热统复习题.pdf

1 复习题集复习题集 简述题简述题 1 写出系统处在平衡态的自由能判据 2 写出系统处在平衡态的吉布斯函数判据 3 写出系统处在平衡态的熵判据 4 系统的基本热力学函数有哪些 什么叫特性函数 什么叫自然参量 5 熵的统计解释 由波耳兹曼关系lnSk 可知 系统熵的大小反映出系统在该宏观状态下所具有 的可能的微观状态的多少 而可能的微观状态的多少 反映出在该宏观平衡态下系统的 混乱度的大小 故 熵是系统内部混乱度的量度 6 试说明 在应用经典理论的能量均分定理求理想气体的热容量时 出现哪些与实验不符的 结论或无法解释的问题 至少例举三项 7 简述最大功原理 8 试说明 为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献 9 试说明 为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略 10 写出能量均分定理的内容 11 简述熵增加原理 12 写出能斯特定理的内容 13 什么是近独立粒子系统 14 写出等概率原理的内容 15 概率密度 q p t 的物理意义 代表点密度 D q p t的物理意义及两者的关系 16 设处于平衡态的孤立系统由N个粒子组成 每个粒子的力学自由度为 3 系统的能量为 1 EEEEE 试写出 微正则分布的经典表达式 微正则分布的量子表达 式 系统的微观态 量子态 与 空间体积元的对应关系 用 空间积分表示的系 统可能的微观态数 17 写出系统处在平衡态的自由能判据 18 什么是统计系综 统计系综可分成哪几类 分别适用于满足什么条件的热力学系统的统 计分析 2 19 单元复相系达到平衡时所满足的相变平衡条件是什么 如果该平衡条件未能满足 变化 将朝着怎样的方向进行 20 写出吉布斯相律的表达式 并说明各物理量的含义 21 写玻耳兹曼系统 玻色系统 费米系统的微观态数统计表达式 并说明它们之间的联系 22 为什么说 对于一个处在平衡态的孤立系统 可以将粒子的最概然分布视为粒子的平衡 态分布 23 简要说明什么是粒子相空间或 空间 什么是系统相空间或 空间 24 试说明 在应用经典理论的能量均分定理求固体热容量时 出现哪些与实验不符的结论 或无法解释的问题 填空题填空题 1 玻色分布表为 费米分布表为 玻耳兹曼分布表 为 当满足条件 时 玻色分布和费米分布均过渡到 玻耳兹曼分布 2 玻色系统和费米系统粒子配分函数用 表示 系统平均粒子数为 内能表为 广义力表为 熵表为 3 均匀系的平衡条件是 0 TT 0 PP 平衡稳定性条件是 0 V C 0 T P V 4 均匀开系的克劳修斯方程组包含如下四个微分方程 5 对于含 N 个分子的双原子分子理想气体 在一般温度下 原子内部电子的运动对热容 量 温度大大于振动特征温度时 温度小小于转动特征温 度时 温度大大于转动特征温度而小小于动特征温度 时 6 准静态过程是指 的过程 无摩擦准静态过程的特点 是 7 绝热过程是指 系统状态的改变 的过程 在绝热过程中 外界对系统所做的功 与具体的过程 无关 仅由 决定 3 8 假定系统仅由两个全同粒子组成 粒子有三种可能的量子态 则对于玻耳兹曼系统 费米 系统 玻色系统 可能的微观态数分别为 9 费米分布是指 处在平衡态的孤立的 费米系统 粒子在 能级上 的 最概然 分布 9 玻色分布是指 玻色系统 粒子在 的 分布 10 弱简并理想玻色气体分子间存在 弱简并理想费米气体分子间存 在 11 对于一单元复相系 未达到热平衡时 热量从 传至 未达到相变平 衡时 物质从 作宏观迁移 12 微正则系综是 微正则分布是指 微正则分布是平衡态统计物理学的基本假设 它与 等价 13 在对满足条件1e 气体进行统计分析时有两种不同的系统模型 即弱简并气体与非 简并气体 对前者采用 统计法 对后者采用 统计法 两种模型 差异的本质是前者 而后者则 14 玻耳兹曼系统粒子配分函数用 1 Z表示 内能统计表达式为 广义力统计表达式为 熵的统计表达式为 自由能的统计表达式为 14 与分布 a 相应的 玻色系统微观状态数为 费米 系统的微观状态数 玻耳兹曼系统微观状态数为 当满足条件经典近似条件时 三种微观状态数之间 的关系为 15 热力学系统的四个状态量VPTS 所满足的麦克斯韦关系为 16 原子内部电子的运动对热容量贡献可以忽略的原因是 在不考虑能级精细结构的情况下 原子内部电子的激发态与基态的能量差约为 要通过热激发使得电子发生能级 4 跃迁相应的特征温度为 在一般温度的情况下 电子通过热激发跃迁到激发态 的概率极小 因此 对热容量的贡献完全可以忽略 17 玻耳兹曼分布适用于 系统 其表达式为 玻色分布和 费米分布适用于 系统 玻色分布表达式为 费米分布表 达式为 当满足条件 时 玻色分布和费米分布都将过渡 到玻耳兹曼分布 18 设一多元复相系有个 相 每相有个k组元 组元之间不起化学反应 此系统平 衡时必同时满足条件 TTT PPP iii 1 2ik 选择题选择题 1 系综理论所涉及三种系综有 微正则系综 正则系综 巨正则系综 它们分别适合于 A 孤立系 闭系 开系 B 闭系 孤立系 开系 C 孤立系 开系 闭系 D 开系 孤立系 闭系 2 封闭系统指 A 与外界无物质和能量交换的系统 B 能量守衡的系统 C 与外界无物质交换但可能有能量交换的系统 D 孤立的系统 3 有关系统与系综关系的表述是正确的是 A 系综是大量的结构相同 外界条件相同 且彼此独立的系统的集合 B 系综是大量的结构不同 外界条件相同 且彼此独立的系统的集合 C 系综是大量的结构相同 外界条件不同 且彼此独立的系统的集合 D 系综是大量的结构不同 外界也条件不同的系统的集合 4 气体的非简并条件是 A 气体分子平均动能远远大于kT B 气体分子间平均距离远远大于分子德布罗意波的平均热波长 C 气体分子数密度远远小于 1 D 气体分子间平均距离极大于它的尺度 5 由热力学基本方程dGSdTVdp 可得麦克斯韦关系 5 A VT pS TV B p S TV pS C SV Tp VS D p T VS Tp 6 孤立系统指 A 与外界有能量交换但无物质交换的系统 B 与外界既无物质交换也无能量交换的系统 C 能量守恒的系统 D 温度和体积均保持不变的任意系统 7 吉布斯函数作为特性函数应选取的独立态参量是 A 温度和体积 B 温度和压强 C 熵和体积 D 熵和压强 8 自由能作为特性函数应选取的独立态参量是 A 温度和体积 B 温度和压强 C 熵和体积 D 熵和压强 9 下列各式中不正确的是 A S P H n B T V F n C P V U n D T P G n 10 当经典极限条件成立时 玻色分布和费米分布均过渡到 A 麦克斯韦分布 B 微正则分布 C 正则分布 D 玻尔兹曼分布 11 下列说法正确的是 A 一切与热现象有关的实际宏观物理过程都是不可逆的 B 热力学第二定律的表述只有克氏和开氏两种说法 C 第一类永动机违背热力学第二定律 D 第二类永动机不违背热力学第二定律 12 由热力学方程dFSdTpdV 可得麦克斯韦关系 A VS S p V T B p S S V p T C T p p S T V D TV V S T p 13 已知粒子能量表达式为 6 bxaxppp m zyx 2222 2 1 其中 a b 为常量 则依据能量均分定理粒子的平均能量为 A kT 2 3 B kT2 C a b kT 4 2 2 D kT 2 5 14 具有确定的粒子数 确定的体积 确定的能量的系统满足 A 微正则分布 B 正则分布 C 巨正则分布 D 以上都不对 15 玻耳兹曼统计中用粒子配分函数Z1表示的内能是 A 1 1 lnZ UZ B 1 lnZ UN C 1 ln1Z U D 1 lnZN U 16 不考虑粒子自旋 在长度 L 内 动量处在 xxx ppdp 范围的一维自由粒子的可能的量 子态数为 A L dp h B x L dp h C 2L dp h D x 2L dp h 17 均匀开系的热力学基本方程是 A dFSdTpdVdn B dGSdTVdpdn C dUTdSpdVdn D dHTdSVdpdn 推导与证明推导与证明 1 证明 PV VP PV CCT TT 证 PV PV SS CCTT TT 1 S T pS T V T p PVTP SSSV TTVT 2 2 代入 1 PV VP SV CCT VT 3 将麦氏关系 TV SP VT 代入 3 得 7 PV VP PV CCT TT 2 证明 0K时电子气体中电子的平均速率为 3 4 F P m v F P为费米动量 证明 0K时 0 0 1 0 f 在单位体积内 动量在 ppdp 范围内的电子的量子态数为 2 3 8 p dp h 在此范围内的电子数为 2 3 8 p dNfp dp h 3 3 0 2 3 0 8 8 13 4 F F P p PF p dp h ppdNP N p dp h 3 v 4 F p P m 3 一容积为V的巨大容器 器壁上开有一个极小的孔与外界大气相通 其余部分与外界绝热 开始时 内部空气的温度 压强与外界相同为 00 PT 假定空气可视为理想气体 且定压 摩尔热容量 p c为常量 给容器内的空气以极其缓慢的速率均匀加热 使其温度升至T 证明 所需热量为 0 0 ln T T R cVP Q P 证明 系统经历准静态过程 每一中间态均可视为平衡态 对于容器内的气体 初态 00 P Vn RT 任一中间态 0 TP VRTn 0 0 T T T nn 00 0000 0 ln TT TT ppp T dTT QdTTT TT ncn cn c 即 0 0 ln p PV T Q RT c 4 将空窖辐射视为平衡态光子气体系统 光子是能量为 的玻色子 由玻色分布 每个量 子态上平均光子数 1 1 kT f e 试导出普朗克黑体辐射公式 3 23 1 kT V UT dd ce 解 在体积V内 动量在p p dp 范围的光子的量子态数为 2 3 8 V p dp h 由圆频率与波矢关系 ck 及德布罗意关系 可得 p cc 8 故 在体积V内 能量在 d 范围内的光子的量子态数为 32 2 3323 8 VV Dddd hcc 在此范围内的光子数为 2 23 1 kT V N df Ddd ce 故 在此范围内的辐射能量为 3 23 1 kT V U TdN dd ce 5 证明焓态方程 p T HV VT pT 证 选T p作为状态参量时 有 p T HH dHdTdp Tp 1 p T SS dSdTdp Tp 2 而 dHTdSVdp 3 2 代入 3 得 p T SS dHTdTVTdp Tp 4 比较 1 4 得 pp HS T TT 5 T T HS VT Vp 6 将麦氏关系 p T SV pT 代入 6 即得 Tp HV VT VT 6 证明能态方程 TV Up Tp VT 证 选T V作为状态参量时 有 VT UU dUdTdV TV 1 VT SS dSdTdV TV 2 而 dUTdSpdV 3 2 代入 3 得 VT SS dUTdTTp dV TV 4 9 比较 1 4 得 VV US T TT 5 TT US Tp VV 6 将麦氏关系 TV Sp VT 代入 6 即得 TV Up Tp VT 7 证明 对于一维自由粒子 在长度L内 能量在 d 的范围内 可能的量子态数为 1 21 2 2 m L Dd h d 证 由量子态与相空间体积元之间的对应关系 对于一维自由粒子 在相空间体积元 x dxdp 内的可能的量子态数为 x dxdp h 因此 在长度L内 动量大小在 ppdp 范围内粒子的可能的量子态数为 2L dp h 而 2 1 2 p m 2 m dpd 故 在长度L内 能量在 d 范围内 可能的量子态数为 1 21 2 2 m L Dd h d 8 推导 在面积 2 L内运动的能量在 d 范围的二维自由粒子 可能的量子态数为 2 2 2 L Ddmd h 要求写出详细导出过程 解 由量子态与 空间体积元的对应关系 自由度为r的粒子的一个量子态对应2r维 空 间中大小为 r h的体积元 因此 运动状态代表点落在4维 空间中点 xy x y pp 邻域的体 积元 xy dxdydp dp内的二维自由粒子可能的量子态数为 2 1 xy dxdydp dp h 上式对粒子位置坐标积分 同时动量子空间改用极坐标系得到 在面积 2 L内动量大小 在 ppdp 范围 方向在 d 范围的二维自由粒子可能的量子态数为 2 2 L pdpd h 上式对 从0到2 积分即得 在面积 2 L内动量大小在 ppdp 范围 动量方向任意 的二维自由粒子可能的量子态数为 2 2 2 L pdp h 10 由粒子能量 2 2 p m 可得pdpmd 代入上式得 2 2 2 L md h 此即 在面积 2 L内运动的能量在 d 范围的二维自由粒子可能的量子态数 令 2 2 2 L mD h 称作态密度 则 2 2 2 L Ddmd h 9 导出含有N个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式 33 2 1 N UN e 2 2 3 1 E E T E V T e CNk T e 解 按爱因斯坦假设 将N个原子的运动视为3N个线性谐振子的振动 且所有谐振子的振 动频率相同 谐振子的能级为 1 2 0 1 2 nn 则 振子的配分函数为 2 1 2 2 1 00 1 nn nn e Zeee e 1 1 lnln 1 2 Ze 1 ln3333 3 2121 ZNeN UNNN ee 2 22 1 3 1 V V V UUe CNk TkTkTe 引入爱因斯坦特征温度 E E k 即得 2 2 3 1 E E T E V T e CNk T e 10 运用量子统计理论 导出宏观容器中满足非简并条件的单原子分子理想气体的内能表达 式 提示 2 ax edx a 解 满足非简并条件的气体系统遵从玻耳兹曼分布 分子配分函数为 1 ls l ls Zee 对所有量子态s求和 分子在宏观容器中运动其能量是准连续地变化的 故可用 空间积分替换上述求和 因为 运动状态代表点落在 空间体积元 xyz dxdydzdp dp dp内的分子 其可能的量子态数和能量分 别为 3 1 xyz dxdydzdp dp dp h 222 1 2 xyz ppp m 所以 分子配分函数可改写为 11 2222 3 3 2 22 1 333 12xyzx pppp mm xyzx VVm Zedxdydzdp dp dpedp hhh 而 1 2 332 lnlnlnln 22 m ZV h 故 1 ln33 22 ZN UNNkT 11 对于给定系统 若已知 v pR Tv b 3 p 2a v bTT vv bRv 求此系统的物 态方程 解 设物态方程为 pp T v 则 vT pp dpdTdv Tv 1 1 vp T pTV Tvp Tvp ppT vTv 2 将 v pR Tv b 和 3 p 2a v bTT vv bRv 代入 2 得 233 Tvp 2a v b ppTRT2aRT vTvv b v bRvv v b 3 将 v pR Tv b 和 3 代入 1 得 2223 RRT2aRTaRTa dpdTdvdvddd v bvv bvv bv v b 积分得 2 RTa p v bv 即 2 a pv bRT v 12 将空窖辐射视为平衡态光子气体系统 导出普朗克黑体辐射公式 3 23 1 kT V UT dd ce 解 在体积V内 动量在p p dp 范围的光子的量子态数为 2 3 8 V p dp h 12 因 2 pk c dpd c 所以 在体积V内 圆频率在 d 范围内的光子的量子态数为 32 2 3323 8 VV Dddd hcc 光子气体是玻色系统遵从玻色分布 由于系统的光子数不守恒 每个量子态上平均光子数为 1 1 kT f e 所以 在体积V内 圆频率在 d 范围内的光子数为 2 23 1 kT V N df Ddd ce 故 在此范围内的辐射能量为 3 23 1 kT V U TdN dd ce 13 单原子分子理想气体孤立系统的可能的微观运动状态数为 3 2 NE E E 其中 3 2 3 2 3 2 N N VmE hNN 由此导出系统熵的表达式 3 2 2 45 ln 32 VmE SNkNk Nh 解 3 2 3 33 lnlnlnln 2 ln ln 22 NEVN NNmEN Eh 1N ln lnNNNN 3333 ln ln 2222 NNNN 3 2 2 345 lnlnln 232 NEVmEN N ENNh Eh 23 10N 21 10kT 2 10E 13 3 ln 100 2 NE E 3 2 2 45 lnln 32 VmEN N NNh 由玻耳兹曼关系 lnSk 得 3 2 2 45 ln 32 VmE SNkNk NNh 13 14 试用麦克斯韦关系 导出方程 V V p TdSC dTTdV T 假定 V C可视为常量 由此 导出理想气体的绝热过程方程 1 TVC 常量 解 VT SS dSdTdV TV V VTT SSS TdSTdTTdVC dTTdV TVV 由麦氏关系 TV Sp VT V V p TdSC dTTdV T 绝热过程0dS 理想气体 nR pT V V pnR TV 0 V dTdV CnR TV 积分得lnln V CTnRVC 常量 pV CC 1 pVV nRCCC 故 1 lnTVC 即 1 TVC 常量 15 证明 理想气体的摩尔自由能为 证明 选T V 为独立变量 则