高考数学大一轮复习 第7章 第7节 立体几何中的向量方法课件 理.ppt

第七章立体几何 第七节立体几何中的向量方法 考情展望 1 考查利用空间向量判断 证明空间中的线 面位置关系 2 考查利用向量求空间角的大小 3 以解答题为主要考查形式 固本源练基础理清教材 1 平行 2 垂直 基础梳理 2 空间位置关系的向量表示n1 kn2n1 n2 0n m 0n kmn kmn m 0 3 空间角的向量求法 1 异面直线所成角的求法 设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 2 直线和平面所成角的求法 如图所示 设直线l的方向向量为e 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 两向量e与n的夹角为 则有sin cos 直线与平面所成角的范围为 0 90 3 二面角的求法 如图 ab cd是二面角 l 的两个半平面内与棱l垂直的直线 则二面角的大小 如图 图 n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的大小 满足cos 或 基础训练 答案 1 1 2 3 4 4 长方体abcd a1b1c1d1中 ab aa1 2 ad 1 e为cc1的中点 则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为 5 2015 上海普陀区一模 正四棱锥s abcd中 o为顶点s在底面上的射影 p为侧棱sd的中点 且so od 则直线bc与平面pac所成的角是 答案 30 精研析巧运用全面攻克 调研1 如图所示 在四棱锥p abcd中 pc 平面abcd pc 2 在四边形abcd中 b c 90 ab 4 cd 1 点m在pb上 pb 4pm pb与平面abcd成30 的角 1 求证 cm 平面pad 2 求证 平面pab 平面pad 考点一 利用空间向量证明平行 垂直 师生共研型 1 恰当建立坐标系 准确表示各点与相关向量的坐标 是运用向量法证明平行和垂直的关键 2 证明直线与平面平行 只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零 或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面 然后说明直线在平面外即可 这样就把几何的证明问题转化为向量运算 3 证明直线与直线垂直 只需要证明两条直线的方向向量垂直 而直线与平面垂直 平面与平面垂直可转化为证明直线与直线垂直 名师归纳类题练熟 如图所示 已知直三棱柱abc a1b1c1中 abc为等腰三角形 bac 90 且ab aa1 d e f分别为b1a c1c bc的中点 求证 1 de 平面abc 2 b1f 平面aef 好题研习 考点二 利用空间向量求线线角和线面角 师生共研型 解析 1 证明 由该四面体的三视图 可知bd dc bd ad ad dc bd dc 2 ad 1 由题设 bc 平面efgh 平面efgh 平面bdc fg 平面efgh 平面abc eh bc fg bc eh fg eh 同理ef ad hg ad ef hg 四边形efgh是平行四边形 又 ad dc ad bd ad 平面bdc ad bc ef fg 四边形efgh是矩形 名师归纳类题练熟 2015 临沂一模 在三棱柱abc a1b1c1中 四边形aa1b1b为菱形 aa1 4 ac 3 bc b1c 5 abb1 60 d为ab的中点 1 求证 b1d b1c1 2 求直线aa1与平面cb1d所成角的正弦值 好题研习 解 1 证明 四边形aa1b1b为菱形 ab aa1 4 又 ac 3 bc b1c 5 bc2 ab2 ac2 bac 90 即ac ab 连接ab1 abb1 60 ab1 ab 4 在 ab1c中 由b1c2 ab ac2 得 cab1 90 ac ab1 ab ab1 a ac 平面aa1b1b 又 b1d 平面aa1b1b ac b1d 又d为ab的中点 b1d ab ab ac a b1d 平面abc bc 平面abc b1d bc 又b1c1 bc b1d b1c1 考情 二面角是高考的重点 也是考查热点 二面角可以将面面位置关系 线面位置关系 线线位置关系很好地融合在一起考查 且命题形式多样化 无论是选择题 填空题还是解答题都有关于这个考点常见的命题形式 考点三 利用空间向量求二面角 高频考点型 因为ao bd 所以nh bd 因为mn np 所以bd np 因为nh np 平面nhp 且nh np n 所以bd 平面nhp 又因为hp 平面nhp 所以bd hp 又oc bd hp 平面bcd oc 平面bcd 所以hp oc 因为h为bo中点 故p为bc中点 提醒 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个平面所在的法向量 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 热点破解通关预练 好题研习 考情 探索存在性问题在立体几何综合考查中是常考的命题角度 也是考生感觉较难 失分较多的问题 归纳起来立体几何中常见的探索性问题有 1 探索性问题与空间角相结合 2 探索性问题与平行或垂直相结合 3 探索性问题与空间距离相结合 考点四 利用空间向量解决探索性问题 多维探究型 解析 1 证明 因为aa1c1c为正方形 所以aa1 ac 因为平面abc 平面aa1c1c 且aa1垂直于这两个平面的交线ac 所以aa1 平面abc 2 解 由 1 知aa1 ac aa1 ab 由题知ab 3 bc 5 ac 4 所以ab ac 如图 以a为原点建立空间直角坐标系a xyz 则b 0 3 0 a1 0 0 4 b1 0 3 4 c1 4 0 4 视点三 探索性问题与空间距离相结合3 2015 淄博模拟 在如图所示的几何体中 四边形abcd是等腰梯形 ab cd abc 60 ab 2cb 2 在梯形acef中 ef ac 且ac 2ef ec 平面abcd 1 求证 bc af 2 若二面角d af c的大小为45 求ce的长 解析 1 证明 在 abc中 ac2 ab2 bc2 2ab bc cos60 3 所以ab2 ac2 bc2 由勾股定理的逆定理 知 acb 90 所以bc ac 又因为ec 平面abcd bc 平面abcd 所以bc ec 又因为ac ec c 所以bc 平面acef 又af 平面acef 所以bc af 学方法提能力启智培优 规范答题 向量法求空间角 审题视角 1 转化为证明c1m ad1 2 解法一是通过建立空间直角坐标系 用向量法求解 解法二是作出二面角的平面角 通过解三角形求解 满分展示 1 证明 因为四边形abcd是等腰梯形 且ab 2cd 所以ab dc 又由m是ab的中点 因此cd ma且cd ma 2分 连接ad1 在四棱柱abcd a1b1c1d1中 因为cd c1d1 cd c1d1 可得c1d1 ma c1d1 ma 所以四边形amc1d1为平行四边形 因此c1m d1a 又c1m 平面a1add1 d1a 平面a1add1 所以c1m 平面a1add1 4分 解法二 由 1 知平面d1c1m 平面abcd ab 过c向ab引垂线交ab于n 连接d1n 6分 答题模板 利用向量求空间角的步骤 第一步 建立空间直角坐标系 第二步 确定点的坐标 第三步 求向量 直线的方向向量 平面的法向量 坐标 第四步 计算向量的夹角 或函数值 第五步 将向量夹