1，使得scod，结论正确故选：c二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13的展开式中常数项为【考点】二项式系数的性质【分析】写出二项展开式的通项，令x的指数为0求得r值，则答案可求【解答】解：由，取62r=0，得r=3的展开式中常数项为故答案为：14一个四面体，其中一个顶点a的三个角分别为60，90，其中tan=2，则角与60角所在面的二面角的余弦值为【考点】二面角的平面角及求法【分析】设四面体为abcd，过b作bead于e，过e作efad，交ac于f，连接bf，则bef是角与60角所在面的二面角的平面角，根据三角形的边角公式以及余弦定理进行求解即可【解答】解：设bac=90，bad=60，dac=，过b作bead于e，过e作efad，交ac于f，连接bf，则bef是角与60角所在面的二面角的平面角，设ae=1，则ab=2，be=，tan=2=，ef=2，af=，在直角三角形baf中，bf=3，由余弦定理得cosbef=，故答案为：15已知点p（x，y），其中x，y满足，则z1=的取值范围1，3，z=的最大值是9【考点】简单线性规划【分析】画出满足条件的平面区域，由z1=表示过平面区域的点（x，y）与（0，0）的直线的斜率，通过图象即可得出作出不等式组对应的平面区域要使z=最大，则x最小，y最大即可，利用数形结合进行求解即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由z1=表示过平面区域的点（x，y）与（0，0）的直线的斜率，由，得，即a（1，3），显然直线过a（1，3）时，z1=3，直线过（2，2）时，z1=1，故答案为：1，3解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x1，y2，要使z=最大，则x最小，y最大即可，由图象知当z=经过点a时，z取得最大值，则z的最大值是z=9，故答案为：1，3；916正整数a、b满足1ab，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值为4031【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】化简可得40332x=|x1|+|x+a|+|xb|，从而讨论以去掉绝对值号，并确定方程的解的个数及条件，从而解得【解答】解：由方程组消y可得，40332x=|x1|+|x+a|+|xb|，当xa时，40332x=1xxax+b，故x=ba4032，故当x=ba4032a，即b4032时，有一个解；即a4031时，有一个解；否则无解；当ax1时，40332x=1x+x+ax+b，故x=4032ab，故当a4032ab1，即b4032且a+b4301时，有一个解；即2015a4030，有一个解，否则无解；当1xb时，40332x=x+a+b1，故3x=4034ab，故当34034ab3b，即a+b4031且a+4b4304时，有一个解；即a2014，方程有一个解，否则无解；当xb时，40332x=3x+ab1，故5x=4034a+b，故当4034a+b5b，即a+4b4304时，有一个解；否则无解；综上所述，当a取最大值4031时，方程有一个解，故答案为：4031三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知函数f（x）=asin（x+）（a0，0，|）的部分图象如图所示（）求函数y=f（x）的解析式；（）在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若f（x）在x4，12上的最大值为c，且c=求abc的面积的最大值【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象【分析】（）由函数的图象的顶点坐标求出a，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数y=f（x）的解析式（）在abc中，由条件求出c，再利用余弦定理求得ab的最大值为1，可得abc的面积为absinc 的最大值【解答】解：（）根据函数f（x）=asin（x+）（a0，0，|）的图象可得a=， =6+2，=再根据五点法作图可得2+=0，=，f（x）=sin（x+）（）在abc中，f（x）=sin（x+）在x4，12上的最大值为c=1（此时，x=4）由c=，利用余弦定理可得c2=1=a2+b22abcosc2abab=ab，当且仅当a=b时，取等号，故ab的最大值为1则abc的面积为absinc=ab，故abc的面积的最大值为18如图，在底面为直角梯形的四棱锥pabcd中，adbc，abc=90，pa平面abcd，pa=3，ad=2，ab=2，bc=6（）求证：bd平面pac；（）求二面角pbda的大小【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定【分析】解法一：（i）由已知中底面为直角梯形的四棱锥pabcd中，abc=90，且pa平面abcd，我们结合线面垂直的性质及勾股定理，可以得到bd与平面pac中两个相交直线pa，ac均垂直，进而根据线面垂直的判定定理得到bd平面pac；（）连接pe，可得aep为二面角pbda的平面角，解三角形aep即可得到二面角pbda的大小解法二：（i）以a为坐标原点，建立空间坐标系，根据向量垂直，数量积为零，判断出bdap，bdac，再由线面垂直的判定定理得到bd平面pac；（）分别求出平面pbd与平面abd的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角pbda的大小【解答】解法一：（）pa平面abcd，bd平面abcdbdpa又，abd=30，bac=60，aeb=90，即bdac又paac=abd平面pac（）连接pebd平面pacbdpe，bdaeaep为二面角pbda的平面角在rtaeb中，aep=60，二面角pbda的大小为60 解法二：（）如图，建立坐标系，则a（0，0，0），d（0，2，0），p（0，0，3），bdap，bdac，又paac=a，bd面pac（）设平面abd的法向量为m=（0，0，1），设平面pbd的法向量为n=（x，y，1），则n，n解得cosm，n=二面角pbda的大小为6019厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品（）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验求至少有1件是合格品的概率；（）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望e，并求该商家拒收这批产品的概率【考点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）由对立事件概率公式，及产品合格的概率为0.8，我们易得从产品中任意取出4件进行检验求至少有1件是合格品的概率；（2）根据（1）的结论，根据分布列及数学期望的计算公式，易得到最终结果【解答】解：（）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件a用对立事件a来算，有（）可能的取值为0，1，2，012p记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件b，则商家拒收这批产品的概率所以商家拒收这批产品的概率为20已知椭圆c： +=1（ab0）的上顶点为（0，2），且离心率为（1）求椭圆c的方程；（2）从椭圆c上一点p向圆x2+y2=1引两条切线，切点为a，b，当直线ab分别与x轴，y轴交于n，m两点时，求|mn|的最小值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意可知b=2，利用离心率公式及a，b，c的关系得出a，得出椭圆方程；（2）设点p（x0，y0），a（x1，y1），b（x2，y2），利用切线性质求出两条切线方程，根据p为切线的公共点得出三点坐标的关系，从而利用p点坐标表示出直线ab的方程，得出m，n的坐标，利用基本不等式得出|mn|的最小值【解答】解：（1）（0，2）为椭圆的一个顶点，b=2，e=，a=3椭圆c的方程为（2）设点p（x0，y0），a（x1，y1），b（x2，y2），圆过a点的方程为：x1x+y1y=1，圆过点b的方程为：x2x+y2y=1，两条切线都过点p，x1x0+y1y0=1，x2x0+y2y0=1，直线ab的方程为：x0x+y0y=1，=，当且仅当时取等号，|mn|的最小值为21已知f（x）=（xr）在区间1，1上是增函数（）求实数a的值组成的集合a；（）设关于x的方程f（x）=的两个非零实根为x1、x2试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aa及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】（）函数单调递增导数大于等于零列出不等式解之（）根据一元二次方程根与系数的关系写出不等式先看成关于a的不等式恒成立再看成关于t的一次不等式恒成立，让两端点大等于零【解答】解：（）f（x）=，f（x）在1，1上是增函数，f（x）0对x1，1恒成立，即x2ax20对x1，1恒成立设（x）=x2ax2，方法一：1a1，对x1，1，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f（1）=0以及当a=1时，f（1）=0a=a|1a1方法二：或0a1或1a01a1对x1，1，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f（1）=0以及当a=1时，f（1）=0a=a|1a1（）由，得x2ax2=0，=a2+80x1，x2是方程x2ax2=0的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=2，从而|x1x2|=1a1，|x1x2|=3要使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aa及t1，1恒成立，当且仅当m2+tm+13对任意t1，1恒成立，即m2+tm20对任意t1，1恒成立设g（t）=m2+tm2=mt+（m22），方法一：g（1）=m2m20，g（1）=m2+m20，m2或m2所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aa及t1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或m2方法二：当m=0时，显然不成立；当m0时，m0，g（1）=m2m20或m0，g（1）=m2+m20m2或m2所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1x2|