概率论与数理统计4183自考必备复习资料.ppt

事件间的关系包含关系 事件A发生必然导致B发生 记为相等关系 记为A B 积事件 事件A与B同时发生 记为AB 和事件 事件A或B至少有一个发生 记为差事件 事件A发生而B不发生 记为A B 互斥事件 事件A B不能同时发生 即 又称A B为互不相容事件 逆事件 A不发生 这一事件称为A的逆事件 记为 A与又称为对立事件 事件间的关系与事件的运算 事件的运算律交换律 结合律 分配律 对偶律 DeMorgan德摩根律 减法 概率的公理化定义 设E是随机试验 S是样本空间 对E的每个随机事件A 赋予一个实数P A 若它满足 非负性 规范性 S为样本空间 必然事件 可列可加性 若事件中则则称P A 为事件A的发生概率 概率的性质 有限可加性 有限个两两互斥的事件则是A的对立事件 则则一 当A B互斥即时推广 定义 事件A已发生的条件下事件B发生的概率 称为条件概率 记为P B A 例将一枚硬币抛掷两次 观察其出现正面的情况 设A 至少有一次为正面H B 两次掷出同一面 求P B A 解 样本空间S HH HT TH TT A HH HT TH B HH TT 则可得 P B A 1 3条件概率的计算公式 条件概率 乘法定理 设P A 0 则有P AB P B A P A 推广 P AB 0 则有P ABC P C AB P AB P C AB P B A P A 设为n个事件 且 全概率公式 划分 设S为试验E的样本空间 为E的一组事件 若则称为样本空间S的一个划分 例E 掷骰子观察点数是S的一个划分不是S的一个划分 全概率公式 定理 设随机试验E的样本空间为S A为E的事件 为S的一个划分 且则 称之为全概率公式 注 全概率公式给出我们一个用来计算在众多原因的作用下事件A发生概率的方法 由因得果 贝叶斯公式 由果溯因 设E的样本空间为S A为E的事件 为S的一个划分 且 则为贝叶斯 Bayes 公式 称为先验概率 称为后验概率 独立性 独立事件 两事件A B A发生对B发生没有影响 B发生也对A没有影响 则称两事件相互独立 则P AB P A P B A P A P B 独立与互斥的区别 A B相互独立 P AB P A P B A B互斥 P AB 0 分布律 称为离散型随机变量X的分布律 分布律可用列表的方式直观的表示出来 X 分布律 概率分布 1 两点分布 又称为 0 1 分布 0 1 分布的分布律为也可以写为 三种重要的离散型随机变量 2 二项分布 随机试验E只有两个可能结果 A和 则称E为伯努利试验 设P A p 0 p 1 则将伯努利试验独立地重复进行n次 称为n重伯努利试验 X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数 X所有可能取值k 0 1 2 n 求P X k P X k 记q 1 p 随机变量X服从参数为n p的二项分布 记为当n 1时 即为 0 1 分布 若随机变量X的概率分布律为称X服从参数为 的泊松分布 记 3 泊松分布 Poisson分布 Poisson定理设是一个常数 n是任意正整数 设 则对于任一固定的非负整数k 有 当时近似公式近似效果更佳 定义 设X为一个随机变量 x是任意实数 函数称为随机变量X的概率分布函数 简称分布函数 由分布函数的定义 有 分布函数 注 分布函数F x 在x处的函数值表示x落在区间上的概率 1 2 F x 是一个不减函数 3 对于离散型随机变量 若分布律为则其分布函数 分布函数 定义 对于随机变量X的分布函数若存在非负的函数使对于任意实数有 其中称为X的概率密度函数 简称概率密度 则称X为连续型随机变量 概率密度 1 均匀分布 定义 设连续型随机变量X具有概率密度函数则称X在区间 a b 上服从均匀分布 记为注 X落在 a b 上任一子区间内的概率只依赖于子区间的长度 而与位置无关 三种重要的连续型随机变量 均匀分布的分布函数 定义 连续型随机变量X的概率密度为称X服从参数为的指数分布 记为指数分布的分布函数 2 指数分布 定义 设连续型随机变量X的概率密度为其中为常数 则称X服从参数为的正态分布 也称为Gauss分布 记为 三种重要的连续型随机变量 3 正态分布 f x 图形的性质 关于对称结论 当时 取得最大值固定 改变 f x 的图形不变 沿x轴平移固定 改变 由最大值知 越小 图形越尖 X落在附近的概率越大 时 即曲线以X轴为渐近线 分布函数F x 标准正态分布时 称X服从标准正态分布 概率密度函数分布函数结论 的函数值见第382页标准正态分布表例 求 正态分布转变为标准正态分布引理若 则结论 则它的分布函数 可写成 正态分布的问题都可以通过线性变换转化为标准正态分布 然后查书中第382页标准正态分布表得解例 求 随机变量的函数的分布 离散型离散型随机变量的函数分布律的求法 找出Y g X 的所有可能取值找出每个值对应的X取值 将对应概率相加例设随机变量X具有分布律求的分布律 问题提出 已知随机变量X的概率分布 且已知Y g X 求Y的概率分布 关键是找出Y的等价事件 连续型连续型随机变量的函数分布的求法 求Y g X 的取值范围分段讨论在取值范围外的y 在取值范围内的y 1 期望的定义 定理 性质及求解2 方差的定义 性质及求解3 六个重要分布的数学期望和方差4 切比雪夫不等式 第四章随机变量的数字特征 定义 定义 数学期望简称期望 又称均值 数学期望的定义 定理 E X 的性质 定义 方差 对于离散型随机变量X 对于连续型随机变量X 此外 利用数学期望的性质 可得方差得计算公式 方差的性质 6种常见分布的期望与方差 数学期望方差 分布律或密度函数 分布 正态分布 指数分布 均匀分布U a b 泊松分布 np 1 p np 二项分布B n p p 1 p p 0 1分布 定理 切比雪夫不等式 设X是随机变量 若D X 存在 则对任何 0 有 切比雪夫不等式的等价形式 注 1 切比雪夫不等式可用来估计不是服从正态分布的随机变量落在E X 附近的概率 2 切比雪夫不等式的主要作用是进行概率论的理论研究 1 样本的定义 独立同分布 2 统计量的定义和判别3 统计学三大分布的定义和图形轮廓4 三大分布的分位点定义 第六章样本及抽样分布 样本 总体 试验中全部可能的观察值 研究对象的全体 如一批灯泡 一个总体对应于一个随机变量X 个体 每个可能观察值称为个体 组成总体的每个元素 如某个灯泡 抽样 从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程 随机样本 随机抽取的n个个体的集合 X1 X2 Xn n为样本容量 简单随机样本 满足以下两个条件的随机样本 X1 X2 Xn 1 每个Xi与X同分布2 X1 X2 Xn是相互独立的随机变量 说明 后面提到的样本均指简单随机样本 统计量 设是总体X的样本 则函数如果不包含任何未知参数则称为样本的一个统计量 统计量 简言之 样本的不含任何未知参数的函数 常用的统计量 样本平均值 样本方差 样本均方差 样本k阶 原点 矩 样本k阶中心矩 统计学三大分布 例如 1 矩估计法 三步法 2 最大似然估计法 三步法 3 估计量三大评选标准的定义及证明 无偏性 有效性 相合性 4 单个正态总体均值和方差的区间估计 第七章参数估计 矩估计法 最大似然估计的求法 写出似然函数求 使得为的最大值 求法如下 求使得方程又在同一处取得极值 因此 的最大似然估计值可从方程中求得称为似然方程 1 单参数 2 双参数 似然函数似然方程 最大似然估计法 估计量的评选标准 对总体的未知参数可用不同方法求得不同的估计量 如何评价好坏 通常用三条标准检验 无偏性 有效性 相合性无偏性 有效性 相合性 正态总体均值与方差的区间估计 ThankYou 1 假设检验的定义2 假设检验的三步法3 单个正态总体均值和方差的假设检验统计量和拒绝域 第八章假设检验 问题 设X 已知 未知 给定 问 假设 称为原假设 零假设 称为备择假设 对立假设 通过某种方式确定常数k 若 则接受 若 则拒绝 接受 犯两类错误的概率 若为真而被拒绝 我们称为犯第一类错误 又称犯 弃真 错误 其概率记为 一般 0 1 若为假而被接受 我们称为犯第二类错误 又称犯 取伪 错误