幂等矩阵性质毕业设计

(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！)幂等矩阵的性质目录中文摘要 1英文摘要 11 引言 12 幂等矩阵的概念 33 幂等矩阵的性质 4 3. 1 幂等矩阵的主要性质43. 2 幂等矩阵的等价性命题7 3. 3 幂等矩阵的线性组合的相关性质114 幂等矩阵与其他矩阵的关系 144. 1 幂等矩阵与对合矩阵14 4. 1. 1 对合矩阵14 4. 1. 2 幂等矩阵与对合矩阵的关系154. 2 幂等矩阵与投影矩阵16 4. 2. 1 投影矩阵16 4. 2. 2 幂等矩阵与投影矩阵的关系17结束语 19参考文献 20致谢 21英文原文 22英文译文 29- 2 -幂等矩阵的性质数学与应用数学专业2009级 王素云摘要: 本文对幂等矩阵的一些性质进行归纳总结及推广, 并将幂等矩阵与其他特殊矩阵进行了比较. 给出幂等矩阵的概念. 讨论幂等矩阵的主要性质, 并将其进行推广. 然后研究了幂等矩阵的等价性命题, 以及幂等矩阵的线性组合的相关性质. 再结合对合矩阵和投影矩阵更深入的研究幂等矩阵的性质, 分别讨论了幂等矩阵与对合矩阵, 幂等矩阵与投影矩阵的关系. 关键字: 幂等矩阵; 性质; 对合矩阵; 投影矩阵; 广义逆矩阵PROPERTIES OF IDEMPOTENT MATRIX Suyun Wang, Grade 2009, Mathematics and Applied MathematicsAbstract In this paper, some properties of the idempotent matrix are summarized and extended, and idempotent matrices are compared with other special matrix. The concept of idempotent matrices are given. The main properties of the idempotent matrix are discussed and promoted . Then, the equivalent propositions of idempotent matrix and the nature of the linear combinations of idempotent matrices are studied. The involution matrix and the projection matrix are used to discuss the nature of the idempotent matrices much deeper. The relationship between the idempotent matrix and involution matrix, the idempotent matrix and the projection matrix are discussed.Key Words the idempotent; the nature; involution matrix; the projection matrix; generalized inverse matrix1 引言 幂等矩阵是矩阵中非常特殊的一类矩阵，也是非常重要且非常常见的一类矩阵，很多其他特殊矩阵都与幂等矩阵有着密切的联系，如对合矩阵及投影矩阵。幂等矩阵在数学领域及其他许多领域的应用都非常广泛，幂等矩阵更是矩阵论中的一个基础部分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要作用。近年来有关此问题的研究吸引了国内外许多研究学者的关注，关于幂等矩阵的研究已经成为矩阵论中的活跃的研究领域。幂等矩阵在研究广义逆矩阵中占有非常重要的地位，研究幂等矩阵的性质是研究其他特殊矩阵的基础。广义逆的思想可追溯到1903年(E.)i.弗雷德霍姆的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆(他称之为伪逆)。1904年，D.希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H.穆尔在1920年提出的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。当时人们对此似乎很少注意。这一概念在以后30年中没有多大发展。曾远荣在1933年，F.J.默里和J.冯诺伊曼在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过讨论。T.N.E.格雷维尔、C.R.拉奥和其他人也作出了重要的贡献。1955年，彭罗斯证明了存在唯一的满足前述性质，并以此作为的定义。1956年，R.拉多证明了彭罗斯定义的广义逆与穆尔定义的广义逆是等价的，因此通称为穆尔-彭罗斯广义逆矩阵。幂等矩阵是国内外学者都非常感兴趣的一类矩阵，如文1中研究了幂等矩阵的可对角化性质，证明了幂等矩阵是可对角化的；文2研究了幂等矩阵的伴随矩阵的幂等性等等。本文在接下来的章节中，我们将先给出幂等矩阵的定义及几个简单命题，并证明之。然后给出幂等矩阵的一系列性质，在前人的基础上进行总结以及推广，并进行证明。再给出幂等矩阵的等价命题，并给出证明。然后讨论幂等矩阵的线性组合的相关性质，再结合对合矩阵和投影矩阵及幂等矩阵分别于对合矩阵和投影矩阵的关系对幂等矩阵进行深入研究。2 幂等矩阵的概念定义2.1 若有性质, 则称为幂等矩阵. 为了更好地了解幂等矩阵, 现在来看以下几个命题:命题2.1 若阶方阵是幂等矩阵, 则与相似的任意阶方阵是幂等矩阵.证明 设(即矩阵与矩阵相似),则, 且 , 又 , . 是幂等矩阵. 命题2.1也可以表述为: 若是幂等矩阵, 则对于任意可逆阵, 也为幂等矩阵.命题2.2 若阶方阵是幂等矩阵, 则的转置, 的伴随矩阵及都是幂等矩阵.证明 , 即为幂等矩阵; 对, 先证明对任意两个幂等矩阵, 有关系式. 由公式有: 矩阵的第行第列的代数余子式 所以, ; 对, 有 .命题2.3 若是幂等矩阵, 的次幂仍是幂等矩阵.证明 可用数学归纳法证明. 当时, 显然成立. 假设当时, 命题成立, 现考虑情形: . 即当时命题仍成立, 由数学归纳法知, 对任意命题都成立.3 幂等矩阵的性质3.1 幂等矩阵的主要性质性质3.1.1 矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵. 由和的定义可知命题成立.性质3.1.2 幂等矩阵满足: .证明 . .性质3.1.3 若矩阵均为幂等矩阵, 且, 则与也是幂等矩阵.证明 . 同理, 也是幂等矩阵.性质3.1.4 若幂等矩阵可逆, 则.证明 .性质3.1.5 幂等矩阵的特征值只能为0或1.证明 设是幂等矩阵, 即, 再设的特征值为, 则(由特征值的性质), 故. 由这个性质可以知道幂等矩阵是半正定矩阵.性质3.1.6 幂等矩阵可对角化.证明 设是幂等矩阵, 为的最小多项式, 由性质3.1.5知: 或或, 最小多项式是互素的一次因式的乘积, 从而可对角化.另证明 当(即)时, 显然成立. 当时, 的特征值全为0, 1. 的属于1的特征子空间的维数等于齐次线性方程组的解空间的维数. 属于0的特征子空间的维数等于齐次线性方程组的解空间的维数.由幂等矩阵的性质有. 故可对角化, 设, 则由幂等矩阵的性质得, 因此的相似标准型为.性质3.1.7 若是幂等矩阵, 则, 是可逆矩阵.证明 , . 又, . 故可逆, 且.性质3.1.8 幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩, 即.证明 设分别为A 的特征值及其相应的特征向量, 于是有: , 从而有. 由此可推得结果.性质3.1.9 若满足, 则是幂等矩阵.证明 设的基础解系为(其实它们都是特征值0的特征向量), 再设的基础解系为(它们都是特征值为1的特征向量), 且, 设矩阵(可逆)满足, 而是幂等矩阵, 故也是幂等矩阵.例3.1.1 设都是幂等矩阵, 且, 证明: 是幂等矩阵.证明 由题意可知, 且, 于是: .例3.1.2 设为阶幂等矩阵, 且, .证明 (1) 若则或. (2) 若则或.证明 (1) , 由题设知, 则有 . 对上式两边同乘于得:. 移项得 . 从而有, 即或. 同理可证( 2).例3.1.3 设是阶实对称阵, 且, 证明: 正交矩阵, .证明 设是属于的特征向量, 那么,又, 从而,但, .(由幂等矩阵的性质也可以得知), 故的特征值不是0就是1. 故(可由特征向量构造, 将转化为标准型即为所求).3.2 幂等矩阵的等价命题 幂等矩阵的等价命题在实数域内与复数域内基本是一致的, 故在此只考虑幂等矩阵在实数域内的等价命题.定理3.2.1 以下命题等价:(i) ; (ii) , ;(iii) ; (iv) ;(v) , ; (vi) , ;(vii) , ;(viii) ;(ix) 非奇异矩阵, , 其中.证明 (i)、(ii)、(iii)的等价性是易证的.(i)(iv) , 由性质5知, 的特征值只能为0或1, 即为对应特征值1的特征子空间. .(i)(v) “” . 故的列向量都满足. 从而,又, 有: . 由的任意性可知. 综上, . “” 对有,即. 于是有. 由的任意性得. 同理可证.(i)(vi) 若, 即对某两个成立, 则, 故. 同理可证后面一个式子. 从而(iv)成立. 反之, 若(vi)成立, 则对任一, 有 是的唯一分解. 但又有唯一分解, 又. 于是对任何成立着, 从而.(vi)(vii) 注意到对任何成立, 故总有, 故(vi)与(vii)等价.(vii)(viii)总是成立的. 由维数公式知 . 由性质3.1.8可知, 若, 则. 另外, 利用矩阵的满秩分解, 我们可以具体的找出(ix)中的变换阵. 设,均为满秩分解, 则有, 且均为方阵. 从而. 由此可知, , , . 于是可证明. 从此式还可以看出, 与的列向量分别是的属于特征值1与0的特征向量. 最后,矩阵的满秩分解可用来判定幂等性: 若是满秩分解, 则当且仅当. 另一方面, 常用此特殊性来构造幂等矩阵. 下面给出几个构造幂等矩阵的定理:定理3.2.2 设非零列向量, 则阶矩阵为幂等矩阵.证明 “” , , 即, 从而, 因为, , 因此, . “” , .推论3.2.1 令, 其中: 为非零列向量. 若, 则阶方阵不可逆.证明 设可逆, 则由幂等矩阵的性质可知, 当时, 由定理3.2.2可知为幂等矩阵, 即,但, 所以, 得, 与矛盾, 所以不可逆.定理3.2.3 若和是同阶幂等矩阵, 则为幂等矩阵.证明 , .定理3.2.4 若和是同阶幂等矩阵, 且,则为幂等矩阵.证明 由题意可得 , 即为幂等矩阵.定理3.2.5 若为幂等矩阵, 且, 则不可逆.证明 设,则有. 若可逆, 则, 在的两边同时乘以, 得,即. 矛盾, 故不可逆.定理3.2.6 若是幂等矩阵, 且, 则矩阵方程有非零解.证明 由定理3.2.5可知, 不可逆, 即. 故矩阵方程有非零解.定理3.2.7 若和是同阶幂等矩阵, 则是幂等矩阵.证明 “” 是幂等矩阵, , 将两边分别左乘和右乘得: , 即. (3.2.1) , 即. (3.2.2) 两式相减可得, 从而. “” .3.3幂等矩阵线性组合的可逆性 在本节中, 我们讨论两幂等矩阵线性组合的可逆性.引理3.3.1 设矩阵是阶方阵, 则可逆.定理3.3.1 设矩阵均是幂等矩阵, 即. 若存在两个非零复数, 且使得可逆, 则对所有的复数, 满足, 则线性组合都是可逆的.证明 设. 对 , 有. 于是 . (3.3.1) 将上式两边依次左乘, 可得: . (3.3.2) 由(3.3.1)、(3.3.2)可得 . (3.3.3) 又, . 将代入上式可得 . 由于可逆,将上式两边同时左乘得 . (3.3.4) 再左乘得: . 即. 代入可得 . 注意到(3.3.3)式有, 因此由(3.3.4)式可得.因此. 由引理1知是可逆的.在定理3.3.1中令, 立即可以得到:推论3.3.1设矩阵均是幂等矩阵, 即. 若可逆,则, 满足, 线性组合都是可逆的.定理3.3.2设矩阵均是幂等矩阵, , 下列命题等价: 可逆. 及是可逆的.证明 (1)(2) 对 由定理1的证明过程知. 从而 又 可逆, 所以. 即. 由引理3.3.1知 可逆. 同样地, 对 . 两边同时左乘, 得. 所以 . 又 可逆, 所以. 所以. 由引理3.3.1知可逆.(2)(1) 对, 有 从而有 . 所以 . . 又及是可逆的. 知. 由引理3.3.1知可逆. 定理证毕. 在定理3.3.2中令, 立即可以得到:推论3.3.2设矩阵均是幂等矩阵, 下列两个命题等价: 可逆. 及可逆. 4 幂等矩阵与其他矩阵的关系4.1幂等矩阵与对合矩阵4.1.1对合矩阵定义 若矩阵满足, 则称为对合矩阵.对合矩阵和幂等矩阵是密切相关的, 它们的性质也非常相似, 这里就不在一一举出了, 先举出几个主要性质并进行证明:性质 若是对合矩阵, 则, 反之, 也成立.证明 由是对合矩阵可知, 故 . 由秩的性质可知. 又, . 综上 . 反过来, 即可证明当时, 是对合矩阵.性质 对合矩阵的特征值为1或-1.证明 类似于幂等矩阵, 设为对合矩阵的特征值, 由于满足, 故满足.性质 是对合矩阵, 则一定与对角矩阵相似.证明 当时, 本身已经是对角矩阵. 当时,的特征值为1或-1. 的属于1的特征子空间的维数等于齐次线性方程组的解空间的维数; 的属于-1的特征子空间的维数等于齐次线性方程组的解空间的维数, 由性质得 . 因此可以对角化. 设, 由性质4.1.1得. 因此的相似标准型为.4.1.2 幂等矩阵与对合矩阵的关系命题 设是n阶矩阵, 则以下两个命题等价:（1）若, 则是幂等矩阵;（2）若, 则是对合矩阵.证明 (1)(2) , 可变形为. 由(1)有是幂等矩阵, 而, 即是对合矩阵. 同理可证 (2)(1). 原命题得证.命题 矩阵和都是对合矩阵, 则幂等矩阵.证明 . . 即都是幂等矩阵, 原命题得证.命题 矩阵是幂等矩阵, 则都是对合矩阵.证明 . 即都是对合矩阵, 原命题得证.命题 矩阵是对合矩阵, 则是幂等矩阵.证明 是对合矩阵, . , 即是幂等矩阵.4.2 幂等矩阵与投影矩阵4.2.1 投影矩阵 投影矩阵是研究广义逆矩阵和最小二乘问题的重要方法与手段.定义 设矩阵, 任意矩阵, 若满足:(1) ; (2) ;(3) ; (4) 中的一个或者几个条件, 都称为的广义逆矩阵. 上面四个方程称为Moore-Penrose方程. 向量空间可以分解成子空间与的直和, 即, 则中任意的向量可以唯一的分解成, 其中, 则称为向量沿着到的投影, 而称中满足的变换为沿着到的投影算子或投影变换. 投影算子在的基下的矩阵称为投影矩阵, 记为. 投影矩阵与幂等矩阵是一一对应的.投影矩阵的种类有很多, 在文7中有细致的讨论, 如斜投影矩阵, 正交投影矩阵, 加权正交投影矩阵等, 我们在这里只讨论特殊的正交投影矩阵与幂等矩阵的关系.4.2.2幂等矩阵与正交投影矩阵的关系引理 对任意矩阵有:（1）与广义逆矩阵的选择无关;（2）, .证明 (1) 因为, 故存在矩阵, ,于是右端与选择无关. (2) 记, 可直接证明, 于是. 类似的, 可以证明第二式.定理设为任一矩阵, 记为向的正交投影阵, 则.证明 由以上引理可知, 所含的广义逆的选择无关. 设为一满足的矩阵, 则对任意向量, 有分解式这里为两个适当维数的向量. 依的定义我们有 , 对一切成立. 这说明满足矩阵方程 由()知. 于是. () 代入()得, 即. () 显然, 此矩阵方程是相容的. 再由相容性定理可知()的解为, 代入()即可得, 定理得证.定理 设为两个正交投影阵, 则（1）为正交投影阵;（2）当时, 为向上的正交投影.证明 (1) 充分性显然. 现证必要性: 设是一个正交投影阵, 于是, . () 用分别左乘和右乘(), 有: . () . () ()+()得: . 再由()和()可得 . (2) 我们只需证 对, 于是 从可以推出, 证毕.定理 设为两个正交投影阵, 则（1）为正交投影阵;（2）当时, 为向上的正交投影.定理 设为两个正交投影阵, 则（1）为正交投影阵;（2）当为正交投影阵时, 为向上的正交投影.投影矩阵与幂等矩阵是一一对应的, 这两个定理的证明类似于幂等矩阵的有关性质的证明, 此处略去.结束语本文采用了直接证明的方式证明了幂等矩阵的伴随矩阵是幂等的. 采用数学归纳法证明了若是幂等矩阵, 则的次幂仍是幂等矩阵. 但在本文中只讨论了实数域内的幂等矩阵的等价命题, 还可以推广到复数域; 且仅讨论了2次幂等矩阵, 推广到次会有更多更好的结果.参考文献1 陈文华. 幂等矩阵与对合矩阵的对角化J. 临沧师范高等专科学校学报, 2009.6, 18(2): 82-83. 2 Jin Bai Kim, Hee Sik Kim, Seung Dong Kim. An adjoint matrix of real idempotent matrix J. of Math. Research & Exposition, 1997, 17(3): 335-339.3 张凯院, 徐仲, 陆全. 矩阵论典型题解及自测题M. 西北工业大学出版社, 2003.10: 228-234.4 樊正恩. 幂等矩阵的几个注记J. 高师理科学刊, 2001.1, 31(1): 36-39.5 王松桂, 吴密霞, 贾忠贞. 矩阵不等式M. 科学出版社, 2006.5: 29-31.6 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数(第三版)M. 高等教育出版社, 2003.9: 304.7 陈永林. 广义逆矩阵的理论与方法M. 南京师范大学出版社, 2005: 7-13.8 T. Akasaki, idempotent ideals of integral group ringsJ. Algebra, 1972, 23: 343346.9 山军. 幂等矩阵线性组合可逆性的若干条件J. 钦州学院学报, 2006.12, 21(5): 17-19.10 肖润梅. 幂等矩阵的概念及性质J. 雁北师范学院学报, 2003.10,19(5): 64-68.致谢 经过近两个月的努力，本论文终于在我的指导老师李小燕教授的悉心指导下完成了，在写论文的过程中，从论文的选题，查找资料，拟定提纲，确定论文以来，尽管我遇到了很多的困难，但都在老师和同学的帮助下顺利解决了。从论文选题到搜集资料，从写稿到反复修改，期间经历了喜悦、聒噪、痛苦和彷徨，在写作论文的过程中心情是如此复杂。如今，伴随着这篇毕业论文的最终成稿，复杂的心情烟消云散，自己甚至还有一点成就感，但更多的是怀着一颗感恩的心，谢谢各位老师给我的悉心指导，谢谢各位前辈写出的论文，让我的思路豁然开朗，谢谢各位同学的鼓励，在我迷茫的时候，告诉我放轻松，有一个好的心态才能写出更好的论文，也谢谢跟我一组的唐金栋同学，我们互相鞭策，才得以使论文按时完成。 还要感谢我的家人和朋友，他们的关心和支持是我最大的财富和动力。最后，我要特别感谢李老师。是她在我毕业的最后关头给了我们巨大的帮助与鼓励，使我能够顺利完成毕业论文的撰写，在此表示衷心的感激。老师们认真负责的工作态度，严谨的治学精神和深厚的理论水平都使我收益匪浅。她无论在理论上还是在实践中，都给与我很大的帮助，使我得到不少的提高这对于我以后的工作和学习都有一种巨大的帮助，感谢她耐心的辅导。最后的最后，衷心地感谢在百忙中评阅论文的各位老师、专家、教授！英文原文An Adjoint Matrix of a Real Idempotent MatrixJin Bai Kim(Dept. of Math., West Virginia University Morgantown, WV 26506, USA)Hee Sik Kim(Dept. of Math. Education Chungbuk National University, Chongju 360-763, Korea)Seung Dong Kim(Dept. of Math., Kong-Ju National Teachers University, Kongju 314-701, Korea)Abstract We prove that an adjoint matrix of a real idempotent matrix is idempotent.Key words idempotent matrices.Classification AMS(1991) 15ACCL O151.211. Introduction There are papers on real idempotent matrices (for instance 1 , 3 and 4). The first author of this paper in 5 proved that the second ajoint matrix of a Fuzzy idempotent matrix is idempotent. Our motivation of this paper is initiated from 5 and we prove that an adjoint matrix of a real idempotent matrix is idempotent.2. Lemmas We this section. We need some definitions.Definition1 (i) denotes the set of all real numbers. denotes the set of all n by n real matrices. (ii) Let . denotes the transpose of . (iii) Let. The cofactor of in is times the determinant of the submatrix of order obtained by deleting the th row and the th column from , where denotes the determinant of (see6, p.57). (iv)If is a matrix of order and is the cofactor of in , then the matrixis called the adjoint matrix of (see6,p.58for ). (v) in denotes the matrix obtained from the identity matrix by interchanging row and row .Lemma 1 Let . Then we we (ii) If, then (iii) If, then (iv) If, then We omit the proof of Lemma2.Example 1 We list 18 real 55 idempotent matrices with (the rank of is equal to 3). In this example, denotes a 55 real idempotent matrix with In this matrix, we can add that: (i) If and all other entries ofare zero, then we can of . (ii) Similarly, ifand all other entries ofare zero, then only non-zero entries are. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) 3.Theorem We quote the following 2: If is a real idempotent matrix of order , then is similar to a diagonal matrix, that is where is a non-singular matrix of order . We prove the following theorem.Theorem Let be a real idempotent matrix. Then the adjoint matrix is idempotent.Proof The proof consists of several steps. (i) Suppose the rank of a real idempotent matrix of order is equal to . Then we see that , the identity matrix. We can compute as and we can assume, without loss of generality, thatWe can compute , the adjoint matrix of as follows:We can show that is idempotent. (iii) We referring to Lemma 1 and 2, and Example 1, we claim that if is an idempotent of rank , then one of the following three statements both of them are zero vectors. (iv) We just prove that the claim mentioned in the above (iii) is true (for a case). Suppose thatis an idempotent of rank of and suppose, in addition, that for and . Then we can show that , and . Now if, then (the column) must be the zero vector. In addition, if, then(the column) must also be the vector. This proves the claim for a case (referring to 17, Example1). The rest of all other cases will be proved by a similar way using Lemma 2. Now we see that for an idempotent matrix of order , where 0 denotes the zero matrix. Therefore is idempotent. (v) Letbe an idempotent matrix of rank, where. We again refer to Lemmas 1 and 2, and Example 1, and we easily deduce that whenis an idempotent of rank ().We know that is idempotent. This proves Theorem.References1 J.A.Erdos, On product of idempotent matrices, Glasgow Math. Journal (1967), 118-122.2 F.R.Gantmacher, The theory of matrices, Volume 1, (1959), Example 2, p.226; Chelsea Publishing Company, New York.3 J.H.Hodges, Idempotent matrices, Amer. Math. Monthly, 1966, 277.4 Jin Bai Kim, Idempotent generated Rees matrix semigroups, Kyungpook Mathematical, Journal10:1(1970), 7-14.5 Jin Bai Kim and K.H.Choi, The second adjoint matrix of a Fuzzy idempotent matrix, The Journal of Fuzzy Mathematics,2:2(1994), 341-350.6 C.C.Macduffee, Vectors and matrices, The Mathematical Association of America, 1943.英文译文一个实幂等矩阵的伴随矩阵金佰金(美国西弗吉尼亚大学的摩根数学系,WV26506) 金熙啬(教育韩国忠北大学数学系,清州360-763,韩国)金升东(香港举全国教师的大学数学系,孔距314-701,韩国)摘要: 我们证明一个实幂等矩阵的伴随矩阵是幂等的.关键词: 幂等矩阵.分类: AMS(1991)15ACCL O151.211 引言有实幂等矩阵的文件(例如1, 3和4). 首先在5本文作者证明了一个模糊幂等矩阵的第二联合矩阵是幂等的. 本文的动机是来自5开始, 我们证明了一个实幂等矩阵的伴随矩阵式幂等的.2 引理在本节中, 我们有两个引理.我们需要一些定义.定义1 (i) 表示实数集. 表示所有的实矩阵. (ii) 设. 表示的转置矩阵. (iii) 设. 的代数余子式是乘上在中划去第行和第列后得到的阶行列式, 表示的行列式. (见6, 第57页). (iv) 如果是一个阶矩阵且是中的代数余子式, 那么矩阵就叫做的伴随矩阵(见6,第58页 ). (v) 在中表示从单位矩阵中互换行和行后所得到的矩阵.引理1 设.然后我们得到. 我们省略引理1的证明.引理2 我们假设. 设是一个被如下定义的阶实矩阵： 假设是幂等矩阵, 我们有以下结论： (i) 如果, 则 (ii) 如果, 则 (iii) 如果, 则 (iv) 如果, 则. 我们省略引理2的证明.例1 我们列出了18个实55的且(的秩为3)的幂等矩阵. 在这个例子中, 表示一个55实幂等矩阵且, 在这个矩阵中, 我们可以加上一句： (i)如果且的其他元素均为0, 那么我们可以得出, 且的其他元素都是0, 其中和分别表示的第行和第列. (ii)同样的, 如果, 且的其他元素均为0, 那么非零元素只有. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) 3 定理 我们引述如下2： 如果是一个阶实矩阵, 则相似于一个对角矩阵, 也就是说, 是一个阶非奇异矩阵. 我们证明如下定理.定理 设是一个实幂等矩阵, 则它的伴随矩阵也是幂等的.证明 证明可分为几个步骤. (i)假设阶实幂等矩阵的秩, 我们可以看到(单位矩阵). 我们可以计算出的伴随矩阵也是, 所以是幂等的. (ii)假设, 然后, 不失一般性, 我们可以假定我们可以计算出,的伴随矩阵如下：显然是幂等的.(iii)我们参照引理1、引理2和例1, 我们主张, 如果是秩为幂等矩阵, 则以下三个语句之一成立: (1) 有两行是0向量. (2) 有两列是0向量. (3) 有一行和一列是0向量. (iv) 我们只证明上述(iii)在主张下为真(一种情况). 假设是一个秩为的幂等矩阵, 此外, 我们假设且 我们可以看出, . 现在, 如果, 则(第列)必须是0向量. 接下来, 如果, 则(第列)必须是0向量. 这证明了一个要求的情况下(指例1(17). 剩下的其他的情况可以用类似于运用引理2的方法证明. 我们看到矩阵是阶幂等矩阵, 0表示0矩阵. 因此是幂等的. (v) 设是一个秩为的幂等矩阵, . 我们再次参照引理1、2和例1, 我们很容易推断出当是一个秩为的幂等矩阵(), 我们知道是幂等的. 定理证毕.参考文献1 J.A.Erdos, 产品幂等矩阵J, 格拉斯哥数学期刊(1967), 118-122.2 F.R.Gantmacher, 矩阵理论M, 纽约切尔西出版公司, 1959, 例2, 226.3 J.H.Hodges, 幂等矩阵J, 美国数学月刊, 1966, 277.4 Jin Bai Kim, 幂等生成的Rees矩阵半群J, 庆北数学刊物10:1(1970), 7-14.5 Jin Bai Kim,K.H.Choi, 第二模糊幂等矩阵J, 伴随矩阵模糊数学学报, 2:2(1994), 341-350.6 C.C.Macduffee, 向量和矩阵M, 美国数学协会, 1943.以下免费送您一百个优秀毕业论文题目，供参考。1.企业集团激励与绩效评价问题研究2.XXX地区中小企业财务管理现状问题研究3.XXX地区上市公司盈利质量实证研究4.XXX地区企业集团整合过程中的财务问题研究5.XXX地区中小企业的信用担保体系问题研究6.XXX地区上市公司财务预警问题研究7.企业并购前后财务状况变化问题研究8.以平衡计分卡为核心的绩效评价体系研究9.EVA在企业绩效评价中的作用研究10.关于我区中小企业引入风险投资问题研究11.我国上市公司经营目标的实证分析12.对内含报酬率法的再思考13.利用平衡计分卡落实战略的案例分析14.基于EVA的企业业绩评价指标体系的构建与实施研究15.基于不同发展周期的企业财务战略选择研究16.集团公司全面预算目标的制定与分解17.现金流量折现法在评估公司战略中的应用分析18.财务指标与非财务指标在评估管理者业绩中的应用拟合19.我国企业财务管理目标的现实选择20.财务管理目标与企业财务核心能力问题研究21.企业财务管理中运用税收筹划的探讨22.建立以财务管理为核心的资源配置制度23.财务预警系统在财务管理中应用评价24.基于Excel的财务预警模型研究25.中西部地区中小企业财务战略选择问题研究26.中小企业纳税筹划问题研究27.企业投资过程中的纳税筹划问题研究28.企业集团纳税筹划问题研究29.企业纳税筹划中的风险规避问题研究30.从公司治理结构透视财务管理目标31.作业成本管理模式及其应用研究32.论管理层并购在我国的运用33.企业并购中的财务风险与防范34.跨国公司财务管理策略及其在我国的实践35.关于上市公司并购的财务分析36.跨国公司财务管理体制的比较与选择37.跨国公司财务管理策略及其在中国的实践38.全球化与财务管理发展趋势及其模式选择39.财务治理与财务管理之异同40.EVA对传统财务管理的冲击41.企业财务管理机制重塑问题探讨42.财务管理发展的文化分析43.利益相关者合作模式下的财务管理目标选择44.行为财务管理探索以价值管理为中心45.上市公司股利政策实证研究46.公司治理结构与财务管理目标问题研究47.产权理论分析与财务管理目标的现实选择48.金融工具创新与企业财务管理49.对价值链财务管理目标的探讨50.IT信息产业企业的财务管理51.期权在财务管理中的运用52.论创业投资在我国所面临的财务问题53.风险投资退出机制问题研究54.企业可持续发展与财务管理问题研究55.企业集团资金链构造问题研究56.内蒙古地区上市公司融资效率实证研究57.预算管理在ERP系统中的运用问题研究58.发展中小企业信贷融资的思考59.中小企业在不同发展阶段战略选择问题研究60.连锁经营企业财务管理创新61.对我国中小企业风险投资的探讨62.中西部地区中小企业融资策略研究63.融资租赁在中小企业中的运用问题研究64.对我国中小企业信用管理的研究65.对我国中小企业创业版上市公司成长性分析的探讨66.对连锁经营企业资金运行管理的思考67.推行全面预算管理建立新型财务管理体系68.机会成本及其在企业财务管理中的应用69.建立以预算管理为中心的财务管理模式70.论边际成本在企业理财中的运用71.企业融资障碍及对策研究72.高新技术企业财务管理若干问题的思考73.企业的扩张与财务管理74.行为财务管理新论75.论破产企业财务管理存在的问题及对策76.企业核心能力与财务管理能力研究77.我区企业利用外资融资效率分析78.我区中小企业创新模式研究基于财务视角79.企业集团成本管理的创新问题研究80.集团公司财务管理模式的探讨81.非营利组织财务管理面临的问题及对策研究82.企业激励与绩效评价问题研究83.我区企业集团财务战略选择问题研究84.非营利组织财务管理创新问题研究85.企业集团资本运营问题研究86.论表内融资与表外融资的关系87.EVA现代企业的最佳绩效评价指标88.对杜邦分析法的再思考89.EVA与传统业绩评价方法结合问题研究90.财务分析指标体系创新问题研究91.非财务分析法与财务分析法结合有效性研究92.非财务指标在业绩评价体系中运用的有效性问题研究93.关于经营者业绩评价的思考94.企业融资效率实证研究95.信息时代财务控制趋势分析96.期权在企业投资决策中的应用97.企业集团融资中的风险规避问题研究98.我区企业的融资创新问题研究99.现代资本预算技术在企业理财中的运用100.国有资本减持的财务风险研究现在，我把自己多年来撰写毕业论文经验，总结如下，一并赠送给您，希望能帮到您：毕业论文注意事项前言毕业论文（学士学位论文）是本科生毕业设计成果的“固化”与“浓缩”，其规范性历来为指导教师和论文审阅人所重视，几乎系评语中不可或缺之内容。毕业论文的规范性由此可见一斑。各届学生毕业论文中出现的问题比比皆是，笔者将其加以整理，匆匆成文，姑且称之为“毕业论文注意事项”。须指出，本文全部内容乃笔者之见，难免以偏概全、挂一漏万，更无权威性可言，故不敢称之为“毕业论文写作规范”。文中不当之处在所难免，欢迎同仁批评指正，共同商榷，以飨毕业班之学生。或许一些人认为，给一篇毕业论文做“样板”，诸多问题都将迎刃而解；网站上提供论文模版供学生下载更为上策。但笔者必须指出，许多应注意的细微之处，远不是给一篇范文或给一个模版就能做到的，此乃撰本文之初衷。第一章 关于插图11 图号插图要有图号，格式为“图m-n”。其中m为该插图所在的章号，n为本章中该插图的顺序号，m与n均为阿拉伯数字。每一章的插图独立编号。例如第3章的第4个插图标记为“图3-4”。12 图名（图注）图名应确切反映该图的含义，一般为名词性短语，力图简明扼要。图名放于图号后，与图号隔两个全角空格。为便于叙述，不妨将图号与图名并称为“图题”。13 插图的形式插图一般有四种形式，即手绘图、屏幕抓图、扫描图、文件插图。来自电子版参考文献的插图，多数是模糊不清的，故建议用手绘图取而代之。131 手绘图手绘图系指在Word中直接用绘图命令绘制的图。该类插图所占磁盘空间最少，系使用最多的一种插图形式，数据流图、结构图、程序框图一般用此法绘制。绘图所用图例应注意规范。程序框图的选择框要注意标“是否”或“YN”，起始框、终结框注意用圆角矩形（建议使用专门用于画框图的软件Visio画框图）；数据流图的数据线需标数据名称，数据加工与数据存储之间的箭头无数据名称。其他图形的图例参考有关文献。手绘图时必须一丝不苟，搭结欠量、过量均不合格；图中的文字放入文本框中，框内文字注意横纵居中；线框交界处注意匀称；框内文字的笔划宜完整，不得被线框遮盖；文字、线条不得交叉；图中文字尽可能使用统一的字体、字形、字号，其中字号原则上不大于正文字号（以小半号为宜）。微调线条位置、长短时，可将Alt键和箭头键配合使用。观察线条是否存在搭接问题时，可选用500%的显示比例，否则难以看出搭接问题。线条、文字等元素输入完毕后，应选中与所绘之图有关的所有线条、文本框，按鼠标右键，选“组合”，将各元素组合在一起。否则，很有可能排版后“东一只胳膊、西一条腿”，甚至“丢胳膊少腿”。132 屏幕抓图此类图系指使用PrtScreen或Alt+PrtScreen键通过剪贴板获得的图像。采用屏幕抓图制作插图时，应“量身定做”，抓图后不要缩放，以免模糊。133 扫描图如使用扫描图片，分辨率要求为300线，颜色模式为灰度，嵌入文中后不要缩放。134 文件插图文件插图系指使用“插入|图片|来自文件”命令插入的图像。采用文件插图时，尽量不要使用JPG等类型的压缩图片，以免影响打印效果。14 插图的位置尽量将插图与正文中的相关文字说明置于同一页。放入前一页或后一页，乃不得已而为之（例如图太大等）。插图一般居中放置；图题位于插图的下方，用宋体5号字，居中放置；图题与插图放于同一页中，即两者不得跨页。换言之，图题不能位于某一页的页首。一张图一般不得跨页（大的程序框图例外，但需按正规要求标清楚）。15 插图的排版插图很小时，建议使用环绕排版（四周排版），插图前、图题后均应留适当空间，切勿与正文“紧密相连”。第二章 关于表格论文中的表格一般使用Word的表格功能直接制作，使用Excel制作亦可。21 表号表格要有表号，格式为“表m-n”。其中m为该表格所在的章号，n为该章中该表格的顺序号，即每一章的表格独立编号。例如第3章的第4个表格标记为“表3-4”。22 表名表名应确切反映该表的含义，一般为名词性短语，力图简明扼要。表名放于表号后，与表号隔两个全角空格。为便于叙述，不妨将表号与表名并称为“表题”。23 表格尽量将表格与正文中的相关文字说明置于同一页，放入前一页或后一页乃不得已而为之（例如表格太大等）。表格一般居中放置；表题位于表格的上方，用宋体5号字；居中放置；表题与表格放于同一页中，即两者不得跨页。换言之，表题不能位于某一页的页尾。表格本身可以跨页，但次页的表应加一个表头（注意，不是标题，是表头，即表格的首行），或在次页首部加注“（续表）”。24 表格内文字的排版表格内文字应比正文小半号，一般居中放置，但文字量较大且长短不一时，以左对齐为宜。表格设计应美观、大方，表格风格尽量一致，推荐使用三线式表格。表格前、后均应留适当空间，切勿与正文“紧密相连”。第三章 关于摘要51 格式中英文摘要各占一页，首行写“摘要”“ABSTRACT” （“摘要”之间空两格，采用三号字、黑体、居中，与内容空一行）；第三行开始写摘要内容，首行空两格（内容采用小四号宋体）。最后单独列一行，写中英文关键词。关键词一般提供3-5个即可，写于1-2行上，以分号分隔。中文关键词前冠以“关键词：”，靠左；英文关键词前冠以“Key word