2019年高中数学第二章数列2.2等差数列第二课时等差数列的性质及简单应用练习（含解析）新人教A版必修5.docx

第二课时等差数列的性质及简单应用 1.若一个等差数列an中,a2=3,a7=6,则其公差为(A)(A)(B)(C)-(D)-解析:d=,故选A.2.已知等差数列an的公差为d(d0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m为(B)(A)12 (B)8 (C)6 (D)4解析:因为a3+a6+a10+a13=32,所以4a8=32,所以a8=8,又d0,am=8,所以m=8.3.设an,bn都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37等于(C)(A)0(B)37(C)100(D)-37解析:设cn=an+bn,由于an,bn都是等差数列,则cn也是等差数列,且c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100,所以cn的公差d=c2-c1=0.所以c37=100.故选C.4.等差数列an中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0(A)(A)无实根 (B)有两个相等实根(C)有两个不等实根(D)不能确定有无实根解析:由a2+a5+a8=9得3a5=9,a5=3,所以a4+a6=2a5=6,于是方程的判别式=(a4+a6)2-410=62-4100,由得解得a1=2.故选C.7.下面是关于公差d0的等差数列an的四个说法.p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列.其中正确的为(D)(A)p1,p2(B)p3,p4(C)p2,p3(D)p1,p4解析:因为an=a1+(n-1)d,d0,所以an-an-1=d0,命题p1正确.nan=na1+n(n-1)d,所以nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d与0的大小和a1的取值情况有关,故数列nan不一定递增,命题p2不正确.对于p3:=+d,所以-=,当d-a10,即da1时,数列递增,但da1不一定成立,则p3不正确.对于p4:设bn=an+3nd,则bn+1-bn=an+1-an+3d=4d0.所以数列an+3nd是递增数列,p4正确.综上,正确的命题为p1,p4.8.设等差数列an的公差为d,若数列2a1an为递减数列,则(C)(A)d0(C)a1d0解析:因为数列2a1an为递减数列,a1an=a1a1+(n-1)d=a1dn+a1(a1-d),等式右边为关于n的一次函数,所以a1d0.故选C.9.在等差数列an中,a1=2,a3+a5=10,则a7=.解析:在等差数列an中,a3+a5=2a4,由a3+a5=10,得2a4=10,因为a1+a7=2a4,又a1=2,所以a7=2a4-a1=10-2=8.答案:810.设数列an,bn都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=.解析:设两等差数列组成的和数列为cn,由题意知新数列仍为等差数列且c1=7,c3=21,则c5=2c3-c1=221-7=35.答案:3511.已知数列-1,x1,x2,9和-1,y1,y2,y3,9都是等差数列,则=.解析:设两个等差数列的公差分别为d1和d2,则3d1=9-(-1)=10,d1=,4d2=9-(-1)=10,d2=,于是=.答案:12.已知数列an中,a1=1,an=an+1an+an+1,则an的通项公式为.解析:an=an+1an+an+1,两边同除以anan+1并整理得,-=1,又=1,所以是以1为首项,以1为公差的等差数列,所以=1+n-1=n.故an=.答案:an=13.在等差数列-5,-3,-2,-,的每相邻两项之间插入一个数,使之组成一个新的等差数列.(1)求新数列的通项公式;(2)28是新数列中的项吗?若是,是第几项?若不是,请说明理由.解:(1)原数列的公差d=-3-(-5)=,所以新数列的公差d=d=,故新数列的通项公式为an=-5+(n-1)=n-.(2)设28是新数列的第n项,则-=28,解得n=45N*,所以28是新数列中的第45项.14.若关于x的方程x2-x+m=0和x2-x+n=0(m,nR且mn)的四个根组成首项为的等差数列,求m+n的值.解:设x2-x+m=0的两根为x1,x2,x2-x+n=0的两根为x3,x4,则x1+x2=x3+x4=1.不妨设数列的首项为x1,则数列的第4项为x2,所以x1=,x2=,公差d=.所以中间两项分别是,.所以x1x2=,x3x4=.所以m+n=+=.15.如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫这个数列的公方差.(1)设数列an是公方差为p的等方差数列,求an和an-1(n2,nN*)的关系式;(2)若数列an既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列为常 数列.(1)解:由等方差数列的定义可知,-=p(n2,nN*).(2)证明:因为an是等差数列,设公差为d,则an-an-1=an+1-an=d.又an是等方差数列,所以-=-,(an+an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an),即d(an+an-1-an+1-an)=-2d2=0,所以d=0,即an是常数列.16.在等差数列an中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12的值为(C)(A)20(B)22(C)24(D)28解析:由a4+a6+a8+a10+a12=(a4+a12)+(a6+a10)+a8=5a8=120,解得a8=24,且a8+a12=2a10,则2a10-a12=a8=24,故选C.17.给定正数p,q,a,b,c,其中pq,若a2=pq,p,b,c,q是等差数列,则一元二次方程bx2-2ax+c=0(A)(A)无实根 (B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根解析:由题意可设等差数列的公差为d,则b=p+d,c=p+2d,q=p+3d,a2=pq=p(p+3d),d0 ,所以=4a2-4bc=-8d20 ,故选A.18.已知等差数列an中,ap=q,aq=p(pq),则ap+q=.解析:由题设可得方程组所以ap+q=a1+(p+q-1)d=p+q-1-(p+q-1)=0.答案:019.在等差数列an 中,a2和a16是方程x2-6x-1=0的两根,则a5+a6+a9+a12+a13=.解析:等差数列an中,因为a2,a16是方程x2-6x-1=0的两根,所以a2+a16=2a9=6,所以a9=3;由等差数列的性质得a5+a6+a9+a12+a13=5a9=15.答案:1520.已知数列an满足a1=3,anan-1=2an-1-1(n2).(1)求a2,a3,a4;(2)求证:数列是等差数列,并写出an的一个通项公式.解:(1)由anan-1=2an-1-1得an=2-.又a