高考数学大一轮复习 14.4不等式选讲课件 理 苏教版.ppt

数学苏 理 14 4不等式选讲 第十四章系列4选讲 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 两个实数大小关系的基本事实a b a b ab 那么 如果 那么a b 即a b a b 0 a b 0 a b 0 b a b a b a 2 传递性 如果a b b c 那么 3 可加性 如果a b 那么 4 可乘性 如果a b c 0 那么 如果a b cb 0 那么anbn n n n 1 6 开方 如果a b 0 那么 n n n 1 a c a c b c ac bc ac bc 3 绝对值三角不等式 1 性质1 a b 2 性质2 a b 性质3 a b a b a b a b a b 4 绝对值不等式的解法 1 含绝对值的不等式 x a的解集 x a x a x x a或x a x x r且x 0 r 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c ax b c 3 x a x b c和 x a x b c型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现了数形结合的思想 利用 零点分段法 求解 体现了分类讨论的思想 通过构造函数 利用函数的图象求解 体现了函数与方程的思想 c ax b c ax b c或ax b c 5 基本不等式 1 定理 如果a b r 那么a2 b2 2ab 当且仅当a b时 等号成立 2 定理 基本不等式 如果a b 0 那么 当且仅当时 等号成立 也可以表述为 两个的算术平均它们的几何平均 a b 正数 不小于 即大于或等于 3 利用基本不等式求最值对两个正实数x y 如果它们的和s是定值 则当且仅当时 它们的积p取得最值 如果它们的积p是定值 则当且仅当时 它们的和s取得最值 x y 大 x y 小 a b c 不小于 不小于 a1 a2 an 3 柯西不等式的向量形式 设 是两个向量 则 当且仅当 是零向量 或存在实数k 使 k 时 等号成立 8 证明不等式的方法 1 比较法 求差比较法知道a b a b 0 ab 只要证明 即可 这种方法称为求差比较法 a b 0 2 分析法从待证不等式出发 逐步寻求使它成立的 直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式 已知条件 定理等 这种证法称为分析法 即 执果索因 的证明方法 3 综合法从已知条件出发 利用不等式的有关性质或定理 经过推理论证 推导出所要证明的不等式成立 即 由因寻果 的方法 这种证明不等式的方法称为综合法 充分条件 4 反证法的证明步骤第一步 作出与所证不等式的假设 第二步 从条件和假设出发 应用正确的推理方法 推出矛盾的结论 否定假设 从而证明原不等式成立 5 放缩法所谓放缩法 即要把所证不等式的一边适当地 以利于化简 并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显 从而得到欲证不等式成立 相反 放大或缩小 6 数学归纳法设 pn 是一个与自然数相关的命题集合 如果 1 证明起始命题p1 或p0 成立 2 在假设pk成立的前提下 推出pk 1也成立 那么可以断定 pn 对一切自然数成立 4 2 0 2 1 x 1 x 1 解析 解析 例1已知函数f x x a x 2 1 当a 3时 求不等式f x 3的解集 题型一含绝对值的不等式的解法 解析 思维升华 解析 思维升华 例1已知函数f x x a x 2 1 当a 3时 求不等式f x 3的解集 题型一含绝对值的不等式的解法 当x 2时 由f x 3得 2x 5 3 解得x 1 解析 思维升华 例1已知函数f x x a x 2 1 当a 3时 求不等式f x 3的解集 题型一含绝对值的不等式的解法 当2 x 3时 f x 3无解 当x 3时 由f x 3得2x 5 3 解得x 4 所以f x 3的解集为 x x 1或x 4 解绝对值不等式的基本方法 1 利用绝对值的定义 通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式 2 当不等式两端均为正号时 可通过两边平方的方法 转化为解不含绝对值符号的普通不等式 3 利用绝对值的几何意义 数形结合求解 解析 思维升华 例1已知函数f x x a x 2 1 当a 3时 求不等式f x 3的解集 题型一含绝对值的不等式的解法 例1已知函数f x x a x 2 2 若f x x 4 的解集包含 1 2 求a的取值范围 解析 思维升华 解f x x 4 x 4 x 2 x a 当x 1 2 时 x 4 x 2 x a 4 x 2 x x a 2 a x 2 a 由条件得 2 a 1且2 a 2 即 3 a 0 故满足条件的a的取值范围为 3 0 解析 思维升华 例1已知函数f x x a x 2 2 若f x x 4 的解集包含 1 2 求a的取值范围 解析 思维升华 例1已知函数f x x a x 2 2 若f x x 4 的解集包含 1 2 求a的取值范围 解绝对值不等式的基本方法 1 利用绝对值的定义 通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式 2 当不等式两端均为正号时 可通过两边平方的方法 转化为解不含绝对值符号的普通不等式 3 利用绝对值的几何意义 数形结合求解 解析方法一要去掉绝对值符号 需要对x与 2和1进行大小比较 2和1可以把数轴分成三部分 当x 2时 不等式等价于 x 1 x 2 5 解得x 3 当 2 x 1时 不等式等价于 x 1 x 2 5 即3 5 无解 当x 1时 不等式等价于x 1 x 2 5 解得x 2 综上 不等式的解集为 x x 3或x 2 跟踪训练1 1 2014 广东 不等式 x 1 x 2 5的解集为 跟踪训练1 1 2014 广东 不等式 x 1 x 2 5的解集为 方法二 x 1 x 2 表示数轴上的点x到点1和点 2的距离的和 如图所示 数轴上到点1和点 2的距离的和为5的点有 3和2 故满足不等式 x 1 x 2 5的x的取值为x 3或x 2 所以不等式的解集为 x x 3或x 2 x x 3或x 2 解析 ax 2 3 1 ax 5 当a 0时 x r 与已知条件不符 3 题型二柯西不等式的应用 解析 思维升华 解析 思维升华 题型二柯西不等式的应用 解析 思维升华 题型二柯西不等式的应用 使用柯西不等式证明的关键是恰当变形 化为符合它的结构形式 当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时 就可使用柯西不等式进行证明 解析 思维升华 例2已知x y z均为实数 2 若x 2y 3z 6 求x2 y2 z2的最小值 例2已知x y z均为实数 2 若x 2y 3z 6 求x2 y2 z2的最小值 解析 思维升华 例2已知x y z均为实数 2 若x 2y 3z 6 求x2 y2 z2的最小值 解析 思维升华 跟踪训练2已知实数a b c d满足a b c d 3 a2 2b2 3c2 6d2 5 求证 1 a 2 即2b2 3c2 6d2 b c d 2 由已知可得2b2 3c2 6d2 5 a2 b c d 3 a 5 a2 3 a 2 即1 a 2 即2b 3c 6d时等号成立 解析 思维升华 题型三不等式的证明方法 证明 a b c 0 解析 思维升华 题型三不等式的证明方法 用综合法证明不等式是 由因导果 分析法证明不等式是 执果索因 它们是两种思路截然相反的证明方法 综合法往往是分析法的逆过程 表述简单 条理清楚 所以在实际应用时 往往用分析法找思路 用综合法写步骤 由此可见 分析法与综合法相互转化 互相渗透 互为前提 充分利用这一辩证关系 可以增加解题思路 开阔视野 解析 思维升华 题型三不等式的证明方法 解析 思维升华 证明 a b c 0 解析 思维升华 两边同加a b c得 解析 思维升华 用综合法证明不等式是 由因导果 分析法证明不等式是 执果索因 它们是两种思路截然相反的证明方法 综合法往往是分析法的逆过程 表述简单 条理清楚 所以在实际应用时 往往用分析法找思路 用综合法写步骤 由此可见 分析法与综合法相互转化 互相渗透 互为前提 充分利用这一辩证关系 可以增加解题思路 开阔视野 解析 思维升华 证明因为x 0 y 0 x y 0 只需证明 a b c 2 3 即证 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 而ab bc ca 1 故需证明 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 ab bc ca 即证 a2 b2 c2 ab bc ca 所以原不等式成立 思想与方法系列23绝对值不等式的解法 典例 10分 解不等式 x 1 x 1 3 温馨提醒 规范解答 思维点拨 本题不等式为 x a x b c型不等式 解此类不等式有三种方法 几何法 分区间 分类 讨论法和图象法 思维点拨 温馨提醒 规范解答 温馨提醒 规范解答 思维点拨 解方法一如图所示 设数轴上与 1 1对应的点分别为a b 那么a b两点的距离和为2 因此区间 1 1 上的数都不是不等式的解 设在a点左侧有一点a1 到a b两点的距离和为3 a1对应数轴上的x 温馨提醒 规范解答 思维点拨 从数轴上可看到 点a1 b1之间的点到a b的距离之和都大于3 点a1的左边或点b1的右边的任何点到a b的距离之和都大于3 温馨提醒 规范解答 思维点拨 当 1 x 1时 原不等式可以化为x 1 x 1 3 即2 3 不成立 无解 温馨提醒 规范解答 思维点拨 温馨提醒 规范解答 思维点拨 方法三将原不等式转化为 x 1 x 1 3 0 构造函数y x 1 x 1 3 温馨提醒 规范解答 思维点拨 作出函数的图象 如图所示 温馨提醒 规范解答 思维点拨 即 x 1 x 1 3 0 温馨提醒 规范解答 思维点拨 这三种方法是解 x a x b c型不等式常用的方法 方法一中关键是找到特殊点 方法二中的分类讨论要遵循 不重不漏 的原则 方法三则要准确画出函数图象 并准确找出零点 方法与技巧 1 解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式 组 进行求解 含有多个绝对值符号的不等式 一般可用零点分段法求解 对于形如 x a x b m或 x a x b m m为正常数 利用实数绝对值的几何意义求解较简便 2 不等式的证明方法灵活 要注意体会 要根据具体情况选择证明方法 方法与技巧 3 柯西不等式的证明有多种方法 如数学归纳法 教材中的参数配方法 或判别式法 等 参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛 柯西不等式的应用比较广泛 常见的有证明不等式 求函数最值 解方程等 应用时 通过拆常数 重新排序 添项 改变结构等手段改变题设条件 以利于应用柯西不等式 失误与防范 1 理解绝对值不等式的几何意义 2 掌握分类讨论的标准 做到不重不漏 3 利用基本不等式必须要找准 对应点 明确 类比对象 使其符合几个著名不等式的特征 4 注意检验等号成立的条件 特别是多次使用不等式时 必须使等号同时成立 2 3 4 5 6 1 解 x 3 x 4 9 当x 3时 x 3 x 4 9 即 4 x 3 当 3 x 4时 x 3 x 4 7 9恒成立 2 3 4 5 6 1 当x 4时 x 3 x 4 9 即4 x 5 综上所述 a x 4 x 5 2 3 4 5 6 1 b x x 2 a b x 2 x 5 3 4 5 6 1 2 2 2014 江苏 已知x 0 y 0 证明 1 x y2 1 x2 y 9xy 证明因为x 0 y 0 3 4 5 6 1 2 证明假设a b c都不大于0 即a 0 b 0 c 0 所以a b c 0 而a b c 3 4 5 6 1 2 x2 2x y2 2y z2 2z x 1 2 y 1 2 z 1 2 3 所以a b c 0 这与a b c 0矛盾 故a b c中至少有一个大于0 3 4 5 6 1 2 证明由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac得a2 b2 c2 ab bc ca 由题设得 a b c 2 1 3 4 5 6 1 2 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 所以3 ab bc ca 1 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 5 设不等式 2x 1 1的解集为m 1 求集合m 解由 2x 1 1得 1 2x 1 1 解得0 x 1 所以m x 0 x 1 2 若a b m 试比较ab 1与a b的大小 解由 1 和a b m可知00 故ab 1 a b 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 6 2014 辽宁 设函数f x 2 x 1 x 1 g x 16x2 8x 1 记f x 1的解集为m g x 4的解集为n 1 求m 3 4 5 6 1 2 当x 1时 由f x 1 x 1得x 0 故0 x 1 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 当x m n时 f x 1 x 2 3 4 1 证明 n n 1 n2 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2013 课标全国 已知函数f x 2x 1 2x a g x