八年级十一章全等三角形复习课课件人教版

全等三角形 一 考纲要求与命题趋势 1 理解并掌握五种识别三角形全等的方法 会灵活的正确选择适当的识别方法判断两个三角形是否全等 2 正确运用全等三角形的性质计算三角形中未知的边或角 逐步培养逻辑推理能力和形象思维能力 3 全等三角形的应用是学习几何证明题的基础 所以它自然是中考必考知识点 同学们务必学好它 二 知识要点 1 全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2 全等三角形的识别方法 全等三角形的识别方法 一 如果两个三角形的三条边分别对应相等 那么这两个三角形全等 简称为 边边边或SSS 全等三角形的识别方法 二 如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等 那么这两个三角形全等 简称为 边角边或SAS 全等三角形的识别方法 三 如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等 那么这两个三角形全等 简称为 角边角或ASA 由ASA结合三角形内角和定理得全等三角形的识别方法 四 如果两个三角形有两个角和其中一角的对边分别对应相等 那么这两个三角形全等 简称为 角角边或AAS 两个直角三角形全等识别方法 如果两个直角三角形有一条斜边和一条直角边对应相等 那么这两个直角三角形全等 简称为 斜边 直角边或HL 3 全等三角形的性质全等三角形的对应边相等 对应角相等 三 典型例题例1 判断 都有两边长分别为3cm和5cm的两个等腰三角形全等 分析 以3cm为腰或以5cm为腰画两个等腰三角形 解 错 因为等腰三角形可能以3cm为腰 5cm为底 也可能以5cm为腰 3cm为底 说明 本例可使同学们逐步了解数学的分类思想 对待每一问题不能片面考虑 要完全 周密考虑 例2 如图 已知线段AB CD相交于点O AD CB的延长线交于点E OA OC EA EC 请说明 A C 分析 欲证明 A C 有三条思路 一是证明 AOD与 COB全等 而由已知条件不可直接得到 二是连结OE 说明 AOE与 COE全等 这条路显而易得 A C 三是证明 ABE与 CDE全等 这也是不能直接证明到的 所以应采用第二条思路 解 连结OE 在 AOE和 COE中 AOE COE SSS A C 全等三角形的对应角相等 误点剖析若直接采纳分析中的第一条或第三条思路那就麻烦了 因此 同学们在分析解题时 要全面深刻的考虑 从而选择较妥当的方法 顺利得到问题的答案 说明 在解决几何问题的过程中 有时根据条件不能较顺利的得到结论 这时添加必要的辅助线是十分重要的捷径 例3 P是线段AB上一点 APC与 BPD都是等边三角形 请你判断 AD与BC相等吗 试说明理由 分析 观察图形发现它们所在的三角形全等 故考虑通过全等来说明 解 由 APC和 BPD都是等边三角形可知AP PC BP DP APC BPD 60 所以 APC CPD BPD CPD 即 APD BPC 所以 APD CPB SAS 所以AD BC误点剖析实际上 PBC可看作是 PDA绕着P点按顺时针方向旋转60 得到 由对应点连线段相等 就有AD BC 说明 此题图中 APC和 BPD不在同一直线上 结论仍然成立 这是一个基本图形 许多题目都是在它基础上派生出来的 例4 如图 已知 在 ABC中 BE CF分别是AC AB边上的高 在BE上截取BM AC 在CF延长线上取CN AB 试问线段AM AN有怎样特殊的关系 并说明理由 分析 直观地看数量上AM AN 位置上AM AN 无论说明线段相等还是垂直 往往都要通过全等解决 解 由BE CF是高可知 AFC AEB 90 在 ABE和 ACF中 BAC是公共角 根据三角形内角和等于180 可得 1 2 再由BM AC AB CN 又可得 ABM NCA 所以AM AN N 3 而 N 4 90 所以 3 4 90 即 NAM 90 所以AN AM 误点部析 本例同学们常会漏掉AM AN这样的关系 往往在遇到探索两线段之间的关系问题中 同学们总会误认为只可能存在一种关系 因为平时无论是计算题或是说明题大多数只有一个结论 由于定势思维的影响 同学们也就常出现漏掉一些解的情况 这就需要同学们加强对这类问题的探索 思考 逐步养成全面解剖问题的习惯 说明 有公共角成对顶角的直角三角形隐含着说明三角形全等的角相等条件 比如 本题中设BE CF相交于O 则 BFO和 CEO就隐含着 1 2的结论 要善于识别 由于观察不够 所以这类全等是学习的难点 例5 如图 侦察员为了测量河宽 站在岸边某处 并使擦帽舌而过的视线恰好落在河对岸A处 然后保持身体姿势不变 转过身体 这时 擦舌帽而过的视线落在河对岸这边B处 只要量出他站立的地方到点B处的距离 就知道河的宽度了 试说明其中的道理 分析 在测量过程中 侦察员的身体姿势不变 则有CD不变 DCA DCB 90 视角 CDB CDA 则可运用 ASA 证明 BCD ACD 从而得到BC CA 解 设侦察员站立处为点C 眼睛在点D处 由题意知 在 ADC与 BDC中 ADC BDC 又因为CD CD ACD BCD 90 由 ASA 全等识别法 可知 ACD BCD 所以BC AC 即侦察员站立处到点B的距离就是河的宽度 误点剖析 解本题必须从实际测量出发 不能全凭图示 而误认为这是平面图形 因而出现许多不理解的问题 比如 误认为河的宽度是否应该为AB或CD AD 误认为CD这条线段大河面上等 说明 本题中的图示 应从立体角度来看 图中的CD表示侦察员 因而CD BC 因为人是垂直于地面站立的 河的宽度是C点与对岸A点之间的距离 本例可激发同学们运用数学解决实际问题的兴趣 从而逐步培养同学们的形象思维能力 例6 已知 如图 BD CE分别是 ABC中AC AB边上的高 且BD CE 试说明 AB AC 分析 要说明AB AC 可说明AB AC所在三角形全等 解 因为BD CE是高 所以 ADB AEC 90 又 A A BD CE 由 AAS 全等识别法 可知 ABD ACE 从而AB AC 误点剖析 直角三角形全等既可以用 HL 识别法 也可用一般三角形全等识别法 应根据题意选用恰当的识别方法 而不是只局限于 HL 说明 本例若用 HL 来说明 也很简单 由于BD CE BC BC 所以Rt BCE Rt CBD 所以 EBC DCB 从而得到AB AC 例7 如图所示 E F 90 B C AE AF 给出下列结论 1 2 BE CF ACN ABM CD DN 其中正确的结论是 注 将你认为正确的结论都填上 分析由已知条件易得 ABE ACF 进而可得前3个结论 解 正确的结论是 误点剖析 由已知条件可得一次全等 又为二次全等提供条件 从而得出很多结论 不要有遗漏 说明 本例从形式上看起来是一道很简单的选择题 但实质上是一条全等三角形的判别与性质的综合题 因此 同学们在做这类题时 千万要谨慎 不能受题目表面所蒙骗 要看清问题的实质 例8 已知 如图 等腰直角三角形ABC中 ACB 90 直线经过点C AD BE 垂足分别为D E 1 试说明 ACD CBE 2 如图 直线经过 ACB内部 结论是否仍然成立 分析 1 由 ABC是等腰直角三角形可得AC BC ACB 90 结合AD BE 可得 1 3 于是进一步可得 ACD CBE 2 图变而条件不变 观察 ACD和 CBE仍具备条件判断全等 解 1 因为 ABC是等腰直角三角形 所以AC BC且 ACB 90 所以 1 2 90 由BE 得 2 3 90 所以 1 3 在 ACD和 BCE中 ADC BEC 90 所以 ACD CBE A A S 2 由 ACB是等腰直角三角形可知 ACB 90 即 1 2 90 AC BC 而由BE 得 2 CBE 90 所以 1 CBE 于是 ACD CBE AAS 误点剖析 图 看上去较复杂 但只要针对问题的要求 把观察点置于 ACD和 CBE中 然后研究它们的边与角之间的关系 就不致于混乱而感到复杂 说明 有些题目条件不变 只是图形运动变化 结论往往仍然成立 解决大同小异 要善于抓住规律 例9 如图 等边 ABC的边长为a 在BC的延长线上取点D 使CD b 在BA的延长线上取点E 使AE a b 证明EC ED B A C D E 分析 欲证明EC ED 在原图中只有说明到 ECD EDC才可得EC ED 而利用原图这是不可能得到的 因此需适当作辅助线构造全等三角形 延长BD到F 使DF BC a 连结EF 则有BF BE 2a b 而 B 60 可得 EBF是等边三角形 再由 EBC EFD得到EC ED 解 延长BD到F 使DF BC a 连结EF AE a b CD b 又 ABC是等边三角形 AB BC a B 60 BE BF 2a b BEF是等边三角形 F 60 EF BE 2a b 在 EBC和 EFD中 EBC EFD SAS EC ED 误点剖析 本题若不添加辅助线就无法说明EC ED 因为图中既无相似三角形 也无全等三角形且不可能有 ECD EDC 而同学们从前章遇到的辅助线只是连结某条线段或作垂线等较简单的辅助线 因此 有些同学用常规方法作EG CD于G 设法说明 ECG EDG 这也不可能得到 说明 本例难点在辅助线添加这一步 在形内添加还达不到目的 需在形外添加 结合已知条件构造全等三角形 请同学们要理解本题添加辅助线的目的 例10 如图 已知 在 ABC中 AD平分 BAC AB BD AC 求 B C的值 分析 由图形猜想到 B C 2 1 设法利用条件 AB BD AC 来解决 故可采取截长法或补短法 B D C A 1 2 解法一 在AC上截取AE AB 连结DE 因为AD平分 BAC 所以 1 2 在 ABD和 AED中 所以 ABD AED SAS 由于全等三角形对应边相等 对应角相等 所以 B 3且BD DE 又根据AB BD AC和图示AE CE AC得DE CE 所以 4 C 所以 3 2 C 即 B 2 C 解法二 如图 延长AB到E 使BE BD 连结DE 由AB BD AC得AB BE AC即AE AC 由AD平分 BAC知 1 2 在 AED和 ACD中 所以 AED ACD SAS 根据全等三角形对应边相等 对应角相等得 E C 又因为 3 2 E 所以 3 2 C即 B 2 C 说明 有角平分线的条件 以角平分线为轴 采取截长法或补短法构造全等三角形实现边 角的转移是常用方法 例11 已知如图 在 ABC中 AB AC 延长AB至D 使BD AB E为AB的中点 试说明CD 2CE 分析 延长CE到F 使EF CE 连结AF 再证明 ACF BDC 便可得CD CF 2CE A B C D E F 解 延长CE到F 使EF CE 连结AF E为AB中点 AE EB 在 AEF和 BEC中 AEF BEC SAS AF BC FAB ABC AF BC FAC ACB 180 ABC DBC 180 AC AB ACB ABC FAC DBC AB BD AB AC AC BD 在 CAF和 DBC中 CAF DBC SAS CF CD CF 2CE CD 2CE误点剖析 若辅助线改为延长CE到F 使EF CE 连结BF 然后证明 CEB CDB 从而CD CF 2CE 这样的辅助线显然也可得到结论成立 这是因为四边形CAFB是平行四边形 有 ACF BFC的缘故 但若取DC中点G 连结BG 如图 说明 CBG CBE也可以得到结论成立 但必须用到九年级下册的知识中位线性质 因此 利用眼前的知识同学们还是不用取CD中点的方法来说明较妥 否则 需先证明 BDG ADC 得到才可运用全等知识进行证明 G 说明 一般情况下 若遇中线条件 又需添加辅助线可证明的问题 常运用延长中线加倍的方法进行研究 分析 A B C D E F 例12 已知 ABC 如图 B C 30 请设计三种不同的分法 将 ABC分割成四个三角形 使得其中两个是全等三角形 而另外两个是相似但不全等的直角三角形 请画出分割的线段 标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数或记号 并在各种分法的空格线上填空 画图工具不限 不要求证明 不要求写出画法 注 两种分法只要有一条分割线段位置不同 就认为是两种不同的分法 分析 1 作AD BC于D 作AE AC交BC于E 作EF AB于F 则 AEF BEF Rt AED Rt CAD 分法一 分割后所得的四个三角形中 Rt Rt 解 方法一如图 1 图 1 中 AEF BEF Rt ADE Rt CDA 1 分析 2 作 ABC的平分线交AC于D 在BC上截取BE BA 连结DE 作DF BC于F 则 ABD EBD Rt DEF Rt CDF 分法二 分割后所得的四个三角形中 Rt Rt 解 分法二如图 2 中 ABD EBD Rt EDF Rt DCF 分析 3 作AD AC于A交BC于D 过D点作ED BC于