浙江省宁波市高二数学下学期期中试题（含解析）.doc

2016学年第二学期高二年级期中考试数学试卷 选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知函数则的值为( )a. -20 b. -10 c. 10 d. 20【答案】d【解析】试题分析：因为，所以， ，故选d.考点：导数的定义及对数函数求导.2. 从一批产品中取出三件，设=“三件产品全不是次品”，=“三件产品全是次品”，=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）a. a与c互斥 b. b与c互斥 c. 任两个均互斥 d. 任两个均不互斥【答案】b【解析】试题分析：事件c包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，即不全是次品，把事件c同另外的两个事件进行比较，看清两个事件能否同时发生，得到结果解：由题意知事件c包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，事件c中不包含b事件，事件c和事件b不能同时发生，b与c互斥，故选b点评：本题考查互斥事件和对立事件，是一个概念辨析问题，注意这种问题一般需要写出事件所包含的所有的结果，把几个事件进行比较，得到结论3. 二项式的展开式中的有理项共有（ ）a. 4项 b. 5项 c. 6项 d. 7项【答案】c【解析】二项式的展开式中通项公式为 ，令 为整数，可得r=0，2，4，6，8，10，共计6项，本题选择c选项.4. 2017年4月19日是“期中考试”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件=“取到的两个为同一种馅”，事件=“取到的两个都是豆沙馅”，则（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】由题意，,，故选：a【思路点睛】求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，p(b|a)，其中n(ab)表示事件ab包含的基本事件个数，n(a)表示事件a包含的基本事件个数二是直接根据定义计算，p(b|a)，特别要注意p(ab)的求法5. 设函数在定义域内可导，它的图象如图所示，则它的导函数图象可能为( ) a. b. c. d. 【答案】d【解析】函数的图象可知,x0，函数f(x)有两个极值点，导函数的图象与x轴有2个交点，排除a，c；x0的极大值前是增函数，导函数为正值，排除b.本题选择d选项.6. 已知，若,则和分别是（ ）a. 6和2.4 b. 2和2.4 c. 2和5.6 d. 6和5.6【答案】b【解析】由已知随机变量x+y=8，所以有y=8-x.因此，e(y)=8-e(x)=8-100.6=2，d(y)=(-1)2d(x)=100.60.4=2.4.本题选择b选项.7. 某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】五所学生自由录取五名学生,共有55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：种，.则：则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率： 本题选择c选项.8. 已知可导函数满足，则当时，大小关系为 （ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】试题分析：所以函数为增函数考点：函数导数与单调性9. 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那么不同的发言顺序的种数为( )a. 360 b. 520 c. 600 d. 720【答案】c【解析】试题分析：分两种情况：一种是甲乙有一人参加共有,一种是甲乙都参加共有综上共有600种，选c考点：有条件的排列问题，不相邻问题10. 设函数，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】设g(x)=ex(2x1)，y=axa，由题意知存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线y=axa的下方，g(x)=ex(2x1)+2ex=ex(2x+1)，当 时,g(x)0，当 时,g(x)取最小值 ，当x=0时,g(0)=1,当x=1时,g(1)=e0，直线y=axa恒过定点(1,0)且斜率为a，故ag(0)=1且g(1)=3e1aa,解得 本题选择d选项.二填空题: 本大题共7小题, 多空每空3分，单空每题4分, 共36分把答案填在答题卷的相应位置11. 在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题。甲能正确完成其中的4道题，乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响。记所抽取的3道题中，甲答对的题数为x，则x的分布列为_；记乙能答对的题数为y，则y的期望为_【答案】 (1). x123p0.20.30.2 (2). 【解析】（1）主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题；甲能正确完成其中的4题，所抽取的3道题中，甲答对的题数为x，由题意得x的可能取值为1，2，3， x的分布列为：x123p0.20.60.2（2）主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，乙能正确完成每道题的概率为 ,且每道题完成与否互不影响，由题意y的可能取值为0，1，2，3，且 ,或12. 若函数在处的切线与直线平行，则实数_；当时，若方程有且只有一个实根，则实数的取值范围为_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】 (1)由f(x)=x3+3ax1,得到f(x)=3x2+3a，因为曲线在x=1处的切线与y=6x+6平行，而y=6x+6的斜率为6，所以f(1)=6，即3+3a=6，解得a=1；(2)令g(x)=x3+3ax16，g(x)=3x2+3a=3(x2+a)，a=0时,g(x)0,g(x)在r递增，而x时,g(x),x+时,g(x)+，故函数g(x)有且只有一个零点，即方程f(x)=15有且只有一个实根，a0,解得：或，令g(x)0,解得：，则g(x)在 递增,在递减,在递增，故g(x)极大值 ，解得： ，综上：-4a0.13. 若，其中，则实数_；_.【答案】 (1). (2). 【解析】 ，则 ,则4m=a2=6,解得m= .令x=1时, ，x=1时,， ，解得 .14. 甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击求前3次射击中甲恰好击中2次的概率_；求第4次由甲射击的概率_【答案】 (1). , (2). 【解析】由题意,前3次射击中甲恰好击中2次,即前2次甲都击中目标,但第三次没有击中目标,故它的概率为.第4次由甲射击包括甲连续射击3次且都击中；第一次甲射击击中，但第二次没有击中，第三次由乙射击没有击中；第一次甲射击没有击中，且乙射击第二次击中，但第三次没有击中；第一次甲射击没有击中，且乙射击第二次没有击中，第三次甲射击击中；故这件事的概率为 .15. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有_种（用数字作答）【答案】630【解析】略16. 关于二项式(x1)2005有下列命题： 该二项展开式中非常数项的系数和是1； 该二项展开式中第六项为x1999； 该二项展开式中系数最大的项是第1002项； 当x=2006时，(x1)2005除以2006的余数是2005。 其中正确命题的序号是_。（注：把你认为正确的命题序号都填上）【答案】【解析】令x=1求出二项式(x1)2005所有项的系数和为0，令x=0求出常数项为l，非常数项的系数和是1，即得正确；二项展开式的第六项为 ，即得错误；二项展开式中系数绝对值最大的项为第1003项，即错误；当x=2006时,(x1)2005除以2 006的余数是2006l=2005，即正确。故答案为：。17. 如图所示，在排成44方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有_个【答案】312【解析】根据题意，分3种情况讨论：、取出的3个点都在圆内,有 种取法，即有4种取法，、在圆内取2点,圆外12点中取1点,有 种，即有60种取法，、在圆内取1点,圆外12点中取2点,有 种，即有248种取法，则至少有一个顶点在圆内的三角形有4+60+248=312个，故答案为：312.三 解答题: 本大题共5小题,共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18. 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：（1）有女生但人数必须少于男生；（2）男生甲必须包括在内，但不担任数学课代表；（3）女生乙一定要担任语文课代表，男生丙只想担任数学课代表或物理课代表.【答案】(1)5400；(2)3360；(3)600.【解析】试题分析：利用排列组合相关的结论和方法求解题中的问题可得：有女生但人数必须少于男生有5400种；男生甲必须包括在内，但不担任数学课代表有3360种；女生乙一定要担任语文课代表，男生丙只想担任数学课代表或物理课代表有600种.试题解析：（1）种.（2）种.（3）种.19. 已知 ,其中(e是自然常数),（1）当时, 求的单调区间、极值；（2）是否存在，使的最小值是3，若存在求出的值，若不存在，说明理由.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：(1)由导函数与原函数的关系可得函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，函数的极小值为 .(2)由题意结合导函数与原函数的性质可得 .试题解析：（1）， 当时，此时单调递减当时，此时单调递增 的极小值为 （2）假设存在实数，使（）有最小值3， 当时，在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值. 当时，在上单调递减，在上单调递增，满足条件. 当时，在上单调递减，（舍去）所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3. 20. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记x为比赛决出胜负时的总局数，求x的分布列和均值(数学期望)【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由题意列出所有可能的事件求解概率可得甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率是；(2)x的可能取值为2,3,4,5.据此求得分布列，然后可得数学期望为 .试题解析：用a表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，ak表示“第k局甲获胜”，bk表示“第k局乙获胜”，则p(ak)，p(bk)，k1,2,3,4,5.(1)p(a)p(a1a2)p(b1a2a3)p(a1b2a3a4)p(a1)p(a2)p(b1)p(a2)p(a3)p(a1)p(b2)p(a3)p(a4)222.(2)x的可能取值为2,3,4,5.p(x2)p(a1a2)p(b1b2)p(a1)p(a2)p(b1)p(b2)，p(x3)p(b1a2a3)p(a1b2b3)p(b1)p(a2)p(a3)p(a1)p(b2)p(b3)，p(x4)p(a1b2a3a4)p(b1a2b3b4)p(a1)p(b2)p(a3)p(a4)p(b1)p(a2)p(b3)p(b4)，p(x5)1p(x2)p(x3)p(x4).故x的分布列为2345e(x)2345.21. 已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是101.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项【答案】(1)1；(2)16.(3)答案见解析.【解析】试题分析：(1)利用赋值法，令 可得展开式中各项系数的和是1.(2)首先写出通项公式，据此可得展开式中含的项是16.(3)由题意求解不等式即可求得系数最大的项和二项式系数最大的项分别为t71 792和t51 120.试题解析：由题意知，第五项系数为，第三项的系数为，则有，化简得n25n240，解得n8或n3(舍去)(1)令x1得各项系数的和为(12)81.(2)通项公式 ，令2k，则k1，故展开式中含的项为t216.(3)设展开式中的第k项，第k1项，第k2项的系数绝对值分别为，若第k1项的系数绝对值最大，则解得5.又t6的系数为负，系数最大的项为t71 792.由n8知第5项二项式系数最大，此时t51 120.22. 已知函数.（1）若p=2，求曲线处的切线方程；（2）若函数在其定义域内是增函数，求正实数p的取值范围；（3）设函数，若在1,e上至少存在一点，使得成立，求实数p的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3)【解析】试题分析：（1） 当时，求导，由求出切线斜率及点，即可求出切线方程；（2）由在定义域区间上恒成立得，利用基本不等式求出函数的最大值，即可求出的取值范围；（3）构造函数，由在区间上，函数至少存在一点使，即由在区间上，求出的范围即可.试题解析：已知函数.（1）， 故切线方程为：.（2），由在定义域内为增函数，所以在上恒成立，即，对恒成立，设，易知，在上单调递增，在上单调递减，则，即.（