湖南省衡阳市衡阳县高三数学4月模拟试卷 理（含解析）.doc

2016年湖南省衡阳市衡阳县高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题1若集合a=x|3+2xx20，集合b=x|2x2，则ab等于（）a（1，3）b（，1）c（1，1）d（3，1）2若复数z=+a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是（）a4b3c1d23已知，则cosx等于（）abcd4我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若 金杖由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为（）a6斤b9斤c9.5斤d12斤5已知双曲线=1（a0，b0）的右焦点为f，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为a，且直线af与双曲线的一条渐近线关于直线y=b对称，则双曲线的离心率为（）ab3c2d6袋子中装有大小相同的6个小球，2红1黑3白，现从中有放回的随机摸球2此，每次摸出1个小球，则2次摸球颜色不同的概率是（）abcd7如图是一个程序框图，若输出i的值为5，则实数m的值可以是（）a3b4c5d68如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中面积最小的面的面积为（）a4b4c4d89已知函数f（x）=2sin（2x+）（|）在区间（，上单调且最大值不大于，则的取值范围是（）a0，b，c（，0d，010已知函数f（x）=log3（2x+1）+，给出如下两个命题：p1：若a=2，则y=f（x）在（，+）上只有一个零点；p2：a2，函数y=|f（x）|在，3上单调递增；则下列命题正确的是（）ap1b（p1）p2cp1p2dp1（p2）11已知点a是抛物线m：y2=2px（p0）与圆c：x2+（y4）2=a2在第一象限的公共点，且点a到抛物线m焦点f的距离为a，若抛物线m上一动点到其准线与到点c的距离之和的最小值为2a，o为坐标原点，则直线oa被圆c所截得的弦长为（）a2b2cd12已知函数f（x）=aex2x2a，a1，2，若函数f（x）在区间0，ln2上的值域为p，q，则（）ap，qbp，qcp2，q1dp1，q0二、填空题13（）5的展开式中常数项为14已知向量，不共线， =2+m， =n3，若，则mn=15如果实数x，y满足条件，则z=的最小值为，则正数a的值为16在数列an中，a1=， =，nn+，且bn=，记pn=b1b2b3bn，sn=b1+b2+b3+bn，则3n+1pn+sn=三、解答题17已知abc的三个内角a、b、c所对应的边分别为a、b、c，且满足=（1）若b=4，求a；（2）若c=3，abc的面积为3，求证：3sinc+4cosc=518为了了解某天甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：微克），当产品中的微量元素x，y满足x175，且y75时，该产品为优等品已知该天甲厂生产的产品共有98件，如表是乙厂的5件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 7081（1）求乙厂该天生产的产品数量；（2）用上述样本数据统计乙厂该天生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽取的上述5件产品中，随机抽取2件求抽取的2件产品中优等品的件数x的分布列及数学期望19如图所示，在直角梯形abcd中，abcd，bcd=90，bc=cd=2，af=bf，ecfd，fd底面abcd，m是ab的中点（1）求证：平面cfm平面bdf；（2）若ec=2，fd=3，求平面adf与平面bef所成角的正弦值20已知椭圆m： +=1（b0）上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2（1）求椭圆m的方程；（2）设不过原点o的直线l与该椭圆交于p，q两点，满足直线op，pq，oq的斜率依次成等比数列，求opq面积的取值范围21已知函数f（x）=（3a）x+a2lnx（ar）（1）若函数y=f（x）在区间（1，3）上单调，求a的取值范围；（2）若函数g（x）=f（x）x在（0，）上无零点，求a的最小值选修4-1：几何证明选讲22选修41：几何证明选讲如图，已知pa是o的切线，a是切点，直线po交o于b、c两点，d是oc的中点，连接ad并延长交o于点e，若pa=2，apb=30（）求aec的大小；（）求ae的长选修4-4：坐标系与参数方程选讲23在平面直角坐标系xoy中，动点a的坐标为（23sin，3cos2），其中r在极坐标系（以原点o为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线c的方程为cos（）=a（）写出动点a的轨迹的参数方程并说明轨迹的形状；（）若直线c与动点a的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|x+2|+|x2|，xr，不等式f（x）6的解集为m（1）求m；（2）当a，bm时，证明：3|a+b|ab+9|2016年湖南省衡阳市衡阳县高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题1若集合a=x|3+2xx20，集合b=x|2x2，则ab等于（）a（1，3）b（，1）c（1，1）d（3，1）【考点】交集及其运算【分析】分别求出关于集合a、b中x的范围，取交集即可【解答】解：集合a=x|3+2xx20=x|1x3，集合b=x|2x2=x|x1，则ab=x|1x1，故选：c2若复数z=+a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是（）a4b3c1d2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数，然后推出选项【解答】解：复数z=+a=（3+a）ai，复数z=+a在复平面上对应的点在第二象限，可得a3故选：a3已知，则cosx等于（）abcd【考点】两角和与差的余弦函数【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式，诱导公式即可化简求值【解答】解：，sin（x+）=sin（x）=cosx=，cosx=故选：b4我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若 金杖由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为（）a6斤b9斤c9.5斤d12斤【考点】等差数列的通项公式【分析】此问题是一个等差数列an，设首项为2，则a5=4，可得中间3尺的重量为3a3=3【解答】解：此问题是一个等差数列an，设首项为2，则a5=4，中间3尺的重量为3a3=3=9斤故选：b5已知双曲线=1（a0，b0）的右焦点为f，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为a，且直线af与双曲线的一条渐近线关于直线y=b对称，则双曲线的离心率为（）ab3c2d【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可得f（c，0），求出双曲线的一条渐近线方程，解得a（a，b），求得直线af的斜率，由对称思想可得直线af的斜率和渐近线的斜率互为相反数再由离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：由题意可得f（c，0），双曲线=1的一条渐近线方程为y=x，令x=a，可得a（a，b），可得直线af的方程为y=（xc），由于直线y=b经过a，且斜率为0，由对称性可得直线af的斜率和渐近线的斜率互为相反数即有=，即为a=ca，可得c=2a，离心率e=2故选：c6袋子中装有大小相同的6个小球，2红1黑3白，现从中有放回的随机摸球2此，每次摸出1个小球，则2次摸球颜色不同的概率是（）abcd【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】2次摸球颜色不同的对立事件是2次摸球颜色相同，由此能求出2次摸球颜色不同的概率【解答】解：2次摸球颜色不同的对立事件是2次摸球颜色相同，2次摸球颜色不同的概率：p=1=故选：c7如图是一个程序框图，若输出i的值为5，则实数m的值可以是（）a3b4c5d6【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的s，i的值，当s=23，i=5时满足条件235m，退出循环，输出i的值为5，由此可得m，结合选项即可得解实数m的值【解答】解：模拟执行程序，可得s=1，i=1，执行循环体后，s=2，i=2不满足条件22m，再次执行循环体后，s=6，i=3不满足条件63m，再次执行循环体后，s=13，i=4不满足条件134m，再次执行循环体后，s=23，i=5由题意，此时满足条件235m，退出循环，输出i的值为5，则m，实数m的值可以是4故选：b8如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中面积最小的面的面积为（）a4b4c4d8【考点】由三视图求面积、体积【分析】作出直观图，根据三视图数据计算各个表面的面积比较得出【解答】解：根据三视图作出物体的直观图如图所示：显然spcdsabc由三视图特征可知pa平面abc，db平面abc，abac，pa=ab=ac=4，db=2，bc=4，sabc=8，spac=8，sbcd=4s梯形pabd=12bcd的面积最小故选b9已知函数f（x）=2sin（2x+）（|）在区间（，上单调且最大值不大于，则的取值范围是（）a0，b，c（，0d，0【考点】正弦函数的图象【分析】由条件利用正弦函数的单调性和最值，求得的取值范围【解答】解：函数f（x）=2sin（2x+）（|）在区间（，上单调，且最大值不大大于，2+且2（）+，求得0，故选：d10已知函数f（x）=log3（2x+1）+，给出如下两个命题：p1：若a=2，则y=f（x）在（，+）上只有一个零点；p2：a2，函数y=|f（x）|在，3上单调递增；则下列命题正确的是（）ap1b（p1）p2cp1p2dp1（p2）【考点】复合命题的真假【分析】对于命题p1：令=t，则t（log32，1）令g（t）=t，利用导数研究其单调性即可判断出命题的真假对于p2：令=t，由x，3，可得t，函数y=|f（x）|=，令h（t）=t+，利用导数研究其单调性，可得其值域，进而判断出函数y=|f（x）|在，3上不单调即可判断出真假【解答】解：对于命题p1：令=t，则t（log32，1）令g（t）=t，则g（t）=1+0，函数g（t）在（，+）上单调递增令g（t）=0，解得t=，可知： =，解得x=为唯一一个零点，因此是真命题对于p2：令=t，x，3，t，函数y=|f（x）|=，令h（t）=t+，h（t）=10，函数h（t）在t内单调递增，a2，=+0，而h（2）=1，因此函数y=|f（x）|在，3上不单调，因此是假命题综上可知：只有p1（p2）是真命题故选：d11已知点a是抛物线m：y2=2px（p0）与圆c：x2+（y4）2=a2在第一象限的公共点，且点a到抛物线m焦点f的距离为a，若抛物线m上一动点到其准线与到点c的距离之和的最小值为2a，o为坐标原点，则直线oa被圆c所截得的弦长为（）a2b2cd【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得a，c，f三点共线时取得最小值，且有a为cf的中点，设出a，c，f的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得a，求得c到直线oa的距离，运用圆的弦长公式计算即可得到所求值【解答】解：圆c：x2+（y4）2=a2的圆心c（0，4），半径为a，|ac|+|af|=2a，由抛物线m上一动点到其准线与到点c的距离之和的最小值为2a，由抛物线的定义可得动点到焦点与到点c的距离之和的最小值为2a，可得a，c，f三点共线时取得最小值，且有a为cf的中点，由c（0，4），f（，0），可得a（，2），代入抛物线的方程可得，4=2p，解得p=2，即有a=+=，a（，2），可得c到直线oa：y=2x的距离为d=，可得直线oa被圆c所截得的弦长为2=故选：c12已知函数f（x）=aex2x2a，a1，2，若函数f（x）在区间0，ln2上的值域为p，q，则（）ap，qbp，qcp2，q1dp1，q0【考点】函数的值域【分析】构造函数g（a）=（ex2）a2x，a1，2，由x0，ln2，可得ex1，2看做关于a的因此函数可得：g（x）max=g（1）=ex22x，g（x）min=g（2）=2ex42xx0，ln2函数f（x）在区间0，ln2上的值域为p，q，利用q=ex22x，p=2ex42xx0，ln2利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出【解答】解：构造函数g（a）=（ex2）a2x，a1，2，由x0，ln2，可得ex1，2g（a）在a1，2上单调递减，g（a）max=g（1）=ex22x，g（a）min=g（2）=2ex42xx0，ln2函数f（x）在区间0，ln2上的值域为p，q，q=ex22x，p=2ex42xx0，ln2q=ex20，函数q（x）单调递减，q（ln2）qq（0），2ln2q1p=2ex20，函数p（x）单调递增，p（ln2）pp（0），2ln2p2综上可得：p2，q1故选：c二、填空题13（）5的展开式中常数项为4【考点】二项式定理的应用【分析】在二项式的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式中常数项【解答】解：（）5的展开式的通项公式为tr+1=（1）r5r，令=0，求得r=1，可得展开式中常数项为4=4，故答案为：414已知向量，不共线， =2+m， =n3，若，则mn=6【考点】平行向量与共线向量【分析】根据平面向量的共线定理，列出方程组，即可求出mn的值【解答】解：向量，不共线， =2+m， =n3，且，=，且r，即2+m=（n3），即2（3）=mn，mn=6故答案为：615如果实数x，y满足条件，则z=的最小值为，则正数a的值为1【考点】简单线性规划【分析】由题意作平面区域，易知z=的几何意义是点b（x，y）与点a（a，0）连线的直线的斜率，从而解得【解答】解：由题意作平面区域如下，z=的几何意义是点b（x，y）与点a（a，0）连线的直线的斜率，由图象得直线过b（1，1）时，z有最小值，=，解得：a=1，故答案为：116在数列an中，a1=， =，nn+，且bn=，记pn=b1b2b3bn，sn=b1+b2+b3+bn，则3n+1pn+sn=3【考点】数列的求和【分析】由已知数列递推式可得，然后求出pn与sn，代入3n+1pn+sn得答案【解答】解：=，bn=，pn=b1b2b3bn =，sn=b1+b2+b3+bn=，则3n+1pn+sn=故答案为：3三、解答题17已知abc的三个内角a、b、c所对应的边分别为a、b、c，且满足=（1）若b=4，求a；（2）若c=3，abc的面积为3，求证：3sinc+4cosc=5【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由余弦定理化简已知，整理可得：b=2a，由b=4，即可求a的值（2）利用三角形面积公式可求得：sinc=，由余弦定理可得cosc=，证明等式左边等于右边即可【解答】解：（1）=整理可得：2aacosc=ccosa，由余弦定理可得：2aa=c，整理可得：b=2a，b=4，解得：a=2（2）证明：abc的面积为3，由（1）可得：b=2a，3=absinc=a2asinc，可得：sinc=，c=3，由余弦定理可得：cosc=，3sinc+4cosc=3+4=5得证18为了了解某天甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：微克），当产品中的微量元素x，y满足x175，且y75时，该产品为优等品已知该天甲厂生产的产品共有98件，如表是乙厂的5件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 7081（1）求乙厂该天生产的产品数量；（2）用上述样本数据统计乙厂该天生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽取的上述5件产品中，随机抽取2件求抽取的2件产品中优等品的件数x的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由题意，利用频率=，能求出乙厂生产的产品总数（2）由题意，先求出样品中优等品的概率，由此能求出乙厂生产的优等品数量（3）由表可得x的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列为和数学期望【解答】解：（1）由题意，乙厂生产的产品总数为5=35（2）样品中优等品的概率为，乙厂生产的优等品数量为35（3）由表可得x的可能取值为0，1，2，p（x=0）=，p（x=1）=，p（x=2）=，x的分布列为： x 0 1 3 pex=19如图所示，在直角梯形abcd中，abcd，bcd=90，bc=cd=2，af=bf，ecfd，fd底面abcd，m是ab的中点（1）求证：平面cfm平面bdf；（2）若ec=2，fd=3，求平面adf与平面bef所成角的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（1）推导出四边形bcdm是正方形，从而bdcm，又dfcm，由此能证明cm平面bdf（2）建立以c为坐标原点，cb，cd，ce分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法进行求解即可【解答】证明：（1）fd底面abcd，fdad，fdbd，af=bf，adfbdf，ad=bd，连接dm，则dmab，abcd，bcd=90，四边形bcdm是正方形，bdcm，dfcm，cm平面bdfcm平面cfm平面cfm平面bdf；（2）建立以c为坐标原点，cb，cd，ce分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：ec=2，fd=3，bc=cd=2，b（2，0，0），d（0，2，0），e（0，0，2），f（0，2，3），则=（2，2，0），=（2，0，2），=（0，2，1），设平面bef的一个法向量为=（x，y，z），则得，令x=1，则y=，z=1，则=（1，1），由（1）知ad=bd，abd=45，则，adb=90，即adbd，dfbd，bd平面adf，则=（2，2，0）是平面adf的一个法向量，则cos，=，则sin，=，即平面adf与平面bef所成角的正弦值是20已知椭圆m： +=1（b0）上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2（1）求椭圆m的方程；（2）设不过原点o的直线l与该椭圆交于p，q两点，满足直线op，pq，oq的斜率依次成等比数列，求opq面积的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质【分析】（1）由椭圆的定义可得，2a+2c=4+2，即a+c=2+，再由a=2b，c=b，求出b=1，可得椭圆的方程；（2）设直线l的方程为y=kx+m（m0），代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线op，pq，oq的斜率依次成等比数列，求出k的值，表示出opq面积，即可求出opq面积的取值范围【解答】解：（1）由椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2，可得2a+2c=4+2，即a+c=2+，由题意可得a=2b，c=b，解得b=1，则椭圆m的方程为+y2=1；（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m0），p（x1，y1），q（x2，y2），由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m21）=0=64k2m216（1+4k2）（m21）=16（4k2m2+1）0，且x1+x2=，x1x2=y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2 因为直线op，pq，oq的斜率依次成等比数列，所以， =k2，即+m2=0，又m0，所以k2=，即k= 由于直线oq的斜率存在，且0，得0m22且m21设d为点o到直线l的距离，则sopq=d|pq|=|x1x2|=|m|=1，所以sopq的取值范围为（0，1）21已知函数f（x）=（3a）x+a2lnx（ar）（1）若函数y=f（x）在区间（1，3）上单调，求a的取值范围；（2）若函数g（x）=f（x）x在（0，）上无零点，求a的最小值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为对x（0，），a2恒成立，令l（x）=2，x（0，），根据函数的单调性求出a的范围即可【解答】解：（1）f（x）=3a=，当a3时，有f（x）0，即函数f（x）在区间（1，3）上单调递减；当a3时，令f（x）=0，得x=，若函数y=f（x）在区间（1，3）单调，则1或3，解得：a1或a3，综上，a的范围是（，1，+）；（2）x0时，g（x）+，g（x）=（2a）（x1）2lnx0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数g（x）在（0，）无零点，只需对任意的x（0，），g（x）0恒成立，即对x（0，），a2恒成立，令l（x）=2，x（0，），则l（x）=，令m（x）=2lnx+2，x（0，），则m（x）=0，故m（x）在（0，）上递减，于是m（x）m（）=22ln20，从而，l（x）0，于是l（x）在（0，）递增，l（x）l（）=24ln2，故要使a2恒成立，只需a24ln2，+），综上，若函数g（x）=f（x）x在（0，）上无零点，则a的最小值是24ln2选修4-1：几何证明选讲22选修41：几何证明选讲如图，已知pa是o的切线，a是切点，直线po交o于b、c两点，d是oc的中点，连接ad并延长交o于点e，若pa=2，apb=30（）求aec的大小；（）求ae的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（）先连接ab，根据切线的性质以及已知条件得到：aob=60；再结合oa=ob以及abc=aec即可得到结论；（）分两段，先根据直角三角形中的有关性质求出ad，再