高考数学一轮总复习 第1节 含绝对值的不等式及其解法课件（选修45）.ppt

选修4 5不等式 选讲 第1节含绝对值的不等式及其解法 1 理解绝对值的几何意义 并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式 a b a b a b a c c b 2 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式 ax b c ax b c x a x b c 要点梳理 1 绝对值不等式 1 定理如果a b是实数 那么 a b 当且仅当 时 等号成立 2 如果a b c是实数 那么 a c a b b c 当且仅当 时 等号成立 a b ab 0 a b b c 0 考点自主回扣 3 由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式 a1 a2 an a1 a2 an a b a b a b a b a b 2 绝对值不等式的解法 1 形如 ax b cx d 的不等式 可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解 2 绝对值不等式 x a与 x a的解集 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c c 0 ax b c c 0 a x a x a或x a c ax b c ax b c或ax b c 3 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 不等式的解法方法一 利用 零点分段法 求解 体现了分类讨论的思想 方法二 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现了数形结合的思想 方法三 通过构造函数 利用函数的图像求解 体现了函数与方程的思想 质疑探究 x a x b 的几何意义是什么 提示 数轴上 设与实数x a b对应的点分别为p a b 则上式的几何意义为 pa pb 基础自测 1 2x 1 3的解集为 a 2 1 b 1 2 c 2 1 d 1 2 解析 由 2x 1 3得2x 1 3或2x 1 3 解得x 1或x 2 答案 b 2 不等式1 x 1 3的解集为 a 0 2 b 2 0 2 4 c 4 0 d 4 2 0 2 解析 原不等式等价于1 x 1 3或 3 x 1 1 解之得0 x 2或 4 x 2 故应选d 答案 d 3 函数y x 4 x 6 的最小值为 a 2b 4c 6d 10 解析 法一y x 4 x 6 4 x x 6 4 x x 6 2 法二 x 4 x 6 表示在数轴上 x对应的点到4与6对应点的距离之和 随着x在数轴上的移动易看出 x 4 x 6 2 答案 a 4 若不等式 3x b 4的解集中的整数有且仅有1 2 3 则b的取值范围为 答案 5 7 5 2014 广东高考 不等式 x 1 x 2 5的解集为 解析 本题考查绝对值不等式的解法 x 1 x 2 5的几何意义是数轴上的点到1与 2的距离之和大于等于5的实数 所以不等式的解为x 3或x 2 即不等式的解集为 3 2 答案 3 2 6 若 x 4 x 5 a对于x r均成立 则a的取值范围为 解析 x 4 x 5 4 x x 5 4 x x 5 9 当a 9时 不等式对x r均成立 答案 9 考向一 ax b c和 ax b c c 0 型不等式的解法例1解下列不等式 1 2x 3 5 2 5 4x 9 思路点拨先去掉绝对值符号等价转化为一次不等式再求解 考向互动探究 拓展提高解含绝对值不等式的关键在于去掉绝对值符号 去掉绝对值符号除常用绝对值的几何意义外也可用分类讨论 两边平方等方法 提醒 在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时 应做到分类不重 不漏 在某个区间上解出不等式后 不要忘了与前提条件求交集 活学活用1 2013 大纲版高考全国卷 不等式 x2 2 2的解集是 a 1 1 b 2 2 c 1 0 0 1 d 2 0 0 2 解析 原不等式等价于 2 x2 2 2 即0 x2 4 2 x 2且x 0 故不等式的解集为 2 0 0 2 答案 d 考向二 x a x b c和 x a x b c c 0 型不等式的解法例2不等式 x 5 x 3 10的解集是 a 5 7 b 4 6 c 5 7 d 4 6 思路点拨可利用零点分区间法去掉绝对值符号分段求解 解析 令 x 5 0 x 3 0 解得x 5 x 3 1 当x 3时 不等式化为 x 5 x 3 10 即 2x 2 10 解得x 4 2 当 3 x 5时 不等式化为 x 5 x 3 10 即8 10 显然不成立 3 当x 5时 不等式可化为 x 5 x 3 10 即2x 2 10 解得x 6 故不等式的解集为 4 6 答案 d 拓展提高解含两个或多个绝对值符号的不等式利用零点分区间法求解时 要注意以下三个方面 一是准确去掉绝对值符号 二是求得不等式的解后 要检验该解是否满足x的取值范围 三是将各区间上的解集求并集 拓展提高 1 a f x 或a f x 有解 a f x max或a f x min 2 a f x 或a f x 无解 a f x max或a f x min 3 a f x 或a f x 解集为r 即恒成立 a f x min或a f x max 解决含参数的绝对值不等式问题的两种方法 1 将参数分类讨论 将其转化为分段函数解决 2 借助于绝对值的几何意义 先求出相应式的最值或值域 然后再根据题目要求 求解参数的取值范围 不等式恒成立问题的常见类型及其解法 1 分离参数法 运用 f x a f x max a f x a f x min a 可解决恒成立中的参数范围问题 2 更换主元法 不少含参不等式恒成立问题 若直接从主元入手非常困难或不可能解决时 可转换思维角度 将主元与参数互换 常可得到简捷的解法 3 数形结合法 在研究曲线交点的恒成立问题时 若能数形结合 揭示问题所蕴含的几何背景 发挥形象思维与抽象思维各自的优势 可直观解决问题 提醒 不等式的解集为r是指不等式恒成立问题 而不等式的解集为 的对立面也是不等式恒成立问题 如f x m的解集为 则f x m恒成立 活学活用3 1 2013 重庆高考 若关于实数x的不等式 x 5 x 3 a无解 则实数a的取值范围是 2 如果存在实数x使不等式 x 1 x 2 k成立 则实数k的取值范围是 答案 1 8 2 3 思想方法25利用数形结合思想 分类讨论思想求解绝对值不等式典例不等式 x 1 x 1 3的解集为 审题视角本题不等式为 x a x b c型不等式 解此类不等式有三种方法 几何法 分区间 分类 讨论法和图像法 考能感悟提升 解析 法一如图所示 设数轴上与 1 1对应的点分别为a b 那么a b两点的距离和为2 因此区间 1 1 上的数都不是不等式的解 设在a点左侧有一点a1 到a b两点的距离和为3 a1对应数轴上的x 提醒 这三种方法是解 x a x b c型不等式常用的方法 方法一中关键是找到特殊点 方法二中的分类讨论要遵循 不重不漏 的原则 方法三则要准确画出函数图像 并准确找出零点 跟踪训练不等式 x 3 x 2 3的解集为 解析 法一当x 3时 原不等式化为 x 3 x 2 3 5 3 这显然不可能 x 3不适合 当 3 x 2时 原不等式化为 x 3 x 2 3 x 1 又 3 x 2 1 x 2 当x 2时 原不等式化为 x 3 x 2 3 5 3 这显然恒成立 作函数f x 的图像 如图所示 并作直线y 3与函数f x 交于点a 又令2x 1 3 得x 1 即点a的横坐标为1 故结合图形知 不等式的解集为 x x 1 答案 x x 1 思维升华 方法与技巧 1 解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式 组 进行求解 含有多个绝对值符号的不等式 一般可用零点分段法求解 对于形如 x a x b m或 x a x b m m