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衍生品定价 南开大学数学科学学院白晓棠 Contents 2 衍生品定价的方法 前面我们讨论了期权价格的上下限以及看涨看跌期权的平价公式 欧式 一份期权的公平的确切的价格应该为多少呢 例 看涨期权的公平价格 有一只股票现价为 100 在一年以后 股价可以是 90或 120 概率并未给定 即期利率是5 一年后到期的执行价格为 105的股票期权的公平价格是多少 下面我们将用两种方法来回答这个问题 这两个方法是 博弈论方法 资产组合定价法 3 博弈论方法 在下面的三种方法中我们都假设股票在到期日的价格只能是两种特定价格中的一个 将现在视为0时刻 到期日视为1时刻 本例中假设1时刻股价为 120或 90 V 期权的价格 S 股票的价格 构造资产组合 a股股票的期权和b股股票则 0 aV bS上升状态 1 120 105 a 120b下降状态 1 a 0 90b 4 博弈论方法 选择a和b 使得并不取决于股票涨跌结果 这样 我们就有 120 105 a 120b a 0 90b从上式可得15a 30b 我们可以作出a 2 b 1的投资选择 此时有 0 2V 1 100 1 2 15 1 120 90由于1 05 0 1 故100 2V 90 1 05 即V 7 14 5 博弈论方法 假设交易商愿意以 7 25的价格出售 或购买 期权 博弈论定价方法告诉我们期权价格被高估了 我们的策略 买入1股股票 卖出2股期权该头寸的成本为100 7 25 2 85 5我们借入 85 5进行投资 一年后冲销该头寸得 90 故我们得到利润为 90 85 5 1 05 90 89 775 0 225Q 交易商以 7的价格出售 或购买 期权 交易策略 6 博弈论方法 假设在时刻t股票处于上涨的状态时价格为Su 那么衍生品价格为U 股票处于下跌的状态时价格为Sd 那么衍生品价格为D SuUS0V0SdD我们通过买1股股票衍生品和卖出a股股票构造资产组合 故资产组合的初始价值是 0 V0 aS 7 博弈论方法 选择a的值使得资产组合的价值与股票的最终状态无关 于是上升时 u U aSu下降时 d D aSd令 u d得 U aSu D aSd故而 0 V0 aS0 1 U aSu于是V0 aS0 U aSu e rt 8 资产组合复制 假设股票在0时刻为S0 该股票在t时刻有两种可能价格 SuUS0V0SdD构造资产组合 a单位的股票和b单位的债券 来复制期权 由于上升状态 u aSu bert U下降状态 u aSd bert D 9 资产组合复制 于是有 于是衍生品的定价公式为 即 10 资产组合复制 将上面表达式中的含有U的项和含有D的项分开 则衍生品价格为 忽略指数项 则U的系数是而D的系数恰好为故衍生品价格可记为 11 风险中度概率 对于现在我们来考虑q的取值范围 若q1 那么1 q 0 则Su e rtS0 此时卖空该股票是包赚不赔的 故在无套利假设下数值q是满足概率条件的 我们称其为风险中度概率 于是 12 风险中度概率 由可得 此公式也可以由下图理解 SuS0Sd 13 资产组合复制 例 股票现在的价值为 50 一年期利率为4 一年后股票的价值可能是 55或 40 试问下列衍生品的合理价格 1 执行价为 48的看涨期权 2 执行价为 53的看涨期权 2 执行价为 45的看跌期权 解 由可知解得 于是由 可知期权的合理价格为 14 资产组合复制 1 执行价格为 48的看涨期权 U 7 D 0 故 2 执行价格为 53的看涨期权 U 2 D 0 故 3 执行价格为 45的看跌期权 U 0 D 5 故 15 资产组合复制 除了风险中度概率q外 还需要大家熟悉一个量就是德尔塔量 它被定义为该值正是博弈论方法中出现的a 在投资决策过程中 德尔塔量的含义是用来对冲一股期权的标的股票数量 16 练习 假设某股票现价为60美元 一年后该股票可能涨至80美元 也可能跌至50美元 若有一交易商要推出执行价为65美元 一年后到期的看涨期权 无风险利率为0 048 求期权的合理价格 若交易商以6 35美元 股的价格售出了100000股的看涨期权 他会持有一个风险很大的头寸 他决定通过购买股票对冲风险 他该买多少股票 一年后他会面临怎样的状况 17 练习 解先画出股票价格和期权价格的示意图 根据前面讨论的两种方法有 1 18 练习 2 风险中度概率期权价格 19 练习 他应购入股股票 其中交易商用3000000美元买入50000股股票 出售期权得635000美元 则他需借入3000000 635000 2365000美元2365000 e0 048 2481288 6美元一年后若股票上涨到80美元 则他的资产为 20 练习 一年后若股价下跌到50美元 则他的资产价值为在做了对冲之后 不管股票价格涨跌 他都会得到一个正的收益 原因是什么 交易商会为自己赚得佣金 他通常不会以 合理 价格出售或购买期权 可能以6 35美元的报价卖出看涨期权 却以6美元的报价买入看涨期权 21 二叉树模型 二叉树模型 J C Cox S A Ross M Rubinstein 1979 把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 t 并假设在每一个时间间隔 t内证券价格只有两种运动的可能 22 二叉树模型 1 从开始的S0上升到原先的u倍 即到达uS0 2 下降到原先的d倍 即到达dS0 我们进一步假设u 1且d 1 价格上升的概率为p 下降的概率为1 p uS0S0dS0相应地 期权价值分别为Vu和Vd 23 二叉树模型 由前面讨论的 我们有 从而 故对于单期的情形期权的合理价格是可以确定 下面我们讨论多期二叉树 首先先考虑二期的情形 为了研究问题方便 我们假设股票从第一步的两个状态的一个开始 继续保持与第一步相同的规律变动 即股票只可能以u因子增长 以d的因子下降 24 二叉树模型 故我们可以得到二期股票二叉树图 25 二叉树模型 由于ud du 故我们可以将刚才的二叉树简化 26 二叉树模型 假设一项金融衍生品对于股票二叉树中的每一个最终结果都有一个特定的价格 三种可能的价格是U M和D 分别对应股票价值u2S0 udS0和d2S0 27 二叉树模型 如何确定衍生品的价格V0 关键是找到衍生品在第一期的价格 假设分别为X和Y 那么我们可以利用前面讨论的结果先给出X和Y的值 从而确定V0 28 二叉树模型 例假设开始时 股价为 20 在两步二叉树中的每个单步二叉树中 股票价格将上升10 或是下降10 我们假设每个单步二叉树的时间步长是3个月 无风险年利率为12 问执行价格为 21的欧式看涨期权的价格为多少 29 二叉树模型 股票价格二叉树为 30 二叉树模型 u 1 1 d 0 9 r 0 12 t 0 25于是则B点处期权价值为 31 二叉树模型 C点处期权价值为0 故A点处期权价值为也可以根据我们之前推导的公式 一步求得 32 欧式看跌期权 例一个2年期欧式股票看跌期权 执行价格为52 当前股价为50 我们假设价格为两步二叉树 每个步长为1年 在每个单步二叉树中股票价格或者按比例上升20 或者按比例下降20 若无风险利率为5 求此期权的价格 33 欧式看跌期权 我们求得故 34 欧式看跌期权 采用逐步回推的方式也可得到类似的结果 股票期权的二叉树为 35 美式期权定价 还是刚才的例子 若为美式看涨期权应该如何定价 方法是从树图的末端向开始的起点倒推计算 在每个节点检验提前执行是否最佳 期权价值是如下两者中较大的 1 后继两点的期权价值期望的本节点现值 2 提前执行的收益 我们将前面的例子按照美式期权计算 可以得到下面结论 36 美式期权定价 股票期权二叉树 37 美式期权定价 例 为一美式看跌期权定价 S0 100 X 100 u 1 1 d 0 9 r 0 05 期权到期时间为t 3 解 先给出此股票的价格二叉树 38 美式期权定价 期权二叉树 39 美式期权定价 我们曾经计算过此题的q 0 7564 这样通过连锁法我们可以得到后继两点的期权价值期望的本节点现值 比如时刻2最下方节点的连锁法值为e 0 05 10 9 0 7564 27 1 0 2436 14 12由于是美式期权可以选择立即执行 立即行权期权值为 100 81 19我们要对比这两个值取最大值作为美式期权此节点处的价值 也就是19美元 40 美式期权定价 总结一下刚才的过程 也就是说对于每个节点我们会得到下面的图 刚才例子的具体数值为 41 美式期权定价 对所有的节点都进行相应的计算 得 42 奇异期权 障碍期权 barrieroption 分为敲出期权和敲入期权 我们考察一个欧式看涨敲出期权 3年后到期 执行价格是 105 在价格为 95美元处设一个障碍 即一旦股票价格低于 95 那么无论其到期的价格是多少 该期权都不再有任何价值 其他条件和刚才是一样的 即S0 100 u 1 1 d 0 9 r 0 05 43 奇异期权 我们可以绘出股票价格的二叉树图 并在价格 95处画一条虚线作为障碍 44 奇异期权 时刻3期权的价值为 45 奇异期权 注意虚线下期权的取值 其它计算和前面是类似的仍然用回推的方式得期权价格二叉树图为 46 障碍期权 刚才求出的障碍期权和之前我们求过的普通欧式期权相比 价格发生了怎样的变化 你认为这种变化是否合理 障碍期权一般归为两类 即敲出期权和敲入期权 敲出期权是这当标的资产价格达到一个特定障碍水平时 该期权作废 敲入期权当只有当标的资产价格达到一个特定障碍水平时 该期权才有效 障碍的设置接近正常价格时 敲出期权价格 较普通期权 的贴水越多 47 障碍期权 一般来说 障碍期权是以同一种资产的价格同时作标的资产价格和障碍价格的期权 这样的叫 内部 障碍期权 也有障碍期权的障碍价格与标的价格不同的 这样的叫 外部 障碍期权 比如 在日本证券市场上 当美元兑日元的汇率在80以上是 资产组合经理就会以15000点买入日经225指数的看涨期权 这样的看涨期权只有在美元兑日元汇率低于79时才算敲出 48 障碍期权的应用 对冲基金 卖空标的资产同时买入该资产的障碍期权 障碍的期权价格比较低 当标的资产价格突破障碍时 他们就会大幅获益 美林证券出售给一个某基金公司债券的敲入期权 债券涨到一定价格时期权就会生效 当债券位于障碍价格附近时 基金公司极力将债券价格推高 而美林则需打压债券价格 49 奇异期权 亚式期权 是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的奇异期权之一 它的到期回报依赖于标的资产在一段特定时间 整个期权有效期或其中部分时段 内的平均价格 打包期权 由常规的欧式期权 远期合约 现金和标的资产等构成的证券组合 回望期权 回望期权的收益依附于标的资产在某个确定的时段 称为回望时段 中达到的最大或最小价格 又称为回望价 50 回望期权 我们为一三个月后到期回望期权定价 S0 100 X 120 u 1 2 d 0 9 年r 0 05 我们先做出股价的二叉树图 51 回望期权 各路径下的最高价 概率 及期权价值 52 回望期权 计算q值 计算E V3 故回望期权现价为 53 总结 博弈法定价资产复制法定价风险中度定价二叉树模型欧式期权定价美式期权定价部分奇异期权定价 54 作业 1 一股票价格模