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静电场中的导体球壳类问题例析阜阳市红旗中学 吴长海当静电场中有导体存在时，导体内的自由电子在电场力的作用下将重新进行分布；反过来，电荷分布的改变又会影响到电场分布。因此，静电场中有导体存在时，电荷的分布和电场的分布相互影响、相互制约，最后达到的平衡分布是不能预先判知的。因此，我们处理这类问题的基本方法是：假定这种平衡分布已经达到，然后以静电平衡条件为出发点，结合静电场的普遍规律去进行分析。而不是去分析电场、电荷在相互作用下怎样达到平衡分布这一复杂过程。限于中学生的知识水平，物理竞赛中只限于对一些简单问题（主要是导体球壳类问题）进行定性和半定量的分析。由于中学阶段对这类问题涉及较少，所以，许多参加竞赛的同学对这类问题的理解并不深入，本文试就这类问题的求解思路进行例析。 一、巧用对称性求解均匀带电半球壳问题一个完整的均匀带电球壳可以看作是由两个对称的均匀带电半球壳组成，其内部某点的电势应等于两个均匀带电半球壳单独存在时在该处所产生的电势的叠加。因此，我们可以巧妙地利用对称性和电势叠加原理来求解。+ABCPOQD图1 例1 （第八届预赛题）电荷q均匀地分布在半球面ACB上，球面半径为R，CD为通过半球面顶点C与球心O的轴线，如图1所示，P、Q为CD轴线上在O点两侧、离O点距离相等的两点。已知P点的电势为UP，试求Q点的电势UQ。解析：设想一个均匀带电、带电量也是q的右半球，与题中所给的左半球组成一个完整的均匀带电球壳，由对称性可知，右半球在P点的电势等于左半球在Q点的电势，即= （1）所以 （2）而正是两个半球同时存在时P点的电势。因为均匀带电球壳内部各处电势都相等，其值等于，k为静电力常量，所以得 （3）由（2）、（3）两式得 二、导体球壳的电势常选球心处来计算这是因为：（1）处于静电平衡状态的导体球壳是一个等势体，其内部各点的电势都与球壳处的电势相等。当然，球心处的电势也等于球壳的电势；（2）一般来说球心处的电势往往便于计算。 例2 (13届复赛题)在半径R的导体球外，一半径为r的细圆环，圆环的圆心与导体球心的连线长为d（dR），且与环面垂直，如图2所示，已知环上均匀带电，总电量为q，问：Rdr图21当导体球接地时，球上感应电荷总电量是多少？2当导体球不接地而所带总电量为零时，它的电势如何？3当导体球的电势为V0时，球上的总电荷是多少？解析：1。导体球是一个等势体，导体球的电势等于球心处的电势。当导体球接地时，对于球心有球心=球=0 （1）由电势叠加原理知：球心处的电势等于球面上感应电荷与圆环上的电荷在球心处产生的电势的叠加。由于球外空间有带电圆环存在，所有感应电荷都分布在球面上，但球壳外壁的电荷分布并不均匀。设球面上感应电荷的总量为1，我们可以设想对球面进行无限分割，使每一个小面元都可以看作点电荷，它们到球心的距离都是R。在导体球表面上的第i个面元所带的电量为，它在球心处产生的电势为，则由电势叠加原理可求出球面上所有感应电荷在球心处产生的电势为 （说明：由上面的分析可见，这一结果与感应电荷在球体表面是否均匀分布无关。）同理，对均匀带电圆环也可以进行无限分割，由于圆环上每个线元电荷到球心的距离都是，所以，圆环上的电荷在球心处所产生的电势为 因此，球心处的电势为球心= （2）由（1）、（2）两式得 （3）2导体球不接地时， 同样有球=球心= （4）其中Q2是此时导体球壳所带电量 由于导体球不带电，故Q2=0 则球=球心= （5）3当导体球的电势为V0时，同样有球= （6）其中Q3是此时导体球壳所带电量所以， （7）三、装置不变时，不同的静电平衡状态可以叠加，叠加后仍为静电平衡状态接上面的例2：4.情况3与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？5.情况2与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？解析：4。对比（3）式和（7）式可知，情况3比情况1只是在导体球上多了电荷，而导体球的电势相应地由0变为V0。因而，我们可以设想从情况1出发，把导体球与地断开而维持原来的Q1大小及分布不变，再把电荷均匀地抹在球面上，正是它使导体球的电势变为V0，这两种静电平衡状态的叠加即成为情况3。对于球外的圆环来说，这些加上的电荷对它的作用力相当于集中在球心处的等量点电荷对它的作用力，这也就是圆环多受到的作用力。由于圆环上的电荷均匀分布，对圆环中心到球心的连线具有轴对称性，把圆环上各线元电荷受到上述等效点电荷的作用力沿两心连线方向的分量相加，就是圆环多受到的作用力。所以，圆环受导体球的作用力改变量的方向应沿两心连线向外（图中向右），大小为 （8）5可直接应用情况4的结果，只是把（8）式中的V0用情况2中的球替换，即将（5）式代入（8）式即可。所以情况2与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的方向仍为沿两心连线向外（图中向右），大小是 或者也可以这样去想：导体球处于圆环的电场中，由于静电感应，导体球带上等量异种电荷。由情况（1）的计算可知：当导体球接地时，感应电荷总量为，则导体球不接地时，球上比情况1应多出的感应电荷。则仍然可以得到与上面相同的结果。四、要熟悉静电屏蔽的一些特点 例3（22届复赛题）如图3所示，O为半径等于R的原来不带电的导体球的球心，O1、O2、O3为位于球内的三个半径皆为r的球形空腔的球心，它们与O共面，已知在OO1、OO2的连线上距O1、O2为的P1、P2点处分别放置带电量为q1和q2的线度很小的导体（视为点电荷），在O3处放置一带电量为q3的点电荷，设法O1O2O3PP2P1ORRr图3使q1、q2和q3固定不动在导体球外的P点放一个电量为Q的点电荷，P点与O1、O2、O3共面，位于的延长线上，到O的距离。1求q3的电势能。2将带有电量q1、q2的小导体释放，当重新达到静电平衡时，各表面上的电荷分布有何变化？ 此时q3的电势能为多少？解析：1空腔内有电荷存在时，由于静电感应，空腔1、2及3的表面将分别感应出电量为、和的电荷。由电荷守恒定律可知，在导体球的外表面也必然感应出等量的同种电荷，所以，导体球的外表面的感应电荷总量为。由于静电屏蔽，点电荷q1及感应电荷（）在空腔外产生的电场为零；点电荷q2及感应电荷（）在空腔外产生的电场为零；点电荷q3及感应电荷（）在空腔外产生的电场为零。因此，在导体球外没有电荷时，导体球外表面的电量应作球对称分布。当球外P点处放置电荷Q后，由于导体球不接地，所以，球面上的总电量不变，仍为，但由于静电感应，这些电荷在球面上将不再均匀分布，由球外的Q和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零。O3处的电势应由位于P点处的Q、导体球表面的电荷及空腔3表面的感应电荷（）共同产生。无论在球面上如何分布，球面上的电荷到O点的距离都是R，因而在O点产生的电势为， Q在O点产生的电势为，这两部分电荷在O3点产生的电势与它们在O点产生的电势相等，即有 （1）因q3放在空腔3的中心处，其感应电荷在空腔3壁上均匀分布这些电荷在O3点产生的电势为 (2)根据电势叠加定理，O3点的电势为 (3)故q3的电势能为 (4)2由于静电屏蔽，空腔1外所有电荷在空腔1内产生的合电场为零，空腔1内的电荷q1仅受到腔内壁感应电荷的静电力作用，因q1不在空腔1的中心O1点，所以感应电荷在空腔表面分布不均匀，与q1相距较近的区域电荷面密度较大，对q1的吸力较大，在空腔表面感应电荷的静电力作用下，q1最后到达空腔1表面，与感应电荷中和。同理，空腔2中q2也将在空腔表面感应电荷的静电力作用下到达空腔2的表面与感应电荷中和。达到平衡后，腔1、2表面上无电荷分布，腔3表面和导体球外表面的电荷分布没有变化。O3的电势仍由球外的电荷Q和导体球外表面的电量及空腔3内壁的电荷共同产生，故O3处的电势U与q3的电势能W仍如(3)式与(4)式所示。说明：由于静电屏蔽，点电荷q1及感应电荷（）在空腔内表面以外的区域产生的合电场为零，因而，它们对腔外空间的电场无贡献。腔外区域的电场只由腔外的电荷来决定。所以，腔外各点的电势也由腔外的电场决定。这一点我们可以用电势的定义来理解：因为电场中某点的电势等于把单位正电荷由该点移动到参考点电场力做的功。所以，题中腔1、2中的（q1、q1）、（q2、q2）对O3点的电势均没有贡献。从本题的求解以及静电平衡的特点我们可以得到静电屏蔽的一些特点：1封闭导体球壳（不论接地与否）内的电场只由壳内带电体及壳的内壁形状决定，不受壳外电荷的影响；接地封闭导体球壳外部电场不受壳内电荷的影响。2在壳内空间带电体的电量给定的情况下，虽然壳内电荷在壳外空间（通过在壳外壁感应出等量电荷）间接引起电场，（所谓间接引起电场并不是说q本身不在壳外激发电场，而是指q以及由它在壳内壁感应的等量负电荷在壳外空间激发的合场强为零。）但壳外电场的场强与电势完全由壳的外壁所带的电量以及壳外空间带电体的电量、形状及配置决定。那种认为壳外电场与壳内电场分布总是有某些联系的想法是不对的，也就是说，不接地导体壳内的电荷（如q）除了使壳的外壁多了一份电量q之外，对壳外电场并无其他影响！上述结论有些可以在电磁学范围内证明，有些则需要在电动力学范围内利用 “唯一性定理”才能证明，对中学生来说，可以采用“类比”的方法理解。五、求感应电荷产生的场强与电势的方法电像法 例4（21届复赛题）如图4所示，接地的空心导体球壳内半径为R，在空腔内一直径上的P1和P2处，放置电量分别为q1和q2的点电荷，q1q2q，两点电荷到球心的距离均为a。由静电感应与静电屏蔽可知：导体空腔内表面将出现感应电荷分布，感应电荷电量等于2q。空腔内部的电场是由q1、q2和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的。由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的，所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强。但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场的贡献，可用假想的位于腔外的（等效）点电荷来代替（在本题中假想(等效)点电荷应为两个），只要假想的（等效）点电荷的位置和电量能满足这样的条件，即：设想将整个导体壳去掉，由q1在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷与q1共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0；由q2在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷与q2共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0。这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷，而且这样确定的等效电荷是唯一的。等效电荷取代感应电荷后，可用等效电荷、和q1、q2来计算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或场强。rP2P1qRAOaa图41试根据上述条件，确定假想等效电荷、的位置及电量。2求空腔内部任意点A的电势UA。已知A点到球心O的距离为r，与的夹角为q 。解析：静电平衡后，感应电荷的作用是使导体球壳等势。本题的基本思想是：如果能在某个位置处找到一个假想的点电荷，这个点电荷的作用与感应电荷的作用（本题中是使空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0）等效，那么，我们就可以用这个假想的电荷来等效代替感应电荷。这样，导体空腔内部任意点的电势或场强就可以很方便地由电势叠加原理或场强叠加原理求出。这个假想的等效电荷也叫做感应电荷的“电像”。但要注意：感应电荷的“电像”一定位于施感电荷（引起静电感应的电荷）的异侧。并且，只能计算施感电荷一侧的场强和电势。B2B1P2P1OR1aaq图5S1A1如图5所示，S为原空腔内表面所在位置，的位置应位于的延长线上的某点B1处，的位置应位于的延长线上的某点B2处。设A1为S面上的任意一点，根据题意有 (1) (2)怎样才能使 (1) 式成立呢？下面分析图5中与的关系。若等效电荷的位置B1使下式成立，即 (3)即 (4)则 有 (5) 由 (1)式和 (5)式便可求得等效电荷(6)由 (3) 式知，等效电荷的位置B1到原球壳中心位置O的距离 (7) 同理，B2的位置应使，用类似的方法可求得等效电荷 (8) 等效电荷的位置B2到原球壳中心O位置的距离 (9) 2A点的位置如图6所示。A的电势由q1、q2、共同产生，即 (10) 因为 B2B1P2P1OR1aaqA图6S 代入 (10) 式得 (11)O1O2O3O4O5图7P练习：1（15届预赛题）真空中，有五个带电量均为q的均匀带电薄球壳，它们的半径分别为R、R/2、R/4、R/8、R/16，彼此内切于P点(如图7)，球心分别为O1 、O2 、O3 、O4 、O5 ,求O5 与O1间的电势差。【答：】xyzTABROErCDP图8 2（14届预赛题）有一半径为 R 的不导电的半球薄壳，均匀带电 ，倒扣在xoy 平面上，如图 8所示。图中为球心，ABCD为球壳边缘 ,AOC 为直径。有一电量为 q 的点电荷位于 OC 上的 E 点 ,OE = r ，已知将此点电荷由 E 点缓慢移至球壳顶点 T 时 , 外力需要作功W，W0, 不计重力影响。（1）试求将此点电荷由 E 点缓慢移至 A 点外力需做功的正负及大小，并说明理由。【答：外力做功为零】（2）P 为球心正下方的一点 ,OP=R. 试求将此点电荷由 E 点缓慢移至 P 点外力需做功的正负及大