2019_2020学年高中数学课时分层作业13抛物线的简单几何性质（含解析）新人教A版.docx

课时分层作业(十三)抛物线的简单几何性质(建议用时：60分钟)基础达标练一、选择题1方程y2所表示曲线的形状是()D方程y2等价于故选D.2过抛物线C：y212x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x26，则|AB|()A16B12C10D8B由题意知p6，故|AB|x1x2p12.3过点(2，4)的直线与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线有()A1条 B2条 C3条 D4条B点(2，4)在抛物线y28x上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点，故选B.4已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ()Ax1 Bx1Cx2 Dx2B易知抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为yx，即xy，代入y22px得y22p2pyp2，即y22pyp20，由根与系数的关系得p2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线的方程为y24x，准线方程为x1.5设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|()A4 B8 C8 D16B设P(x0，y0)，则A(2，y0)，又F(2，0)，所以，即y04.由y8x0得8x048，所以x06.从而|PF|628.二、填空题6直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k_0或1当k0时，直线与抛物线有唯一交点，当k0时，联立方程消去y得k2x24(k2)x40，由题意16(k2)216k20，k1.7设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC120，则圆的方程为_(x1)2(y)21由y24x可得点F的坐标为(1，0)，准线l的方程为x1.由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为1，圆的半径为1，CAO90.又因为FAC120，所以OAF30，所以|OA|，所以点C的纵坐标为.所以圆的方程为(x1)2(y)21.8抛物线y24x上的点到直线xy40的最小距离为_设与直线xy40平行且与抛物线y24x相切的直线方程为xym0.由得x2(2m4)xm20，则(2m4)24m20，解得m1，即直线方程为xy10，直线xy40与直线xy10的距离为d.即抛物线y24x上的点到直线xy40的最小距离为.三、解答题9已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C与直线ykx2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，求k的值解(1)由题意设抛物线方程为y22px，其准线方程为x，因为P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离，所以46，所以p4，所以抛物线C的方程为y28x.(2)由消去y，得k2x2(4k8)x40.因为直线ykx2与抛物线相交于不同的两点A，B，则有k0，64(k1)0，解得k1且k0.又2，解得k2或k1(舍去)，所以k的值为2.10已知AB是抛物线y22px(p0)的过焦点F的一条弦设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)求证：(1)若AB的倾斜角为，则|AB|；(2)x1x2，y1y2p2；(3)为定值.证明(1)设直线AB的方程为xmy，代入y22px，可得y22pmyp20，y1y2p2，y1y22pm，yy2p(x1x2)(y1y2)22y1y24p2m22p2，x1x22pm2p，90时，m0，x1x2p，|AB|x1x2p2p；90时，m，x1x2p，|AB|x1x2p2p.|AB|.(2)由(1)知，y1y2p2，x1x2；(3).能力提升练1已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，过F作倾斜角为30的直线与抛物线交于A，B两点，若(0，1)，则()A. B. C. D.C因为抛物线的焦点为F，故过点F且倾斜角为30的直线的方程为yx，与抛物线方程联立得x2pxp20，解方程得xAp，xBp，所以，故选C.2过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MNl，则M到直线NF的距离为()A. B2 C2 D3C抛物线y24x的焦点为F(1，0)，准线方程为x1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y(x1)联立方程组解得或点M在x轴的上方，M(3，2)MNl，N(1，2)|NF|4，|MF|MN|4.MNF是边长为4的等边三角形点M到直线NF的距离为2.故选C.3已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P在抛物线y24x上运动，则取得最小值时的点P的坐标是_(0，0)设P(x0，y0)，则(x02，y0)，(x04，y0)，所以(x02)(x04)y，又y4x0，所以x10x08(x05)217，因为x00，所以当x00时，取得最小值此时点P的坐标为(0，0)4已知抛物线y24x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yy的最小值是_32y4x1，y4x2，则yy4(x1x2)，若过点P(4，0)的直线垂直于x轴，则直线方程为x4，此时x1x28，yy32，若过点P(4，0)的直线存在斜率，则设直线方程为yk(x4)，由得k2x2(8k24)x16k20，则x1x288，此时yy32，因此yy的最小值为32.5已知点A，B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB.(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点解(1)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有kOA，kOB.因为OAOB，所以kOAkOB1，所以x1x2y1y20.因为y2px1，y2px2，所以y1y20.因为y10，y20，所以y1y24p2，所以x1x24p