线性代数第五版第四章常见试题及解答.doc

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1设1，2是非齐次方程组Ax=b的解，是对应的齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b必有一个解是（）A1+2B1-2C+1+2D+答案：D2设A为mn矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是（）AA的列向量组线性相关BA的列向量组线性无关CA的行向量组线性相关DA的行向量组线性无关答案：A3设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为=（1，0，2）T，=（1，-1，3）T，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k, k1, k2, 方程组的通解可表为（）Ak1(1,0,2)T+k2(1,-1,3)TB(1,0,2)T+k (1,-1,3)T C(1,0,2)T+k (0,1,-1)T D(1,0,2)T+k (2,-1,5)T答案：C4设A为mn矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（）AA的列向量组线性无关BA的列向量组线性相关CA的行向量组线性无关DA的行向量组线性相关答案：A5.如果方程组有非零解,则k=（）A.-2B.-1C.1D.2答案：B6.设A为m矩阵，方程AX=0仅有零解的充分必要条件是（）A.A的行向量组线性无关B.A的行向量组线性相关C.A的列向量组线性无关D.A的列向量组线性相关答案；C7已知1，2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，1，2是其导出组Ax=0的一个基础解系，C1，C2为任意常数，则方程组Ax=b的通解可以表为（）ABCD答案：A8.设3元线性方程组Ax=b,A的秩为2，为方程组的解，+=（2，0，4）T，+=（1，-2，1）T，则对任意常数k，方程组Ax=b的通解为（）A(1,0,2)T+k(1,-2,1)TB(1,-2,1)T+k(2,0,4)T C(2,0,4)T+k(1,-2,1)T D(1,0,2)T+k(1,2,3)T答案：D9.设，是Ax=b的解，是对应齐次方程Ax=0的解，则（）A. +是Ax=0的解B. +（-）是Ax=0的解C. +是Ax=b的解D. -是Ax=b的解答案：B10设是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ ）ABCD答案：B11.设A为mn矩阵，则n元齐次线性方程Ax=0存在非零解的充要条件是（ ）A.A的行向量组线性相关B.A的列向量组线性相关C.A的行向量组线性无关D.A的列向量组线性无关答案：B12设为矩阵，则元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（）ABCD答案：C13已知是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为（）A（5，-3，-1）BCD答案：A14设mn矩阵A的秩r(A)=n-3(n3)，是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为（）A，+B，-C-，-，-D，+，+答案：D15设A为5阶方阵，若秩（A）=3，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中包含的解向量的个数是（）A2B3C4D5答案：A16设mn矩阵A的秩为n-1，且1，2是齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解，则Ax=0的通解为（）Ak1，kRBk2，kRCk1+2，kRDk(1-2),kR答案：D17对非齐次线性方程组Amnx=b，设秩（A）=r，则（）Ar=m时，方程组Ax=b有解Br=n时，方程组Ax=b有唯一解Cm=n时，方程组Ax=b有唯一解Drn时，方程组Ax=b有无穷多解答案：A18.设A是46矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4答案：D19.设A是mn矩阵，已知Ax=0只有零解，则以下结论正确的是（ ）A.mnB.Ax=b（其中b是m维实向量）必有唯一解C.r（A）=mD.Ax=0存在基础解系答案：A20.设A为mn矩阵，mn,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（ ）A.小于mB.等于mC.小于nD.等于n 答案：D5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=( )A.2B.3C.4D.5二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。21设非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵为，则该方程组的通解为_.答案：22若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为_.答案：023设A是43矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r(A)=_.答案：324已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为_.答案：025已知方程组存在非零解，则常数t=_.答案：-226已知3元齐次线性方程组有非零解，则a=_.答案：227.设A为3矩阵,且方程组Ax=0的基础解系含有两个解向量,则秩(A)= _.答案：128.设矩阵A=，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=_.答案：229.设A为45的矩阵，且秩（A）=2，则齐次方程Ax=0的基础解系所含向量的个数是_.答案：330.方程x1+x2-x3=1的通解是_.答案：31.已知x1=(1,0,-1)T, x2=(3,4,5)T是3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解向量，则对应齐次线性方程组Ax=0有一个非零解向量=_.答案：32.设齐次线性方程Ax=0有解，而非齐次线性方程且Ax=b有解,则是方程组_的解。答案：Ax=b33.方程组的基础解系为_。答案：34已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为，若该方程组无解，则 的取值为_.答案：-135设A=为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组的解为_.答案：36.设1，2是非齐次线性方程组Ax=b的解.则A（52-41）=_.答案：b37.设A是mn实矩阵，若r（ATA）=5，则r（A）=_.答案：538.设线性方程组有无穷多个解，则a=_.答案：-239.设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=_.答案：040.齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为_. 答案：113.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_.17.若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=_.19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解1=，2=且r(A)=2，则Ax=b的通解是_.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）41设有非齐次线性方程组问a为何值时方程组无解？有无穷解？并在有解时求其通解.解：时无解，时有无穷解，通解为42求齐次线性方程组 的基础解系及通解.解：基础解系为通解为43求线性方程组的通解.解：通解为44给定线性方程组 （1）问a为何值时，方程组有无穷多个解；（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.解：（1），方程组有无穷多个解.（2）基础解系为，特解为通解为，45.求非齐次方程组的通解.解：通解为，46.设1，2，3 是齐次方程组A x =0的基础解系.证明1，1+2， 1 +2 +3也是Ax =0的基础解系证明：设，即，由于1，2，3线性无关，故有 解之得， 故1，1+2， 1 +2 +3也线性无关且1，1+2， 1 +2 +3仍然是A x =0的解故1，1+2， 1 +2 +3也是Ax =0的基础解系47.已知线性方程组（1）求当a为何值时，方程组无解、有解.（2）当方程组有解时，求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.解：（1）时，方程组有解时，方程组无解（2）方程组有解时，通解为为任意常数。48当a, b为何值时，方程组 有无穷多解？并求出其通解.解：时，方程组有无穷多组解通解为为任意常数.49设为Ax=0的非零解，为Ax=b(b0)的解，证明与线性无关.证明：设存在数使得（1）即代入（1）式，得从而，于是与线性无关.50已知线性方程组，（1）讨论为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解.（2）在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.解：（1）方程组无解方程组有唯一解，方程组有无穷多解（2）方程组的通解为，51设为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，1，2，r是其导出组Ax=0的一个基础解系.证明，1，2，r线性无关.证明：设存在数使得（1）即代入（1）式，得因为1，2，r线性无关从而，于是，1，2，r线性无关.52求齐次线性方程组的一个基础解系.解：基础解系为53.设3元齐次线性方程组，（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.解：（1）时方程组有非零解（2）基础解系为，通解为为任意常数.基础解系为，通解为为任意常数.54.求 有非零解？并在有非零解时求出方程组的通解。解：，方程组有非零解.通解为为任意常数通解为为任意常数55已知线性方程组(1)讨论常数满足什么条件时，方程组有