高考数学一轮复习专题10.6椭圆双曲线抛物线的离心率与渐进线练习（含解析）.docx

第六讲 椭圆双曲线抛物线的离心率与渐进线【套路秘籍】-千里之行始于足下求离心率的三种方法（1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值（2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率注意：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用不同曲线的离心率范围进行根的取舍，否则将产生增根【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 椭圆的离心率【例1】（1）设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为 。（2）若将（1）中“PF2F1F2，PF1F230”改为“PF2F175，PF1F245”，求C的离心率（3）若将（1）中“PF2F1F2，PF1F230”改为“C上存在点P，使F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围【套路总结】(1) 若可求得a，c，则直接利用e得解(2)若已知a，b，可直接利用e得解(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2qacra20(p，q，r为常数，且p0)，则转化为关于e的方程pe2qer0求解【答案】（1） （2） （3）【解析】解法一：由题意可设|PF2|m，结合条件可知|PF1|2m，|F1F2|m，故离心率e解法二：由PF2F1F2可知P点的横坐标为c，将xc代入椭圆方程可解得y，所以|PF2|又由PF1F230可得|F1F2|PF2|，故2c，变形可得(a2c2)2ac，等式两边同除以a2，得(1e2)2e，解得e或e(舍去)（2）在PF1F2中，PF1F245，PF2F175，F1PF260，设|PF1|m，|PF2|n，|F1F2|2c，椭圆的长轴长为2a，则在PF1F2中，有，e（3）由题意，知cb，c2b2又b2a2c2，c2a2c2，即2c2a2e2，e故C的离心率的取值范围为【举一反三】1. 设F1，F2是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则椭圆E的离心率为_；【答案】【解析】如图，设直线交x轴于D点，因为是底角为的等腰三角形，则有，因为，所以，所以，即，即，即，所以椭圆E的离心率2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为_【答案】【解析】设F(c，0)，则由题意，易得直线A1B2，B1F的方程分别为，将上述两个方程联立，求解可得点T的坐标为T，则M又点M在椭圆上，所以，整理得两边同时除以，可得，解得或(舍去)3.已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 。【答案】【解析】设M(c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以，所以a3c，所以e.4.已知椭圆的方程为2x23y2m，(m0)，则此椭圆的离心率为 。【答案】【解析】由题意，得椭圆的标准方程为1，a2，b2，c2a2b2，e2，即e.考向二 双曲线的离心率【例2】（1）已知点(2，3)在双曲线C：(a0，b0)上，若双曲线C的焦距为4，则它的离心率_；（2）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率_；（3）已知双曲线(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)若双曲线上存在点P使得，则该双曲线的离心率的取值范围是_【答案】（1）2；（2）；（3）【解析】（1）由点(2，3)在双曲线C可得 又焦距为4，所以c=2 ，联立，解得，所以双曲线C的离心率（2） 当焦点在x轴时，由题意可得当焦点在y轴时，由题意可得(3) 由正弦定理可得，即，由e1可得点P在双曲线的右支上又，则，即，因为点P不在x轴上，所以，即，即，结合解得【举一反三】 1.设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使F1AF2=90,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率等于 .【答案】【解析】由,由F1AF2=90,得,即(3a)2+a2=(2c)2,得e=.2.已知椭圆1(ab0)的左焦点为F1，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF1x轴，直线AB与y轴交于点P，其中2，则椭圆的离心率为 .【答案】【解析】如图，ABF1APO，则，即.所以a2c.，所以e.考向三 双曲线的渐近线【例3】已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()Axy0B.xy0Cx2y0 D2xy0【答案】A【解析】椭圆C1的离心率e1，双曲线C2的离心率e2.由e1e2，解得，所以，所以双曲线C2的渐近线方程是yx，即xy0.【举一反三】1.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()Ax21 B.y21C.x21 Dy21【答案】C【解析】A、B选项中双曲线的焦点在x轴上，可排除；C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，令x20，得y2x；令y20，得yx.故选C.2.若双曲线1的离心率为，则其渐近线方程为()Ay2xByxCyxDyx【答案】B【解析】在双曲线中，离心率e，可得，故所求的双曲线的渐近线方程是yx.3.若双曲线 1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】(1)由题意知，则e21，所以e.4.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为() A. B2 C. D.【答案】D【解析】设双曲线方程为1(a0，b0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，ABBM2a，MBA120，作MHx轴于H，则MBH60，BHa，MHa，所以M(2a，a)将点M的坐标代入双曲线方程1，得ab，所以e.故选D.【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1.设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为 。【答案】【解析】考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，则|PF1|PF2|2a，而|PF1|PF2|3b，两式等号左右两边平方后相减，得|PF1|PF2|.又已知|PF1|PF2|ab，ab，得(负值舍去)该双曲线的离心率e.2.过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_【答案】2【解析】如图，F1，F2为双曲线C的左，右焦点，将点P的横坐标2a代入1中，得y23b2，不妨令点P的坐标为(2a，b)，此时kPF2，得到c(2)a，即双曲线C的离心率e2.3.已知双曲线(a0，b0)的右焦点为F，过点F且倾斜角为45的直线与双曲线的右支一定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 。【答案】【解析】过点F且倾斜角为45的直线的斜率为1，一条渐近线方程为，由题意可得，即，结合及，解得故选C4设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲线的离心率为 。【答案】【解析】由双曲线的定义知，(|PF1|PF2|)24a2，所以4a2b23ab，即34，解得4(1舍去)因为双曲线的离心率e，所以e.5已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，以线段F1F2为边作等边三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e_【答案】1【解析】依题意知，F1(c，0)，F2(c，0)，不妨设M在x轴上方，则M(0，c)，所以MF1的中点为，代入双曲线方程可得1，又c2a2b2，所以1，整理得e48e240，解得e242(e242b0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点.若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是 。【答案】【解析】设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形. |AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.设M(0，b)，则，1b2.离心率e.9.椭圆1(ab0)的右焦点F(c，0)关于直线yx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是_【答案】【解析】设椭圆的另一个焦点为F1(c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线yx交于点M.由题意知M为线段QF的中点，且OMFQ.又O为线段F1F的中点，F1QOM，F1QQF，|F1Q|2|OM|.在RtMOF中，tanMOF，|OF|c，可解得|OM|，|MF|，故|QF|2|MF|，|QF1|2|OM|.由椭圆的定义得|QF|QF1|2a，整理得bc，ac，故e.10已知直线l过点A(-1,0)且与B：x2+y2-2x=0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D，一条渐近线平行于l，则E的离心率为 。【答案】e【解析】可设直线l：yk（x+1），B：x2+y22x0的圆心为（1，0），半径为1，由相切的条件可得，可得渐近线方程为，直线l方程，联立x2+y22x0，解得即D（），设双曲线的方程为又双曲线E过点D，代入D的坐标，可得则双曲线的方程为则11设双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点Q，P使得四边形OPFQ为矩形，则其离心率为 .【答案】【解析】依据题意作出如下图像，其中四边形OPFQ为矩形，双曲线的渐近线方程为：，所以直线QO的方程为，直线QF的方