数学 函数零点的求法及零点的个数.pdf

启蒙师 第 1 页 共 4 页 函数函数零点的求法及零点的个数零点的求法及零点的个数 题型题型 1 1 求函数的零点 求函数的零点 例 1 求函数 22 23 xxxy 的零点 解题思路 求函数 22 23 xxxy 的零点就是求方程 022 23 xxx 的根 解析 令 32 220 xxx 2 2 2 0 xxx 2 1 1 0 xxx 112xxx 或或 即函数 22 23 xxxy 的零点为 1 1 2 反思归纳 函数的零点不是点 而是函数函数 yf x 的图像与 x 轴交点的横坐标 即零点是一个实数 题型题型 2 2 确定函数零点的个数 确定函数零点的个数 例 2 求函数 f x lnx 2x 6 的零点个数 解题思路 求函数 f x lnx 2x 6 的零点个数就是求方程 lnx 2x 6 0 的解的个数 解析 方法一 易证 f x lnx 2x 6 在定义域 0 上连续单调递增 又有 1 4 0ff 所以函数 f x lnx 2x 6 只有一个零点 方法二 求函数 f x lnx 2x 6 的零点个数即是求方程 lnx 2x 6 0 的解的个数 即求 ln 62 yx yx 的交点的个数 画图可知只有一个 反思归纳 求函数 xfy 的零点是高考的热点 有两种常用方法 代数法 求方程 0 xf 的实数根 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数 xfy 的图像联系起来 并利用函数的性质找出零点 题型题型 3 3 由函数的 由函数的零点零点特征确定参数的特征确定参数的取值范围取值范围 例 3 2007 广东 已知 a 是实数 函数 axaxxf 322 2 如果函数 xfy 在区间 1 1 上有零点 求 a 的取值范围 解题思路 要求参数 a 的取值范围 就要从函数 xfy 在区间 1 1 上有零点寻找关于参数 a 的不等式 组 但由于涉及到 a 作为 2 x 的系数 故要对 a 进行讨论 解析 若 0a 23f xx 显然在 1 1 上没有零点 所以 0a 令 2 48382440aaaa 解得 37 2 a 当 37 2 a 时 yf x 恰有一个零点在 1 1 上 当 05111 aaff 即1 5a 时 yf x 在 1 1 上也恰有一个零点 当 yf x 在 1 1 上有两个零点时 则 启蒙师 第 2 页 共 4 页 2 0 82440 1 11 2 10 10 a aa a f f 或 2 0 82440 1 11 2 10 10 a aa a f f 解得 5a 或 35 2 a 综上所求实数a的取值范围是 1a 或 35 2 a 反思归纳 二次函数 一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体 也是高考热点 要深刻理解 它们相互之间的关系 能用函数思想来研究方程和不等式 便是抓住了关键 二次函数 2 f xaxbxc 的图像形状 对称轴 顶点坐标 开口方向等是处理二次函数问题的重要依 据 考点考点 3 3根的分布问题根的分布问题 例 5 已知函数 2 3 1f xmxmx 的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧 求实数 m 的取值 范围 解题思路 由于二次函数的图象可能与 x 轴有两个不同的交点 应分情况讨论 解析 1 若 m 0 则 f x 3x 1 显然满足要求 2 若 m 0 有两种情况 原点的两侧各有一个 则 0 1 04 3 21 2 m xx mm m 0 都在原点右侧 则 0 1 0 2 3 04 3 21 21 2 m xx m m xx mm 解得 0 m 1 综上可得 m 1 反思归纳 二次方程根的分布是高考的重点和热点 需要熟练掌握有关二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根 的分布有关的结论 方程 f x 0 的两根中一根比 r 大 另一根比 r 小 a f r 0 二次方程 f x 0 的两根都大于 r 0 2 04 2 rfa r a b acb 二次方程 f x 0 在区间 p q 内有两根 0 0 2 04 2 pfa qfa q a b p acb 二次方程 f x 0 在区间 p q 内只有一根 f p f q 0 或 f p 0 另一根在 p q 内或 f q 0 另一根在 p q 内 方程 f x 0 的两根中一根大于 p 另一根小于 q p q 0 0 qfa pfa 二 二 强化巩固训练 强化巩固训练 1 函数 2 21f xmxx 有且仅有一个正实数的零点 则实数m的取值范围是 启蒙师 第 3 页 共 4 页 A 1 B 01 C 00 1 D 1 解析 B 依题意得 1 0 0 04 2 0 2 f m m 或 2 0 0 04 2 0 2 f m m 或 3 04 2 0 2 m m 显然 1 无解 解 2 得 0 m 解 3 得 1 m 又当 0 m 时 12 xxf 它显然有一个正实数的零点 所以应选 B 2 方程 2 23 x x 的实数解的个数为 解析 2 在同一个坐标系中作函数 x y 2 1 及 3 2 xy 的图象 发现它们有两个交点 故方程 2 23 x x 的实数解的个数为 2 3 已知二次函数 22 42 2 21f xxpxpp 若在区间 1 1 内至少存在一个实数 c 使 f c 0 则实数 p 的取值范围是 解析 3 2 3 只需 2 1 2290fpp 或 2 1 210fpp 即 3 p 2 3 或 2 1 p 1 p 3 2 3 4 设函数 32 1 2 x yxy 与的图象的交点为 00 xy 则 0 x所在的区间是 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 答案 B 5 若方程 2 2 210 xkxk 的两根中 一根在 0 和 1 之间 另一根在 1 和 2 之间 求实数 k 的取值范围 解析 12 23 k 令 12 2 2 kxkxxf 则依题意得 0 2 0 1 0 0 f f f 即 012424 01221 012 kk kk k 解得 12 23 k 三 三 小结反思 小结反思 本课主要注意以下几个问题 1 利用函数的图象求方程的解的个数 2 一元二次方 程的根的分布 3 利用函数的最值解决不等式恒成立问题 补充题 补充题 1 定义域和值域均为 a a 常数 a 0 的函数 y f x 和 y g x 的图像如图所示 给出下列四 个命题中 1 方程 f g x 0 有且仅有三个解 2 方程 g f x 0 有且仅有三个解 3 方程 f f x 0 有且仅有九个解 4 方程 g g x 0 有且仅有一个解 那么 其中正确命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 B 由图可知 aaxf aaxg 由左图及 f g x 0 得 aax y y f x O a a a ax y y g x O a a 启蒙师 第 4 页 共 4 页 2 1 a axxg 0 2 2 a xxg 2 a xg 由右知方程 f g x 0 有且仅有三个解 即 1 正确 由右图及 g f x 0 得 2 0 a a xxf 由左图知方程 g f x 0 有且仅有一个解 故 2 错误 由左 图及 f f x 0 得 2 1 a axxf 0 2 2 a xxf 2 a xf 又由左图得到方程 f f x 0 最 多有三个解 故 3 错误 由右图及 g g x 0 得 2 0 a a xxg 由右图知方程 g g x 0 有且仅有 一个解 即 4 正确 所以应选择 B 2 已知关于 x 的二次方程 2 2210 xmxm 1 若方程有两根 其中一根在区间 1 0 内 另一根在区间 1 2 内 求 m 的范围 2 若方程两根均在区间 0 1 内 求 m 的范围 解析 1 条件说明抛物线 2 221f xxmxm 与 x 轴的交点分别在区间 1 0 和 1 2 内 画出示 意图 得 6 5 2 1 2 1 056 2 024 1