湖南省衡阳市高考数学5月适应性考试试题 文（含解析）.doc

衡阳市2017年高考适应考试试题文科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设全集，集合，则的子集的个数是（ ）a. 1 b. 2 c. 3 d. 4【答案】d【解析】全集，集合，共2个元素，所以的子集的个数是22=4，故选d.2. 命题:,的否定是（ ）a. , b. ,c. , d. ,【答案】a【解析】全称命题：，的否定是， 3. 在复平面内，复数对应的点坐标为（ ）a. （-1,3） b. （3,1） c. （1,3） d. 【答案】c【解析】, 对应的点坐标为（1,3）,故选c.4. 在区间上随机选取一个数，则的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】因为，所以由几何概型的计算公式可得，故选b.5. 公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（ ）a. 1 b . 2 c.4 d.8【答案】a【解析】试题分析：在等比数列中，由知，故选a考点：等比数列的性质6. 已知向量， 均为单位向量，若它们的夹角为60，则等于（ ）a. b. c. d. 4【答案】c【解析】，所以.故选c.点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数.7. 函数的部分图象如图所示，若将图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】由图像得， ，所以，横坐标缩短为原来一半，得到.8. 中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（ ）a. 21 b. 22 c. 23 d. 24【答案】c【解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选c.9. 已知双曲线，直线若直线平行于双曲线的一条渐近线且经过的一个顶点，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）a. 1 b. 2 c. d. 4【答案】b【点睛】如果熟练的同学可以知道,焦点到渐近线的距离为的距离,为定值.10. 函数在点处的切线斜率为，则的最小值是（ ）a. 10 b. 9 c. 8 d. 【答案】b【解析】试题分析：求出原函数的导函数，由得，把变形为后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值当且仅当时“=”成立所以的最小值是9，故选b考点：导数的运算；基本不等式11. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（ ）a. 1 b. c. 3 d. 2【答案】c【解析】三视图还原图形三棱锥，如下图：,所以最长边为，选c.12. 已知函数与函数的图象上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】由题意可将问题转化为方程在上有两个不等的实数根，即方程有两个不等的实数根，令，则，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减。所以函数；又，而，所以结合图像可知当时，函数与直线的图像有两个不同的交点，应选答案a。点睛：解答本题的关键是运用转化与化归思想将问题化为有两个不等的实数根，然后运用导数知识探求得函数的图像的变化情况，借助函数的图像求出参数的取值范围，进而获得答案。二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.）13. 某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为，现要用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则所抽取的二年级学生的人数是_；【答案】80【解析】试题分析：高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为，抽取一个容量为240的样本，则所抽取的二年级学生的人数，故答案为：80考点：分层抽样方法14. 若实数满足则的最小值为_；【答案】-6【解析】在同一坐标系中，分别作出直线x+y2=0，x=4，y=5，标出不等式组表示的平面区域，如图所示。由z=yx，得y=x+z，此关系式可表示斜率为1，纵截距为z的直线，当直线y=x+z经过区域内的点a时，z最小，此时,由,得a(4,2)，从而zmin=yx=24=6.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.15. 已知数列:, ,若，那么数列的前项和为_；【答案】【解析】由题意得，数列的通项，所以，所以数列的前项和.16. 已知是抛物线上的动点， 在圆上，是 在轴上的射影，则的最小值是_【答案】3【解析】根据抛物线的定义，可知，而的最小值是，所以的最小值就是的最小值，当三点共线时，此时最小，最小值是 ，所以的最小值是3.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题，考查了转化与化归能力，圆外的点和圆上的点最小值是点与圆心的距离减半径，最大值是距离加半径，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，这样转化后为抛物线上的点到两个定点的距离和的最小值，即三点共线时距离最小.三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数，其中，（）求函数的周期和单调递增区间；（）在中，角，所对的边分别为，且，求的面积【答案】（1）单调递增区间是 ；（2）.【解析】试题分析：（1）化简 ，增区间是 ；（2）由 ，又 试题解析：（1） ，解得，函数的单调递增区间是 （2），即，又，由余弦定理得，由得，考点：解三角形.18. 某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本，并称出它们的重量（单位：克），重量值落在内的产品为合格品，否则为不合格品，统计结果如表：（）求甲流水线样本合格的频率；（）从乙流水线上重量值落在内的产品中任取2个产品，求这2件产品中恰好只有一件合格的概率【答案】（）0.75；（）.【解析】试题分析：（）首先计算落在的频数，频数除以样本容量就是频率；（）根据频率分布直方图计算和的频数，并且对产品编号，列举任选两件的基本事件，和恰有一件合格的基本事件的个数，计算其概率.试题解析：（）由表知甲流水线样本中合格品数为，故甲流水线样本中合格品的频率为（）乙流水线上重量值落在内的合格产品件数为，不合格产品件数为设合格产品的编号为，不合格产品的编号为，抽取2件产品的基本事件空间为，共15个用表示“件产品恰好只有一件合格”这一基本事件，则，共8个，故所求概率19. 如图，已知垂直于以为直径的圆所在平面，点在线段上，点为圆上一点，且（）求证:平面（）求点到平面的距离.【答案】（）见解析（）.【解析】试题分析: （）由知点为的中点，以及为等边三角形, 所以,又,即可证得结论成立;（）根据三棱锥的等体积可求得点面距离.试题解析:（）证明：由知点为的中点，连接,因为，所以为等边三角形，又为中点，所以因为平面,平面，所以又平面平面,所以平面（）由（）可得：,所以,设三棱锥的体积为，点到平面的距离为由得,，,所以20. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于两点，求面积的最大值【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得，又椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，由椭圆几何条件得，解得，（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得，再利用点到直线距离公式求高，根据三角形面积公式得最后利用基本不等式求最值.试题解析：解：（）由已知，设椭圆的方程为椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，又，由，得椭圆的标准方程为（）设联立消去，得此时有由一元二次方程根与系数的关系，得， 原点到直线的距离，由，得又，据基本不等式，得当且仅当时，不等式取等号面积的最大值为21. 已知函数（）若，求函数的极值；（）若,使得（），求实数的取值范围【答案】（）当时， 有极小值，极小值为，无极大值；（）.【解析】试题分析：（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；（）得到, 设在上的值域为a，函数在上的值域为b，根据函数的单调性求出m的范围即可试题解析：（）依题意， ， 因为，故当时， ，当时， ，故当时， 有极小值，极小值为，无极大值（）当=1时， 因为， ，使得，故；设在上的值域为a，函数在上的值域为b，当时， ，即函数在上单调递减，故，又.（i）当时， 在上单调递减，此时的值域为，因为，又，故，即； （ii）当时， 在上单调递增，此时的值域为，因为，又，故，故；综上所述，实数的取值范围为请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）分别写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（）若射线的极坐标方程，且分别交曲线、于、两点，求.【答案】（）的极坐标方程为.,直角坐标方程为.；（）1.【解析】试题分析：（1）首先写出的直角坐标方程，再根据互化公式写出极坐标方程，和的直角坐标方程,互化公式为 ；（2）根据图象分析出 .试题解析：（1）将参数方程化为普通方程为，即，的极坐标方程为.将极坐标方程化为直角坐标方程为.（2）将代入 整理得，解得，即.曲线是圆心在原点，半径为1的圆，射线 与相交，即，即.故.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数（）当时，求不等式的解集；（）若方程只有一个实数根，求实数的取值范围.【答案】（）; （）.【解析】试题分析：利用零点分区间讨论法解绝对值不等式，转化为，只有一个根，转化为函数 与的图象只有一