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文档简介
2020 1 4 1 第八章决策分析 决策问题的一般性描述不确定性决策风险性决策贝叶斯决策效用理论及其应用 1 8 1决策问题的一般性描述 所谓 决策 是指 为了达到预期的目的 从所有可供选择的方案中 找出最优方案的一种活动广义的决策是指 确定目标 制定和选择方案 方案的实施和验证等 全过程狭义的决策是指对决策方案的最优选择决策的正确与否 一般会影响到决策者的收益 例如 在国际市场的竞争中 一个错误的决策可能会造成几亿 几十亿甚至更多的损失 真可谓一着不慎 满盘皆输 2 关于决策的重要性 著名的诺贝尔经济学获奖者西蒙 H A Simon 认为 管理即决策 决策分析在经济与管理领域具有非常广泛的应用 在投资 产品开发 市场营销 项目可行性研究等方面的应用都取得过辉煌的成就决策科学本身内容也非常广泛 包括决策数量化方法 决策心理学 决策支持系统 决策自动化等 3 决策的分类个体决策和群体决策宏观决策和微观决策战略决策和战术决策定性决策和定量决策程序化决策和非程序化决策单目标决策和多目标决策确定性决策 不确定性决策 风险性决策 本章主要从运筹学的定量分析角度予以介绍 4 决策问题的基本要素 行动集 策略集 包含两个或两个以上的行动 策略 自然状态 决策者面临的状态 确定or不确定 损益函数 每个行动在某状态下所产生的某种结果 收益or损失 5 一个决策问题必须具备以下基本条件 存在两个或两个以上的行动方案各行动方案所面临的 可能的自然状态完全可知存在明确且可达到的目标 收益最大or损失最小 并且各行动方案在不同状态下的损益值可以计算或者定量地估计出来 6 8 2不确定性决策 策略集 可能的自然状态 损益函数等已知 但各自然状态出现的概率未知决策者根据主观倾向和经验判断进行决策决策准则 悲观决策准则 从最不利的角度考虑乐观决策准则 从最有利的角度考虑等可能决策准则 按照机会均等的原则考虑折中值决策准则 悲观准则与乐观准则的折中后悔值决策准则 定义理想值和后悔值 目标是后悔值最小 7 例1某公司一新产品投放市场的需求情况有四种自然状态 较高 40万件以上 年 一般 30万件以上 年 较低 15万件以上 年 很低 8万件以下 年 为此 制订以下三个生产新产品的工艺方案 A1新建一条水平较高的自动生产线 A2改建一条一般水平的流水生产线 A3采用原有设备生产 部分零件外购 该产品准备生产10年 具体损益情况如表所示 8 A2为最优方案 1 悲观决策准则 max min准则 悲观准则又称保守准则 按悲观准则决策时 决策者为了 保险 从每个方案中选择最坏的结果 再从各个方案的最坏结果中选择一个最好的结果 该结果所在的方案就是最优决策方案 9 A1为最优方案 2 乐观决策准则 max max准则 当决策者对客观状态的估计持乐观态度时 可采用这种方法 此时决策者的指导思想是不放过任何一个可能获得的最好结果的机会 因此这是一个充满冒险精神的决策者 10 3 等可能决策准则 A1为最优方案 等可能准则又称机会均等准则或拉普拉斯准则 由19世纪数学家Laplace提出 思想 当决策者面对着n种自然状态可能发生时 如果没有充分理由说明某一自然状态会比其他自然状态有更多的发生机会时 只能认为它们发生的概率是相等的 即都等于1 n 计算公式为 11 4 折中值决策准则 A1为最优方案 折中准则又称乐观系数准则或赫威斯准则 是介于悲观准则与乐观准则之间的一个准则 若决策者对客观情况的评价既不乐观也不悲观 主张将乐观与悲观之间作个折中 具体做法是取一个乐观系数 0 1 来反映决策者对状态估计的乐观程度 计算公式为 12 又称遗憾准则 当决策者在决策之后 若实际情况并不理想 决策者会有后悔之意 实际出现状态可能达到的最大值与决策者得到的收益值之差越大 决策者的后悔程度越大某状态下所能达到的最大值 称作该状态的理想值 与各方案在该状态下的收益值之差定义为该状态的后悔值向量 对每一状态作出后悔值向量 就构成后悔值矩阵对后悔值矩阵的每一行 对应某个方案 求出最大值 再在这些最大值中求出最小值所对应的方案 即为最优方案 5 后悔值决策准则 13 最优方案为 先取每一列 对应某自然状态 中最大值 用该最大值减去该列的各个元素即得该列的后悔值向量 再取每一行 对应某方案 的最大值 14 A1为最优方案 后悔矩阵 15 8 3风险性决策 风险性决策问题须具备以下几个条件 存在两个或两个以上的行动方案 存在两个或两个以上的自然状态 存在明确的决策目标 收益较大或损失较小 并且每个行动方案在不同自然状态下的益损值可以计算出来 决策者通过计算 预测或分析等方法 可以确定各种自然状态未来出现的概率 16 风险性决策根据各自然状况发生的概率所进行的决策决策过程总结纵向列出所有可能策略横向列出所有可能状态给出每一状态发生的概率 总和为1 画出支付表 列出所有信息根据某种决策准则选出最佳策略最大可能准则期望值准则决策树法 17 最大可能准则选择概率最大的自然状态进行决策选择收益值最大的策略为最佳策略 各状态的概率0 30 40 20 1 A1为最优方案 18 最大期望收益决策准则计算各策略的期望收益值EMV选择期望收益值最大的策略为最佳策略 各状态发生的概率0 30 40 20 1 A1为最优方案 19 决策树法很多实际问题是多步决策问题 即每走一步选择一个决策方案 下一步决策取决于上一步的决策与结果 因而是多阶段决策问题 这类问题一般不便用决策表类表示 常用的方法是决策树法 决策树法 是以图解方式分别计算各策略 行动方案 在不同状态下的期望收益值 然后通过比较作出决策 20 决策树的绘制 表示决策点 由它引出的分支为行动方案分支 分支的个数反映了可能的行动方案数O表示状态点 从它引出的分支称为状态分支 每条分支的上面表明了自然状态及其出现的概率 概率分支数反映了可能的自然状态数 表示决策终点 它旁边的数字表示每个方案在相应的自然状态下的收益值 21 决策树 状态分支标自然状态的概率 22 计算反向计算 从右向左分别计算各方案的期望收益值 并将结果标在相应的方案节点的上方比较这些期望收益值的大小 选择最大的为最佳方案 23 计算每个状态的期望收益 35 3 28 5 28 8 35 3 24 总结从左到右画决策树从右到左计算O处计算期望收益值 处比较大小 25 例4某公司需要在是否引进国外生产线问题上进行决策 即有引进国外生产线和不引进国外生产线两种方案 在引进国外生产线情况下 有产量不变和产量增加两种方案 在不引进国外生产线情况下 产量不变 该产品再生产6年 6年内跌价的概率为0 2 保持原价的概率为0 5 涨价的概率为0 3 有关数据如表 试用决策树法进行决策 26 计算每个状态的期望收益 进行比较 并剪枝 50 80 80 5 80 27 2020 1 4 28 例5试用决策树法进行决策 28 信息的价值决策的正确与否往往取决于决策者所掌握的信息 若决策者掌握了全信息 就会给决策者带来额外的收益 这个额外的收益就是全信息的价值全信息的价值来源于决策者能够作出正确的决策 而从不后悔 在这种情况下 决策者的期望收益称为全信息期望收益EPPI Expectedpayoffofperfectinformation EMV Expectedmonetaryvalue EPPI是获得完全信息后最优决策的期望收益 其中r j是在状态Sj下做出最佳决策的收益值 8 4贝叶斯决策 29 概率0 30 40 20 1 EPPI 85 0 3 42 0 4 9 0 2 35 0 1 40 6 全信息的价值 Expectedvalueofperfectinformation EVPI EPPI EMV 获得全信息的费用应该 EVPI 否则预测投资无实际上的经济价值 全信息价值应为预测获得信息所付出的代价之上限对例1 EVPI 40 6 35 3 5 3只有部分信息时 可以考虑贝叶斯决策 30 例5EPPI 31 贝叶斯决策第一步 由以往经验和资料估计各状态发生的先验概率第二步 通过各种手段获得各状态下各试验事件发生的条件概率 利用贝叶斯定理计算出各状态的后验概率第三步 用后验概率代替先验概率进行决策分析 32 条件概率在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率 称为事件B发生条件下事件A发生的条件概率 记为 33 概率的乘法公式用来计算两事件交的概率设A B为两个事件 若P B 0或P A 0 则P AB P B P A B 或P AB P A P B A 一般P AB P A P B 不成立 互斥时成立 加法亦然 34 全概率公式设事件S1 S2 Sn两两互斥 S1 S2 Sn 满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组 且P Si 0 i 1 2 n 则对任意事件B 有主要用来计算比较复杂的事件的概率 35 贝叶斯公式贝叶斯公式是在条件概率的基础上求事件发生的概率设n个事件S1 S2 Sn两两互斥 S1 S2 Sn 且P Si 0 i 1 2 n 则其中可以用来计算 后验概率 36 贝叶斯公式的应用某地区患有癌症的概率是0 005 癌症患者对某试验反应为阳性的概率为0 95 而正常人对该试验反应阳性的概率是0 04 现某人反应为阳性 试问其是癌症患者的概率多大 设B 试验结果为阳性 S 试验人是癌症患者 则问题变为求P S B 37 例6对于例5 决策者为了更好的进行决策 决定花费1万元请咨询公司调查该新产品的市场需求情况 调查结果为 在需求量大的情况下 该产品的销路好与不好的概率分别为0 7和0 3 在需求量一般的情况下 该产品的销路好与不好的概率均为0 5 在需求量小的情况下 该产品的销路好与不好的概率分别为0 2和0 8 即已知先验概率 问 1 根据得到的调查结果如何进行决策 2 花费1万元进行调查是否合算 38 销路好的概率为利用贝叶斯公式得 39 销路差的概率为利用贝叶斯公式得 40 销路好时的各方案的期望收益分别为此时应选A1 41 销路差时的各方案的期望收益为此时应选A2 42 样本信息的最大期望收益为EPPI P B1 E B1 P B2 E B2 0 5 15 24 0 5 13 86 14 55样本信息的价值为EPVI EPPI EMV 14 55 14 1 0 45用1万元的费用获取新的信息 远远超过其信息的价值本身 因此花费这笔咨询费不合算 43 Ex8 4假设某公司考虑在地区1或地区2销售某新产品 具体如下 现公司考虑是否委托咨询公司进行市场调研 调研费用为0 09百万 假设调查结果有两种 市场偏爱该产品 F 和不偏爱 U 并会得到以下概率 P F H 0 47 P U H 0 53 P F L 0 08 P U L 0 92问公司是否该委托 44 联合概率表 45 A1 A2 不委托 委托 0 09 H 0 3 L 0 7 A1 A2 A1 A2 H 0 716 L 0 284 H 0 716 L 0 284 H 0 198 L 0 802 H 0 198 L 0 802 F 0 197 U 0 803 4 2 3 4 3 4 3 1 2 1 2 1 H 0 3 L 0 7 0 2 0 2 2 296 1 854 2 296 0 802 0 208 0 2 0 208 0 2855 0 2 46 8 5效用理论及其应用 效用概念的引入前面介绍风险性决策方法时 提到可根据期望益损值 最大或最小 作为选择最优方案的原则 但这样做有时并不一定合理 请看下面的例子 例7设有两个方案 方案A 稳获100元方案B 用掷硬币的方法 掷出正面获得250元 掷出反面获得0元当你遇到这类问题时 如何决策 47 大部分会选择A 但不妨计算一下期望值 方案B的收益为随机变量Y 其期望收益为 根据期望收益最大原则 应选择B 但这一结果很难令实际决策者接受 此乃研究效用函数的初衷 48 正常人 B 赌 不赌 50元 掷出正面 P 0 5 0元 P 0 5 5元 100元 掷出反面 5元 对绝大部分人来说 只要兜里有5元钱 又不急用的话 就选择 赌 因为此时 赌 的平均收益为 例8 赌一把 一个正常的人 遇到 赌一把 的机会 情况如侧面的树 问此人如何决策 如果这个人此时很窘迫 他可能宁肯用这10元钱来买口粮 而不愿去冒投机的风险 49 2020 1 4 50 例9某工程投资项目有A B两种方案 A方案成功与失败的概率分别是0 9和0 1 B方案成功与失败的概率分别是0 6和0 4 各方案在成功与失败条件下的损益情况如表所示 决策者应如何决策 按照最大期望值准则 当然选B 但B方案的风险显然要大得多 因此 具有冒险精神的决策者会选择B 而性格谨慎的决策者会选择A 50 以上例子说明 期望益损值不能完全反映随机事件的风险程度 同一随机事件对不同的决策者的吸引力可能完全不同 因此而采用的决策也不同 这与决策者个人的气质 冒险精神 经济状况 经验等主观因素有很大的关系 即使同一个人 在不同情况下 对同一随机事件也可能会采用不同的态度 51 以最大期望益损值作决策准则时 实际已经假定期望值相等的各个随机事件是等价的 具有相同的风险程度 且对不同的人具有相同的吸引力 然而 对于某些问题 以上假定并不合适 因此不能采用 以货币为度量 期望益损值作决策准则 而是用所谓 效用值 作决策准则 效用度量决策者对风险的态度 对某种事物的倾向或对某种后果的偏爱等主观因素强弱程度的数量指标一般来说 损益值越大 相应的效用值也越大 但二者的关系一般不是线性关系 效用函数的构造函数拟合法 52 效用曲线规定 决策者最喜欢的事物的效用值为1 最不喜欢的事物的效用值为0 然后利用对比提问法确定效用曲线 假设有两种方案A1 A2 A1 无任何风险可得一笔金额x1A2 以概率P得一笔金额x2 以概率 1 P 得一笔金额x3 其中x3 x1 x2 以u xi 表示金额xi的效用值 假设决策者认为在某种条件下A1 A2两方案等效 即Pu x2 1 P u x3 u x1 在P x1 x2 x3中 已知其中3个可确定第4个一般采用vonNeumann Morgenstern法 即每次取P 0 5 先给出x2 x3 通过提问确定x1 再利用 求出u x1 53 例10投资者面临一个风险投资问题 该投资项目的最大收益为300万元 最小收益为 50万元 试用V M法确定该投资者的效用曲线解 首先假定u 300 1 u 50 0 甲 的效用曲线经过 300 1 260 0 75 200 0 5 90 0 25 50 0 54 乙 的效用曲线经过 300 1 150 0 75 30 0 5 20 0 25 50 0 不同的回答将导致不同的效用曲线 55 甲对收益的增加比较敏感 递增速度越来越快 属风险型乙对收益的减少比较敏感 递增速度越来越慢 属保守型 56 例11某公司对开发A B两种新产品进行决策 已知新产品的销路好与销路差的概率分别为0 7和0 3 产品A在销路好与销路差的情况下的收益分别为300万元和 50万元 产品B在销路好与销路差的情况下的收益分别为200万元和 20万元 试分别用例10中投资者甲和投资者乙的效用曲线进行决策 57 解 若用期望值准则进行决策 有即方案A为优选方案用投资者甲的效用曲线进行决策 有即方案A为优选方案 用投资者乙的效用曲线进行决策 有即方案B为优选方案 58 函数拟合 1 线性函数 u x c1 a1 x c2 2 指数函数 3 双指数函数 4 指数加线性函数 5 幂函数 6 对数函数 u
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