浙江省宁波市2018学年第一学期期末九校联考高二数学(PDF).pdf

2018学年 第一学期 宁波市宁波市九九校联考高校联考高二数学二数学试题试题 参考答案 一一 选择题选择题 本大题共本大题共 1010 小题小题 每小题每小题 4 4 分分 共共 4040 分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有只有 一项是符合题目要求的 一项是符合题目要求的 题号题号1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 答案答案A AD DA AC CA AB BB BD DC CC C 二 填空题二 填空题 本大题共 本大题共 7 小题 多空题每小题小题 多空题每小题 6 分 单空题每小题分 单空题每小题 4 分 共分 共 36 分 分 11 015 2yx 12 3 1 130 8 2 88 13 1 214 15 2 7 2 15 5 2 16 0 21 17 26 2 3 三 解答题三 解答题 本大题共 本大题共 5 小题 共小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 本题满分 14 分 解 当 1 3 3 x 时 因为 f x在 1 1 3 上为减函数 在 1 3上为增函数 2 分 f x 在 1 3 3 x 上最小值为 1 2f 4 分 当 1 3 3 x 时 由函数 11 f xx xa 恒成立 得 1 2 a 解得 1 2 a 6 分 若命题q为真命题 则 2 8 13 a a 解得1a 8 分 若p为真命题且q为假命题 则 1 2 01 a a 可得 1 1 2 a 10 分 若p为假命题且q为真命题 则 1 0 2 1 a a 此时a 12 分 由上可知 a的取值范围为 1 1 2 a 14 分 19 本题满分 15 分 解 作CHOABHOH 平面于 连 HEOAEHFOBFCE CF 作于 于连 AO 平面CEH BO平面CFH CEOA CFOBCEO 所以 CFO OEOFOEHF 四边形为正方形 OHAOB 是的角平分线 3 分 coscoscosCOECOHEOH 0 122 cos cos 45 222 COHCOHCOH 即 0 4sin452 2 CH 8 分 方法 1 OA a OB b OC cBC c ba c b 记 则 记 0 cos 4 4 cos608 acbacbacba c a b 又 0 81 4 4 cos 60 4 42 acb 即 所以异面直线OA与BC所成角的大小为 0 60 15 分 方法 2 以 HF HE HC所在直线分别为 x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 则 0 0 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 COAB 则 4 0 0 2 2 2 2 OABC 10 分 设异面直线OA与BC所成角为 则 coscos OA BC OA BC OABC 222 81 2 4 2 2 2 2 13 分 0 60 所以异面直线OA与BC所成角的大小为 0 60 15 分 用补体法求解同样给分 20 本题满分 15 分 在PBA 中 2PA 1AB 60PAB 所以 222 2122 1 cos603PB 3PB 所以 222 PBABPA PBAB 因为ADBC 所以 A B C D四点共面 又AD 平面PAB PB 平面PAB 所以ADPB 又PBAB ADABA 所以PB 平面ABCD 7 分 方法一 在RtPBC 中 7PC 在RtPAD 中 2 5PD 在直角梯形ABCD中 5CD 9 分 在PDC 中 222 2 5 5 7 9 cos 1022 55 PDC 2 919 sin1 1010 PDC 所以 11919 2 55 2102 PDC S 1 4 12 2 ACD S 12 分 设直线PA与平面PCD所成的角为 设点A到平面PCD的距离为h 因为 A PDCP ACD VV 所以 11 33 PDCACD ShSPB 即 1191 23 323 h 所以 4 3 19 h 2 32 57 sin 1919 h PA 15 分 故直线PA与平面PCD所成的角的正弦值为 2 57 19 方法二 由 知 BC 平面PAB BCAB 以点B为坐标原点 以 BA BC BP所在直线分别 为 x y z轴建立如图的空间直角坐标系 则 0 0 3 P 1 0 0 A 0 2 0 C 1 4 0 D 所以 1 0 3 PA 0 2 3 PC 1 2 0 CD 9 分 设直线PA与平面PCD所成的角为 设平面PCD的一个法向量为 x y z n 由 0 0 PC CD n n 得 230 20 yz xy 取3y 则2z 2 3x 所以 2 3 3 2 n 12 分 所以 2 302 3 2 57 sin 19 2 19 PA PA n n 故直线PA与平面PCD所成的角的正弦值为 2 57 19 15 分 方法三 延长 DC AB相交于点E 连结PE 因为ADBC 2ADBC 所以BC为ADE 的中位线 点 B C分别为 AE DE的中点 所以PDE 为等腰三角形 取PE中点F 连 DF AF 所以DFPE AFPE DFAFF 所以PE 平面ADF 又PE 平面PCD 所以平面ADF 平面PCD 作AHDF 于H 连PH 所以AH 平面PCD 所以APH 就是直线PA与平面PCD所成的角 12分 因为3AF 4AD 19DF 所以 222 AFADDF 所以 4 3 19 AH 所以 2 32 57 sin 1919 AH APH AP 故直线PA与平面PCD所成的角的正弦值为 2 57 19 15 分 21 本题满分 15 分 QPN 点 是线段的垂直平分线上的点 QNQP 2 2 QMQNQPQMMP QM N 点 的轨迹是以为焦点的椭圆 22 2 22 ac 其中2 1 1 acb 2 2 1 2 x Qy 因此 点 的轨迹方程是 5 分 设其中一条直线AB的方程为 1 yk x 代入椭圆方程可得 2222 21 4220 kxk xk 2 2 2 2 1 21 k AB k 8 分 设 1122 C x y D x y 则 1 1 2 x k CD y 即x 2ky 1 代入椭圆方程可得 4k2 2 2 410 yky 设 C D到直线AB的距离分别为d1和d2 则 1122 12 2 2 121212 22 1 21 11 kxykkxyk dd k k xxyykyy kk 2 2 2 41 1 k k 12 分 22422 12 24242 121 41451 22 1 221441441 kkkkk SABdd kkkkk 2 2 193 2 2 12 1 82 44k k 22 2 11 2k 当4k 即k 时取 15 分 22 本题满分 15 分 解 切线PA的方程为y x 2 111 2 x xx 即y 2 2 11 x xx 2 22 x xx 同理可得 切线PB的方程为y 2 4 分 另解 2 11 PAk xx 设切线的方程为 y x 2 22 11 2 11 0 yx kxxkx k xx 由消去y后可得 x y x 22 111 4402kxkxkx 22 11111 2 x xxx xx 切线PA的方程为y x即y 2 2 22 x xx 同理可得 切线PB的方程为y 2 4 分 证明证明 因为点P既在切线PA上 也在切线PB上 由 1 可得 2 0101 2yx xx 2 0202 2yx xx 故 12 0 2 xx x 012 yx x 又点M的坐标为 22 1212 22 xxxx 6 分 所以点N的纵坐标为 22 2 1212 1 2 1 222 N xxxx yx x 即点N的坐标为 2 1212 22 xxxx 故N在抛物线C上 8 分 解解由 知 222222 12121212 1 ABxxxxxxxx 2 12 2 xx PM 所以 22