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文档简介

带约束的二次规划 刘鹏 1 线性规划与非线性规划 线性规划 LinearProgramming 在一组线性约束定义的区域上 对一个线性函数进行极小化 或者极大化 的问题 其数学模型可以表示为满足约束条件的点称可行点 可行点集合构成可行域 2 线性规划与非线性规划 非线性规划 NonlinearProgramming 非线性规划的数学模型可以表示为在目标函数或者约束函数中至少有一个函数是非线性的当非线性规划问题的可行域为整个实数域时 称为无约束优化问题 否则称为约束优化问题 3 凸集 凸函数与凸优化 凸集 如果某个集合中任意两点连起来的直线都属于该集合 则称其为凸集 否则为非凸集非凸集凸集 4 凸集 凸函数与凸优化 凸集的数学定义 是凸集当且仅当成立 5 凸集 凸函数与凸优化 线性约束的可行集是凸集证明 6 凸集 凸函数与凸优化 凸函数凸规划目标函数为凸函数 可行集为凸集的规划问题 7 Karush Kuhn Tucker条件 对于非线性规划问题引入Lagrange函数 其关于x的梯度为 8 Karush Kuhn Tucker条件 KKT条件可以表述为这三行分别表示可行性条件 目标函数梯度的线性表示条件以及互补松弛条件对于线性不等式约束的非线性规划问题 KKT条件是局部极小值点的必要条件对于凸规划问题 KKT条件是全局最优解的充要条件 9 二次规划 二次规划是非线性规划的一种特殊形式 其数学模型为 约束条件为线性约束 故其可行集为凸集目标函数为非线性函数 当Hesse矩阵Q是非负定矩阵时 目标函数为凸函数 此时优化问题为凸二次规划问题 10 二次规划 二次规划的KKT条件为 凸二次规划的KKT解就是全局最优解非凸二次规划的KKT解为局部极小值点求解凸优化问题转化成求解KKT解的问题 11 二次规划 简单的KKT条件可以直接求解 复杂的可以采用投影梯度法求解MATLAB程序线性规划 12 二次规划 MATLAB程序二次线性规划 13 二次规划 输出可调整为为自变量为目标函数值迭代收敛到超出设定的迭代次数优化问题无界或者不可行优化算法类型算法的迭代次数不等式约束的乘子 等式约束的乘子 变量下界和上界 14 案例分析 假设有四种投资1 2 3 4 第i种投资的收益率的预期收益均值为 方差表示投资的风险大小 即收益率关于均值的偏离程度令为第i个项目的投资额占总投资的比例 向量表示一个投资组合 则其对应的收益率为记第i和j种项目投资收益率的相关系数投资组合收益率R的方差为 15 案例分析 令收益率的协方差矩阵为 则上式可记为令预期收益满足在满足收益率条件下最小化风险模型 16 案例分析 预期收益不小于8 5 17 案例分析 各项投资比例为 0 5418 0 2510 0 0503 0 1569风险最小值0 6137 2 1 2274 18 结语 规划问题属于运筹学 OperationsResearch 范畴 其计算使用LIN
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