湖南省邵阳市洞口县高二数学下学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年湖南省邵阳市洞口县高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合a=1，1，2，b=x|（x2）（x+2）0），则ab=（）a1b1c1，1d1，1，22已知复数，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数所对应的点在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3下列判断错误的是（）a“am2bm2”是“ab”的充分不必要条件b命题“xr，x3x20”的否定是“xr，x3x210”c“若a=1，则直线x+y=0和直线xay=0互相垂直”的逆否命题为真命题d若pq为假命题，则p，q均为假命题4已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，2），若（），则向量与向量的夹角的余弦值是（）abcd5如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）a3+b2+c2+d3+6已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，xr，则f（x）是（）a最小正周期为的奇函数b最小正周期为的奇函数c最小正周期为的偶函数d最小正周期为的偶函数7执行如图的程序框图，若输出的结果是，则输入的a为（）a3b4c5d68某校投篮比赛规则如下：选手若能连续命中两次，即停止投篮，晋级下一轮假设某选手每次命中率都是0.6，且每次投篮结果相互独立，则该选手恰好投篮4次晋级下一轮的概率为（）abcd9已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于a、b两点，且|=|，其中o为原点，则实数a的值为（）a2b2c2或2d或10已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若x1，3，x22，3，使得f（x1）g（x2），则实数a的取值范围是（）aa1ba1ca0da011设f1，f2是双曲线的两个焦点，p在双曲线上，若，（c为半焦距），则双曲线的离心率为（）abc2d12设函数f（x）是偶函数f（x）（xr）的导函数，f（x）在区间（0，+）上的唯一零点为2，并且当x（1，1）时，xf（x）+f（x）0则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）a（2，0）（0，2）b（，2）（2，+）c（1，1）d（2，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13在（x）5的二次展开式中，x2的系数为（用数字作答）14直线y=x与抛物线y=2x2所围成的图形面积为15x，y满足约束条件，则x2+y2的取值范围为16已知向量与的夹角为120，且|=2，|=3，若=+，且，则实数的值为三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，已知a=1，b=，f（a）=，求角c18如图，在直三棱柱abca1b1c1中，点d是bc的中点（1）求证：a1b平面adc1；（2）若abac，ab=ac=1，aa1=2，求平面adc1与aba1所成二面角的正弦值19某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按0，10，（10，20，（20，30，（30，40，（40，50分组，得到频率分布直方图如图：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立（）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，试比较与的大小；（只需写出结论）（）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（）设x表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求x的数学期望20已知抛物线方程为x2=2py（p0），其焦点为f，点o为坐标原点，过焦点f作斜率为k（k0）的直线与抛物线交于a，b两点，过a，b两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点m（1）求；（2）设直线mf与抛物线交于c，d两点，且四边形acbd的面积为，求直线ab的斜率k21已知f（x）=ln（mx+1）2（m0）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若m0，g（x）=f（x）+存在两个极值点x1，x2，且g（x1）+g（x2）0，求m的取值范围请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22如图，ab是圆o的直径，点c在圆o上，延长bc到d使bc=cd，过c作圆o的切线交ad于e若ab=6，ed=2（1）求证：cead；（2）求bc的长选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线c的极坐标方程为=（1）求曲线c的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线c相交于a，b两点，求aob的面积选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|xa|（） 当a=2时，解不等式f（x）16|2x1|；（） 若关于x的不等式f（x）1的解集为0，2，求证：f（x）+f（x+2）2a2015-2016学年湖南省邵阳市洞口县高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合a=1，1，2，b=x|（x2）（x+2）0），则ab=（）a1b1c1，1d1，1，2【考点】交集及其运算【分析】求出b中不等式的解集确定出b，找出a与b的交集即可【解答】解：由b中不等式解得：2x2，即b=（2，2），a=1，1，2，ab=1，1，故选：c2已知复数，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数所对应的点在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义即可得出【解答】解：复数=1+2i，复数z的共轭复数=12i所对应的点在第四象限故选：d3下列判断错误的是（）a“am2bm2”是“ab”的充分不必要条件b命题“xr，x3x20”的否定是“xr，x3x210”c“若a=1，则直线x+y=0和直线xay=0互相垂直”的逆否命题为真命题d若pq为假命题，则p，q均为假命题【考点】命题的真假判断与应用【分析】由充分必要条件的判断方法判断a；写出全称命题的否定判断b；由互为逆否命题的两个命题共真假判断c；由复合命题的直接判断判断d【解答】解：由am2bm2，两边同时乘以得ab，反之，由ab，不一定有am2bm2，如m2=0“am2bm2”是”ab”的充分不必要条件故a正确；命题“xr，x3x20”的否定是“xr，x3x210”故b正确；“若a=1，则直线x+y=0和直线xay=0互相垂直”正确，其逆否命题正确；若pq为假命题，则p，q中至少一个为假命题故d错误故选：d4已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，2），若（），则向量与向量的夹角的余弦值是（）abcd【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的坐标运算和向量的平行求出k的值，再根据向量的夹角公式即可求出【解答】解：=（3，1），=（1，3），=（k，2），=（k3，3），（），3（k3）=1（3），k=2，=32+1（2）=4，|=，|=2，cos，=，故选：a5如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）a3+b2+c2+d3+【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出线面位置关系，由勾股定理和三角形的面积公式求出各个面的面积，并加起来求出几何体的表面积【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，直观图如图所示：且d是ab的中点，pd平面abc，pd=ad=bd=cd=1，pdcd，pdab，由勾股定理得，pa=pb=pc=，由俯视图得，cdab，则ac=bc=，几何体的表面积s=+=2+，故选：b6已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，xr，则f（x）是（）a最小正周期为的奇函数b最小正周期为的奇函数c最小正周期为的偶函数d最小正周期为的偶函数【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法【分析】用二倍角公式把二倍角变为一倍角，然后同底数幂相乘公式逆用，变为二倍角正弦的平方，再次逆用二倍角公式，得到能求周期和判断奇偶性的表示式，得到结论【解答】解：f（x）=（1+cos2x）sin2x=2cos2xsin2x=sin22x=，故选d7执行如图的程序框图，若输出的结果是，则输入的a为（）a3b4c5d6【考点】程序框图【分析】算法的功能是求s=+的值，根据输出的s值，确定跳出循环的n值，从而得判断框内的条件【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求s=+的值，s=1=n=5，跳出循环的n值为5，判断框的条件为n5即a=5故选：c8某校投篮比赛规则如下：选手若能连续命中两次，即停止投篮，晋级下一轮假设某选手每次命中率都是0.6，且每次投篮结果相互独立，则该选手恰好投篮4次晋级下一轮的概率为（）abcd【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】根据题意得，该选手第二次不中，第三次和第四次必须投中，由此能求出该选手恰好投篮4次晋级下一轮的概率【解答】解：根据题意得，该选手第二次不中，第三次和第四次必须投中，该选手恰好投篮4次晋级下一轮的概率为：故选：d9已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于a、b两点，且|=|，其中o为原点，则实数a的值为（）a2b2c2或2d或【考点】直线和圆的方程的应用；向量的模；向量在几何中的应用【分析】条件“|=|”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积|2=|2， =0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出a、b两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法【解答】解：由|=|得|2=|2， =0，三角形aob为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=2，故选c10已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若x1，3，x22，3，使得f（x1）g（x2），则实数a的取值范围是（）aa1ba1ca0da0【考点】全称命题【分析】由x1，3，都x22，3，使得f（x1）g（x2），可得f（x）在x1，3的最小值不小于g（x）在x22，3的最小值，构造关于a的不等式，可得结论【解答】解：当x1，3时，由f（x）=x+得，f（x）=，令f（x）0，解得：x2，令f（x）0，解得：x2，f（x）在，2单调递减，在（2，3递增，f（2）=4是函数的最小值，当x22，3时，g（x）=2x+a为增函数，g（2）=a+4是函数的最小值，又x1，3，都x22，3，使得f（x1）g（x2），可得f（x）在x1，3的最小值不小于g（x）在x22，3的最小值，即4a+4，解得：a0，故选：c11设f1，f2是双曲线的两个焦点，p在双曲线上，若，（c为半焦距），则双曲线的离心率为（）abc2d【考点】双曲线的简单性质【分析】由，可得pf1f2是直角三角形，由勾股定理得（2c）2=|pf1|2+|pf2|2=|pf1pf2|22|pf1|pf2|=4a24ac，即可求出双曲线的离心率【解答】解：由题意得，pf1f2是直角三角形，由勾股定理得（2c）2=|pf1|2+|pf2|2=|pf1pf2|22|pf1|pf2|=4a24ac，c2aca2=0，e2e1=0，e1，e=故选：d12设函数f（x）是偶函数f（x）（xr）的导函数，f（x）在区间（0，+）上的唯一零点为2，并且当x（1，1）时，xf（x）+f（x）0则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）a（2，0）（0，2）b（，2）（2，+）c（1，1）d（2，2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质【分析】令g（x）=xf（x），判断出g（x）是r上的奇函数，根据函数的单调性以及奇偶性求出f（x）0的解集即可【解答】解：令g（x）=xf（x），g（x）=xf（x）+f（x），当x（1，1）时，xf（x）+f（x）0，g（x）在（1，1）递减，而g（x）=xf（x）=xf（x）=g（x），g（x）在r是奇函数，f（x）在区间（0，+）上的唯一零点为2，即g（x）在区间（0，+）上的唯一零点为2，g（x）在（，1）递增，在（1，1）递减，在（1，+）递增，g（0）=0，g（2）=0，g（2）=0，如图示：，x0时，f（x）0，即xf（x）0，由图象得：0x2，x0时，f（x）0，即xf（x）0，由图象得：2x0，综上：x（2，2），故选：d二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13在（x）5的二次展开式中，x2的系数为40（用数字作答）【考点】二项式定理【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出x2的系数【解答】解：，令所以r=2，所以x2的系数为（2）2c52=40故答案为4014直线y=x与抛物线y=2x2所围成的图形面积为【考点】定积分【分析】求两个曲线的交点，利用定积分的几何意义求区域面积【解答】解：将y=x，代入y=2x2得x=2x2，解得x=2或x=1，y=2，y=1，直线y=x和抛物线y=2x2所围成封闭图形的面积如图所示，s=（2xx2）dx=（2x）|=（2）（4+2）=，故答案为：15x，y满足约束条件，则x2+y2的取值范围为0，8【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划【分析】作平面区域，通过x2+y2的几何意义是点（0，0）与点（x，y）的两点的距离的平方，从而利用数形结合求解【解答】解：作约束条件的平面区域如下，x2+y2的几何意义是点（0，0）与点（x，y）的两点的距离的平方，解得a（2，2）且大圆的半径为，小圆的半径为0，故0x2+y28，故答案为：0，816已知向量与的夹角为120，且|=2，|=3，若=+，且，则实数的值为【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】根据向量数量积的公式，结合向量垂直的关系即可得到结论【解答】解：向量与的夹角为120，且|=2，|=3，=|cos120=2=3，=+，且，=（+）=（+）（）=0，即2+=0，34+9+3=0，解得，故答案为：三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，已知a=1，b=，f（a）=，求角c【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简，求得f（x）=2sin（2x+），根据正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调减区间；（2）f（a）=，代入（1）求得sin2a=，由三角形的性质ab，求得a，利用正弦定理求得sinb，分类讨论b的取值，分别求得角c【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+）由2k+2x+2k+，得xk+，k+（kz），因此f（x）的单调递减区间为k+，k+（kz）（2）由f（a）=2sin2（a）+=2sin2a=，又ab，所以a为锐角，则a=由正弦定理得sinb=，当b=时，c=；当b=时，c=18如图，在直三棱柱abca1b1c1中，点d是bc的中点（1）求证：a1b平面adc1；（2）若abac，ab=ac=1，aa1=2，求平面adc1与aba1所成二面角的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）连接a1c，交ac1于点e，连接de，则dea1b，由此能证明a1b平面adc1（）建立空间直角坐标系axyz利用向量法能求出平面adc1与aba1所成二面角的正弦值【解答】（）证明：连接a1c，交ac1于点e，则点e是a1c及ac1的中点连接de，则dea1b因为de平面adc1，所以a1b平面adc1（）解：建立如图所示空间直角坐标系axyz则a（0，0，0），b（1，0，0），c（0，1，0），c1（0，1，2）d（，0），=（，0），=（0，1，2）设平面adc1的法向量=（x，y，z），则，不妨取=（2，2，1）平面aba1的一个法向量=（0，1，0）|cos，|=|=，设平面adc1与aba1所成二面角的平面角为，sin=平面adc1与aba1所成二面角的正弦值是19某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按0，10，（10，20，（20，30，（30，40，（40，50分组，得到频率分布直方图如图：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立（）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，试比较与的大小；（只需写出结论）（）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（）设x表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求x的数学期望【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差【分析】（）按照题目要求想结果即可（）设事件a：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件b：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件c：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱求出p（a），p（b），p（c）（）x的可能取值为0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望【解答】（共13分）解：（）a=0.015； s12s22（）设事件a：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件b：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件c：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱则p（a）=0.20+0.10=0.3，p（b）=0.10+0.20=0.3所以（）由题意可知，x的可能取值为0，1，2，3p（x=0）=c300.300.73=0.343，p（x=1）=c310.310.72=0.441，p（x=2）=c320.320.71=0.189，p（x=3）=c330.330.70=0.027所以x的分布列为x0123p0.3430.4410.1890.027所以x的数学期望ex=00.343+10.441+20.189+30.027=0.920已知抛物线方程为x2=2py（p0），其焦点为f，点o为坐标原点，过焦点f作斜率为k（k0）的直线与抛物线交于a，b两点，过a，b两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点m（1）求；（2）设直线mf与抛物线交于c，d两点，且四边形acbd的面积为，求直线ab的斜率k【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）设出直线ab的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和点满足直线方程，由向量的数量积的坐标表示，化简即可得到所求值；（2）求得切线的斜率和切线的方程，运用弦长公式，可得|ab|，|cd|，求得四边形abcd的面积，运用对勾函数的性质，解方程可得k的值【解答】解：（1）设直线ab方程为，联立直线ab与抛物线方程，得x22pkxp2=0，则x1+x2=2pk，x1x2=p2，可得=x1x2+y1y2=x1x2=x1x2+（kx1+）（kx2+）=（1+k2）x1x2+（x1+x2）=（1+k2）（p2）+2pk=p2；（2）由x2=2py，知，可得曲线在a，b两点处的切线的斜率分别为，即有am的方程为，bm的方程为，解得交点，则，知直线mf与ab相互垂直由弦长公式知，|ab|=2p（1+k2），用代k得，四边形acbd的面积，依题意，得的最小值为，根据的图象和性质得，k2=3或，即或21已知f（x）=ln（mx+1）2（m0）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若m0，g（x）=f（x）+存在两个极值点x1，x2，且g（x1）+g（x2）0，求m的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定函数的单调性；（2）求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值，判断是否符合题意，从而判断出m的范围即可【解答】解：（1）由已知得mx+10，f（x）=，若m0时，由mx+10，得：x，恒有f（x）0，f（x）在（，+）递增；若m0，由mx+10，得：x，恒有f（x）0，f（x）在（，）递减；综上，m0时，f（x）在（，+）递增，m0时，f（x）在（，）递减；（2）g（x）=ln（mx+1）+2，（m0），g（x）=，令h（x）=mx2+4m4，m1时，h（x）0，g（x）0，g（x）无极值点，0m1时，令h（x）=0，得：x1=2或x2=2，由g（x）的定义域可知x且x2，2且22，解得：m，x1，x2为g（x）的两个极值点，即x1=2，x2=2，且x1+x2=0，x1x2=，得：g（x1）+g（x2）=ln（mx1+1）+2+ln（mx2+1）+2=ln（2m1）2+2，令t=2m1，f（t）=lnt2+2，0m时，1t0，f（t）=2ln（t）+2，f（t）=0，f（t）在（1，0）递减，f（t）f（1）0，即0m时，g（x1）+g（x2）0成立，符合题意；m1时，0t1，f（t）=2lnt+2，f（t）=0，f（t）在（0，1）递减，f（t）f（1）=0，m1时，g（x1）+g（x2）0，不合题意，综上，m（0，）请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22如图，ab是圆o的直径，点c在圆o上，延长bc到d使bc=cd，过c作圆o的切线交ad于e若ab=6，ed=2（1）求证：cead；（2）求bc的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）由条件可得ocad，利用平行线的性、圆的切线性质证得cead（2）根据三角形相似的性质题意可得abccde，故有，结合bc=cd，求得bc的值【解答】解：（1）由题意可得，o，c分别为ab，bd的中