初中数学探究性问题课件

2020 1 4 1 探究型问题 江西省泰和县刘小平 2020 1 4 2 命题趋势 探究型问题是近年中考比较常见的题目 解答这类问题的关键是牢固掌握基本知识 加强 一题多解 一题多变 等的训练 需要有较强的发散思维能力 创新能力 具体做题时 要仔细分析题目的有关信息 合情推理 联想 并要运用类比 归纳 分类讨论等数学思想全面考虑问题 有时还借助图形 实物或实际操作来打开思路 2020 1 4 3 整体感知 探究型问题 规律型问题 实验操作题 存在型问题 动态型问题 2020 1 4 4 1 条件的不确定性 2 结构的多样性 题型特点 3 思维的多向性 4 解答的层次性 5 过程的探究性 6 知识的综合性 2020 1 4 5 一 规律型问题 考点突破 规律探索试题是中考中的一棵常青树 一直受到命题者的青睐 主要原因是这类试题没有固定的形式和方法 要求学生通过观察 分析 比较 概括 推理 判断等探索活动来解决问题 2020 1 4 6 1 数式规律 例1 2008湖北十堰 观察下面两行数 2 4 8 16 32 64 5 7 11 19 35 67 根据你发现的规律 取每行数的第10个数 求得它们的和是 写出最后的结果 分析 第一行的第10个数是 第二行的每个数总比第一行同一位置上的数大3 所以第二行的第10个数是1024 3 1027 2051 2020 1 4 7 1 数式规律 例2 2008北京 一组按规律排列的式子 ab 0 其中第7个式子是 第n个式子是 n为正整数 本题难点是 变化的部分太多 有三处发生变化 分子 分母 分式的符号 学生很容易发现各部分的变化规律 但是如何用一个统一的式子表示出分式的符号的变化规律是难点 2020 1 4 8 1 数式规律 例3 05年陕西 观察下列各式 1 3 12 2 1 2 4 22 2 2 3 5 32 2 3 请你将猜想到的规律用正整数n表示出来 方法总结 横向熟悉代数式 算式的结构 纵向观察 对比 研究各式之间的关系 寻求变化规律 按要求写出算式或结果 2020 1 4 9 2 图形规律 例4 2008黑龙江哈尔滨 观察下列图形 它们是按一定规律排列的 依照此规律 第20个图形共有个 三角形每条边上的星数相同 再减去三个顶点的数 方法一 3 n 1 3 3n 3n 2020 1 4 10 2 图形规律 例4 2008黑龙江哈尔滨 观察下列图形 它们是按一定规律排列的 依照此规律 第20个图形共有个 3 6 9 12 3n 2020 1 4 11 2 图形规律 例5 2008海南省 用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形 按照这样的规律摆下去 则第n个图形需棋子枚 用含n的代数式表示 方法一 除第一个图形有4枚棋子外 每多一个图形 多3枚棋子 4 3 n 1 3n 1 2020 1 4 12 2 图形规律 例5 2008海南省 用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形 按照这样的规律摆下去 则第n个图形需棋子枚 用含n的代数式表示 3n 1 方法二 每个图形 可看成是序列数与3的倍数又多1枚棋子 2020 1 4 13 2 图形规律 例5 2008海南省 用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形 按照这样的规律摆下去 则第n个图形需棋子枚 用含n的代数式表示 方法三 2n n 1 3n 1 方法总结 认真观察研究图案 形 提取数式信息仿照数式规律得到结论 2020 1 4 14 复练1 2020 1 4 15 返表一 复练2 2020 1 4 16 探究规律题的一般步骤为 1 观察 发现特点 2 猜想 可能的规律 3 实验 用具体数值代入猜想 2020 1 4 17 二 实验操作型问题 考点突破 实验操作型问题是让学生在实际操作的基础上设计问题 主要有 裁剪 折叠 拼图等动手操作问题 往往与面积 对称性质相联系 与画图 测量 猜想 证明等有关的探究型问题 2020 1 4 18 实验操作型问题 主要考查 1 全等 相似 平移 对称 旋转 翻折等几何操作变换的若干方法和技巧 2 综合运用相关知识解决应用问题 折纸与剪纸 分割与拼合 展开与叠合 2020 1 4 19 动手操作型的折纸与剪纸 图形的分割与拼合 几何体的展开与叠合 几乎触及了每份试卷 从单一的选择 填空 到综合性较强的探索猜想 总结规律 判断论证存在与否 以及分类讨论等综合题 几乎无处不在 1 基础题型 2020 1 4 20 1 折纸问题 例6 2008泰州 如图 把一张长方形纸片对折 折痕为AB 再以AB的中点O为顶点把平角 AOB三等分 沿平角的三等分线折叠 将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形 那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是 A 正三角形B 正方形C 正五边形D 正六边形 基础题型 温馨提示 看清步骤 仔细操作 2020 1 4 21 复练 08山东 将一正方形纸片按下列顺序折叠 然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形 将纸片展开 得到的图形是 试一试 温馨提示 带齐工具 C 2020 1 4 22 拼图问题 例7 08顺义一模 如图1 ABC是直角三角形 如果用四张与 ABC全等的三角形纸片恰好拼成一个等腰梯形 如图2 那么在Rt ABC中 的值是 方法一 观察边长 两条较短的直角边的和等于斜边的长 方法二 观察角度 两个较小的锐角的和等于较大的锐角 基础题型 2020 1 4 23 拼图问题 基础题型 例8 08常州 如图 这是一张等腰梯形纸片 它的上底长为2 下底长为4 腰长为2 这样的纸片共有5张 打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形 那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形 分别画出它们的示意图 并写出它们的周长 2 2 2 4 2020 1 4 24 拼图问题 基础题型 22 34 20 22 2 2 4 2 2020 1 4 25 3 展开与折叠 例9 07年北京 右图所示是一个三棱柱纸盒 在下面四个图中 只有一个是这个纸盒的展开图 那么这个展开图是 基础题型 本题考查立体图形的展开与折叠 同时考查空间想象能力和动手实践能力 动手制作模型 通过实验来验证不失为一种好方法 2020 1 4 26 4 网格问题 例10 08年石景山一模 如图 在由12个边长都为1且有一个锐角为60 的小菱形组成的网格中 点P是其中的一个顶点 以点P为直角顶点作格点直角三角形 即顶点均在格点上的三角形 请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 1 2 基础题型 2020 1 4 27 4 网格问题 例10 08年石景山一模 如图 在由12个边长都为1且有一个锐角为60 的小菱形组成的网格中 点P是其中的一个顶点 以点P为直角顶点作格点直角三角形 即顶点均在格点上的三角形 请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 1 2 基础题型 评析 这类题型主要以学生熟悉的 感兴趣的图形为背景 提供观察和操作的机会 让学生通过动手操作 亲自发现结果的准确性 在思想和行动上逐步消除理论和实践之间的阻隔 网格试题具有操作性 趣味性 体现了 在玩中学 在学中思 在思中得 的课标理念 2020 1 4 28 动手操作型试题是指给出操作规则 在操作过程中发现新结论 自主探索知识的发展过程 它为解题者创设了动手实践 操作设计的空间 考察了学生的数学实践能力和创新设计才能 2 综合题型 2020 1 4 29 现有10个边长为1的正方形 排列形式如图4 请把它们分割后拼接成一个新的正方形 要求 在图4中画出分割线 并在图5的正方形网格图 图中每个小正方形的边长均为1 中用实线画出拼接成的新正方形 说明 直接画出图形 不要求写分析过程 例11 2006北京 请阅读下列材料 问题 现有5个边长为1的正方形 排列形式如图1 请把它们分割后拼接成一个新的正方形 要求 画出分割线并在正方形网格图 图中每个小正方形的边长均为1 中用实线画出拼接成的新正方形 小东同学的做法是 设新正方形的边长为x x 0 依题意 割补前后图形面积相等 有x2 5 解得由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长 于是 画出如图2所示的分割线 拼出如图3所示的新正方形 请你参考小东同学的做法 解决如下问题 题型一 画图与拼图 综合题型 2020 1 4 30 小东同学的做法是 设新正方形的边长为x x 0 依题意 割补前后图形的面积相等 有x2 5 解得x 由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长 于是 画出如图2所示的分割线 如图3所示的新正方形 再现操作情境 2020 1 4 31 小东同学的做法是 设新正方形的边长为x x 0 依题意 割补前后图形的面积相等 有x2 5 解得x 由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长 于是 画出如图4所示的分割线 如图5所示的新正方形 10 理清操作步骤 发现变化 类比迁移 2020 1 4 32 小东同学的做法是 设新正方形的边长为x x 0 依题意 割补前后图形的面积相等 有x2 5 解得x 由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长 于是 画出如图4所示的分割线 如图5所示的新正方形 10 理清操作步骤 发现变化 类比迁移 析解 本例是将矩形分割后拼成正方形 而试题又提供了拼接方法 解决这类问题除要有平时的分割和拼接经验外 还要密切关注试题中的阅读材料 2020 1 4 33 题型二 折叠与变换 例12 08北京 已知等边三角形纸片的边长为8 D为AB边上的点 过点D作DG BC交AC于点G DE BC于点E 过点G作GF BC于F点 把三角形纸片ABC分别沿DG DE GF按图1所示方式折叠 点A B C分别落在点A B C 处 若点A B C 在矩形DEFG内或其边上 且互不重合 此时我们称 A B C 即图中阴影部分 为 重叠三角形 综合题型 折叠 轴对称 实质 透过现象看本质 2020 1 4 34 1 若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中 图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形 点A B C D恰好落在网格图中的格点上 如图2所示 请直接写出此时重叠三角形A B C 的面积 题型二 折叠与变换 观察图形可知 重叠三角形是边长为2的等边三角形 综合题型 2020 1 4 35 2 实验探究 设AD的长为m 若重叠三角形A B C 存在 试用含m的代数式表示重叠三角形A B C 的面积 并写出m的取值范围 直接写出结果 备用图供实验 探究用 题型二 折叠与变换 综合题型 评析 本题设计精巧 颇具新意 是以学生喜闻乐见的 折纸 为背景 展示了数学的丰富内涵 材料鲜活 亲切 表述简明直观 本题的另一巧妙之处在于构成网格的图形是正三角形 令人耳目一新 第一问折叠是轴对称性质的应用 应注意折叠中出现的不变量 第二问体现了由特殊到一般的认知规律 在直观操作的基础上 将直觉与简单推理相结合 考察了学生的建模能力 m m 8 m 8 2m 8 2m 0 2020 1 4 36 综合题型 题型二 折叠与变换 例13 08浙江 已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示 四个顶点的坐标分别为O 0 0 A 10 0 B 8 C 0 点T在线段OA上 不与线段端点重合 将纸片折叠 使点A落在射线AB上 记为点A 折痕经过点T 折痕TP与射线AB交于点P 设点T的横坐标为t 折叠后纸片重叠部分 图中的阴影部分 的面积为S 1 求 OAB的度数 并求当点A 在线段AB上时 S关于t的函数关系式 2 当纸片重叠部分的图形是四边形时 求t的取值范围 3 S存在最大值吗 若存在 求出这个最大值 并求此时t的值 若不存在 请说明理由 评析 这是一道翻折实验题 可以让学生在亲手操作中学习知识 充分考查学生的作图能力 空间想象能力和探索能力 也可利用课件演示几个关键点 2020 1 4 37 心得 先标等量 再构造方程 折叠问题中构造方程的方法 2 寻找相似三角形 根据相似比得方程 1 把条件集中到一Rt 中 根据勾股定理得方程 2020 1 4 38 反思小结 重结果 折叠问题 折 叠 程过重 利用Rt 利用 方程思想 轴对称 全等性 对称性 质本 精髓 2020 1 4 39 例14 06顺义二模 把两个全等的等腰直角板ABC和OPQ叠放在一起 如图1 且使三角板OPQ的直角顶点O与三角板ABC的斜边中点重合 现将三角板OPQ绕点O按顺时针方向旋转 旋转角满足条件 四边形CDOE是旋转过程中两三角板的重叠部分 如图2 图3所示 已知两个三角板的直角边长均为4 探究 1 在上述旋转过程中 线段OD与OE之间有怎样的数量关系 以图2为例证明你的猜想 题型三 旋转与探索 综合题型 2020 1 4 40 题型三 旋转与探索 2020 1 4 41 点评 以上两题都是通过三角板的旋转来构造探索性问题 学生在探索过程中 可以表现出自己在从事观察 实验 数学表达 猜想 证明等数学活动方面的能力 此题关注了学生认识数学对象的过程与方法 为了考查和培养学生的创新思维能力 中考试题中也越来越多地引入了开放性问题 使学生通过对开放性试题的解答 亲自经历做数学的过程 加深学生对数学知识的认识和理解 这也对我们今后的教学的方向性起着导向作用 2020 1 4 42 例16 08义乌 如图1 四边形ABCD是正方形 G是CD边上的一个动点 点G与C D不重合 以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG 连结BG DE 我们探究下列图中线段BG 线段DE的长度关系及所在直线的位置关系 1 猜想如图1中线段BG 线段DE的长度关系及所在直线的位置关系 将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针 或逆时针 方向旋转任意角度 得到如图2 如图3情形 请你通过观察 测量等方法判断 中得到的结论是否仍然成立 并选取图2证明你的判断 题型三 旋转与探索 综合题型 2020 1 4 43 题型三 旋转与探索 综合题型 2 将原题中正方形改为矩形 如图4 6 且AB a BC b CE ka CG kb a b k 0 第 1 题 中得到的结论哪些成立 哪些不成立 若成立 以图5为例简要说明理由 3 在第 2 题图5中 连结DG BE 且a 3 b 2 k 求的值 评析 本题考查学生探索知识 发现知识 应用知识的综合创新能力 学生在探究时的猜想一般来说都是一些可预见的结果 如 大小关系一般是相等或和差相等 平面内两直线关系一般是平行 垂直等 因此 学生的猜想可有一个大方向 同时 此类题型由于条件的变化 其探索过程也由简到难 可运用类比的方法依次求出 从而使学生在身临数学的情境中潜移默化 逐渐感悟到数学思维的力量 2020 1 4 44 综合题型 点评 这些试题均体现新课标所倡导的 操作 猜想 探究 证明 理念 每题在课本中均能找到落脚点 但改变了过去直接要求学生对命题证明的形式 而是按照 给出特例 猜想一般 推理论证 再次猜想 要求呈现 这对考查学生的创新意识是十分有益的 对教学也起到了正确的引导作用 题型三 旋转与探索 2020 1 4 45 三 存在性问题 考点突破 存在性探索问题是指在某种题设条件下 判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题 这类问题的知识覆盖面较广 综合性较强 题意构思非常精巧 解题方法灵活 对学生分析问题和解决问题的能力要求较高 是近几年来各地中考的 热点 这类题目解法的一般思路是 假设存在 推理论证 得出结论 若能导出合理的结果 就做出 存在 的判断 导出矛盾 就做出不存在的判断 2020 1 4 46 存在性 问题大体可分为两类 1 由数量关系确定的 存在性 问题 即要找的是满足一个 特殊 数量方面的要求 2 由位置关系确定的 存在性 问题 即要找的是满足一个 特殊 位置方面的要求 解决的方法主要是借助于构造基本图形 解决的方法主要是借助于构造方程 2020 1 4 47 考点突破 解决此类问题的关键是将运动的几何元素当作静止来加以解答 即 化动为静 的思路 并能从相对静止的瞬间清晰地发现图形变换前后各种量与量之间的关系 通过归纳得出规律和结论 并加以论证 2020 1 4 48 例17 06顺义一模 已知 如图 ABC中 AB 6 AC 8 M为AB上一点 M不与点A B重合 MN BC交AC于点N 1 当 AMN的面积是四边形MBCN面积的2倍时 求AM的长 2 若 A 90 在BC上是否存在点P 使得 MNP为等腰直角三角形 若存在请求出MN的长 若不存在 请说明理由 2020 1 4 49 例18 08大兴二模 已知 抛物线过点A 3 0 B 1 0 此抛物线的顶点为D 1 求此抛物线的解析式 2 把 ABC绕AB的中点M旋转180 得到四边形AEBC 求E点的坐标 试判断四边形AEBC的形状 并说明理由 3 试探求 在直线BC上是否存在一点P 使得 PAD的周长最小 若存在 请求出点P的坐标 若不存在 请说明理由 2020 1 4 50 四 动态探究题 考点突破 动态探究题能够真实的考查学生的知识水平 理解能力 有较好的区分度 具有较好的选拔功能 同时 依托图形的变化 动点 动线段 动图问题 能很好地考查学生学习数学的探究能力和综合素质 体现开放性 主要以中档题与综合题形式出现 有时也会以选择题形式出现 2020 1 4 51 题型一 点动型探索 综合题型 例19 分析 前两问利用相似三角形或者三角函数等知识可解决 第 3 问是一个点在线上运动问题 需要先探索点P使 PQR为等腰三角形的可能性 这时应分类讨论 抓住PQ为等腰三角形的腰或底分别求解 注意x的取值范围 2020 1 4 52 题型一 点动型探索 综合题型 例19 略解 1 由BC 10 BD 3 BHD BAC得到DH 2 4 2020 1 4 53 综上所述 当x为3 6或6或7 5时 PQR为等腰三角形 题型一 点动型探索 综合题型 2020 1 4 54 题型一 点动型探索 小结 一要注意在单点运动变化的过程中 哪些图形 如线段 三角形等 随之运动变化 即确定整个单点运动变化过程中图形中的变量和不变量 如本题中线段PQ和 PQR是两个不变量 线段BQ QR是两个变量 以及 PQR的形状也在变化 三要结合具体问题 建立方程或函数等数学模型 达到解决问题的目的 如本题中 假设 PQR为等腰三角形 则分PQ PR QP QR RP RQ三种情况建立相等关系 列出方程求解 二要运用相应的几何知识 用单点运动引起的某一变量x 表示图形中其它的变量 如本题中运用 RQC ABC 用变量x表示变量y 2020 1 4 55 题型二 线动型探索 例20 已知 如图 AB是 O的一条弦 点C为AB的中点 CD是 O的直径