高三数学第一轮复习讲义19等差与等比数列.docx

2018届高三第一轮复习讲义【19】-等差与等比数列一、知识梳理：等差数列、等比数列等差数列等比数列定义递推公式；通项公式求和公式中项公式 推广：2=推广：性 质1若则 若，则2若成等差数列（其中）则也为等差数列若成等差数列 （其中），则成等比数列3、是公差分别为，的等差数列，则也是等差数列、是公比分别为，的等比数列，则也是等比数列4、是公差分别为，的等差数列，若它们的相同项也组成一个新的数列，则也是等差数列，公差为，的最小公倍数等比数列前n项乘积记作，则成等比数列5 成等差数列(和不为零)成等比数列6 ， 2.【补充】等差数列的其他性质： 若两个等差数列和，它们的前项和分别为和，则; 若等差数列的项数为，则; 若等差数列的项数为，则; 在等差数列中,若 则 ; 在等差数列中, 前项和为若则 ; 在等差数列中, 前项和为若则.3.【注意】等差数列： （可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）若不为0，则是等差数列充分条件）; 等差前n项和可以为零也可不为零为等差的充要条件若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件; 当时，是单调递增的，当时，是单调递减的; 非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）4.【注意】等比数列： 等比中项：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac0，则等比中项一定有两个 通项公式法：验证（为非零常数）. 前项和公式： 等比数列中，若，则数列是单调递增的；若，则数列是单调递减的；若，则数列是常数列；若，则数列是摆动数列. 正数列成等比的充要条件是数列（）成等差数列.（类比思想）二、基础检测：1. 如果数列都是等差数列, 给出下列命题: (1)数列是等差数列; (2)数列是等差数列; (3)数列是等差数列; (4)数列是等差数列; 其中真命题的序号是_.2.已知数列，设数列的前n项和为,则当 时，取到最 值.3.若关于的方程和的四个根可以组成首项为的等差数列, 则的值为 ( )A. B. C. D. 4. 已知等比数列的各项均为正数, 公比, 设, , 则P与Q的大小关系是_.5. 在等比数列中, 是方程的两个根, 则的值为_.6. 已知三个数成等差数列, 而另三个数成等比数列,则_;三、例题精讲：【例1】（1）求等差数列8，5，2,的第20项（2）是不是等差数列的项？如果是，是第几项？【解析】（1）由，得该等差数列的公差 又，故（2）由，得该等差数列的公差 所以，这个数列的通项公式为 假设是这个数列中的第项，则 解得：所以是这个数列的第100项【例2】设为等差数列的前项和，若，则 【解析】记首项公差则有 【例3】已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，且有，则下列说法不正确的是 （ ）、 、 、与均为的最大值 、【解析】选 由题意知，所以【例4】已知等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，设，且，求的值【解析】（1）设数列的公差为，则（2），令，得当时，【例5】设、分别是等差数列、的前项和，则 【解析】 填【例6】已知为等差数列的前项和，（1）当为何值时，取得最大值；（2）求的值；（3）求数列的前项和【解析】（1）等差数列中，公差，令当时，；当时，当时，取得最大值；（2）数列是等差数列；（3）由（1）得，当时，；当时， 【例7】已知为等比数列前项和，公比，则项数 【解析】由，公比，得【例8】已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数【解析】方法1：设这四个数分别为，则；方法2：设第个数分别为，则第个数为，第个数为，则或；【例9】已知等比数列的前三项依次为，则（ ） 【解析】， 【例10】已知数列的前n项和，那么下述结论正确的是（ ）A为任意实数时，是等比数列B= 1时，是等比数列C=0时，是等比数列D不可能是等比数列【解析】时，；时，所以是等比数列的充要条件是，即，选（B）【例11】已知数列的首项，证明：数列是等比数列； 【解析】， ， ，又，数列是以为首项，为公比的等比数列【例12】已知数列和满足：，其中为实数，（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论【解析】（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，即矛盾所以不是等比数列 （2）解：因为 又，所以当，此时不是等比数列；当时，由上知，此时是等比数列四、难题突破：例1、已知数列为等差数列，公差，的部分项组成下列数列：恰为等比数列，其中，求解析：设首项为，成等比数列，得，又，；例2:、设各项均为正数的数列和满足成等比数列，成等差数列，且，求通项解析：依题意得：，；将代入，可得出，数列为等差数列；，求出，；时，均成立，综上所述，；五、课堂练习：1. 已知是等差数列, 且, 求k与.2. 已知等差数列共有奇数个项, 且奇数项之和为44, 偶数项之和为33, 求数列的中间项以及项数.3.已知均为等差数列, 且它们前n项的和之比为, 求的值.4.设为等差数列, , , ,(1)求公差的取值范围.(2)指出中哪个值最大.5. 已知等差数列中, , 它的前11项的平均值是5, 从中抽取一项, 余下的项的平均值是4, 则被抽取的项的项标是_.6.已知等差数列与等差数列均有100项, 则它们相同的项有_项.7.一个等差数列的前12项和为354, 其中偶数项和与奇数项和之比为, 则公差 .8.已知是等比数列, 且, 求.9.设. b是a与c的等差中项, 且a, b, c的和为81, 又若是与的等比中项, 求a, b, c.10.已知是公差为d的等差数列, 是公比为q的等比数列, 其中, 求证:(1) 数列是等比数列(其中p, r为常数);(2) 数列是等差数列(其中p, r为常数, 且, ).11设数列的前项和为，已知.(1)设，求数列的通项公式.(2)若，求的取值范围.12.在等比数列中, 已知前10项和为5, 前20项和为15, 求数列的前30项和.13.已知关于x的二次方程的两根满足.(1) 试用表示;(2) 当时, 求证: 数列是等比数列;(3) 当时, 求数列的通项公式.六、回顾总结：1.主要方法:等差、等比数列中，(或q)、“知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时会用到换元法；学会等差、等比数列之间的性质类比；应用函数思想，解决等差数列前n项和的最大、最小值问题；应用分类讨论思想，正确使用等比数列前n项和公式.2.易错、易漏点:求等比数列的前n项和时，要考虑公比是否等于1，公比是字母时必须进行分类讨论；数列是特殊的函数，往往与方程、函数、不等式联系，但仅限于实数数列，同时注意下标的取值要求.七、课后练习：1 在等差数列中，已知数列公差等于，且满足，则 2 设等差数列的公差不为0，若是与的等比中项，则 3 已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则等于 4 在数列中，且对任意大于1的正整数，点在直线上，则 5 等差数列的前项和为，若，则 6 已知等差数列的前项和为，满足，则 7 等差数列的前项和为，若，则 8 等差数列、的前项和分别为和，若，则 9 已知数列的前项和，数列的每一项都有，求数列 的前项和10 已知数列的前项和为，且满足，（1）求证是等差数列；（2）求的表达式11 等比数列中，前项和为，若数列也是等比数列，则等于 12 已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是（ ）A B C D13 是等比数列，则（ ）A B C D14 设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则 15 已知等差数列的公差，且成等比数列，则 16 各项均为正数的等比数列，若，求17 直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（ ）A B C D【思考题】1.在数列中，如果对任意都有(为常数)，则称为等差比数列，称为公差比。现给出下列命题：(1)等差比数列的公差比一定不为零.(2)等差数列一定是等差比数列.