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张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008 年 3 月 1 张量理论张量理论 在高等数学课程结束后 了解张量理论是学习现代自然科学的必要条件 讲义经由对张 量理论和方法的论述建立现代科学的张量微分工具概念 为学习现代科学技术打好基础 讲义主要内容是 任意坐标系 坐标变换 几何不变量 张量定义 张量运算 张量 微分 张量方程 工程应用 掌握讲义中的这些内容能满足阅读理解当代科技文献的要求 但如要深入下去 需要更广泛的阅读 对以应用科学为主的非数学专业本科生 详细讲述数学的张量理论是无必要的 在大多 数国外非数学专业本科生 及研究生 教科书中 一般是以附录形式给出教科书中用到的张 量 一般地说是 2 4 个课时 这有点过于简单化 并且 各自采用不同的张量表达方式 造成一定的混乱 在部分教科书中 将张量等同于矩阵 这种过度简化对阅读理解当代科技 文献是有害的 故本讲义寻求一种折衷方案 应当指出的是 在最新的前沿方向科技文献中张量表达方式已经或正在取代传统的微积 分表达方式 故 掌握张量理论是进入科技前沿方向的必要条件掌握张量理论是进入科技前沿方向的必要条件 第一讲第一讲 任意坐标系任意坐标系 两个有序点间的连线构成一个矢量 在直角坐标系中 从原点到任一点的连线构成对这 个点的矢量表达方式 在物理上 矢量对应于力或位移量 是客观量 作为一个客观量 它 是不随观测者的坐标选择而变的 这是爱因斯坦提出的保证物理学基本规律客观性的要求 出于这一原则性 张量表述成为物理学基本规律客观性的基本表达方式 图 1 任意矢量的直角坐标表示 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008 年 3 月 2 在直角坐标表示中 矢量c r 可以表示为 21 eYeXcOAc AA rrrr 1 式中 A X A Y为 A 点的坐标值 1 e r 为 X 轴的单位坐标对应的矢量 2 e r 为 Y 轴的单位坐标 对应的矢量 按照矢量运算的法则 矢量c r 可以分解成二个矢量 OBaa rr 和 BAbb rr 的和 即 bac r rr 2 如果用 B X B Y表示 B 点的坐标值 则有 21 eYeXa BB rrr 3 21 eYYeXXb BABA rr r 4 将 3 和 4 式代入 2 式就得到 21 2121 eYeXc eYYeXXeYeXc bac AA BABABB rrr rrrrr r rr 5 与 1 式相比 可见 2 式的矢量c r 与 1 式的矢量c r 是一致性 取a r 和b r 方向为坐标轴方向 可以定义新的坐标x和y 并定义新的坐标x和y对应的 单位坐标矢量 1 g r 和 2 g r 如图 2 所示 图 1 给定矢量的任意坐标表示 在新的坐标系下则有 1 gaOBaa rrr 6 2 gbBAbb r rr 7 则给定的矢量c r 可在新的坐标系下表示为 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年3月 3 21 gbgac rrr 8 在直角坐标系中 有 0 1 1 21 22 11 ee ee ee rr rr rr 9 将 6 和 7 式与 3 和 4 式相比 得到 1 211 eYeX a g BB rrr 10 1 212 eYYeXX b g BABA rrr 11 并且有 2 22 1111 a YX ggg BB rr 12 2 22 2222 b YYXX ggg BABA rr 13 和 ba YYYXXX gggggg BABBAB 12212112 rrrr 14 对 1 式的直角坐标表示 有 222 AA YXccc rr 不难验证 对新的坐标系下表示 8 有 22 2 2211 22 2 gbgbagac 15 对二种表达方式 c r 是不变的 由于 B 点的选择是任意的 故坐标系 yx称为任意系 在任意系 yx中 记 A 点的坐标为 axA byA 则 8 式变成为 21 gygxc AA rrr 16 式 15 成为 22 2 2211 22 2 gygyxgxc AAAA 17 略去下标 A 对任一矢量c r 有 21 21 gygxc eYeXc rrr rr 18 二式在形式上是完全一样的 故任一矢量在任意坐标 21 x x 下的通用表达方式为 2 2 1 1 gxgxc rrr 19 物理学上 称 任意坐标 21 x x 为逆变坐标 而单位坐标值对应的矢量 21 g g rr 就称为 协变基矢 逆变坐标和协变基矢一起定义了一个任意坐标系或称一般坐标系 显然 取 11 eg rr 22 eg rr 20 就是直角坐标系 故可用 YX 表直角坐标系 并简称 YX 为直角直角坐标系 但对 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年3月 4 任意系 则只能称 21 x x 为逆变坐标 只有在给出 21 g g rr 后 才能形成一个坐标系 在物理学中 坐标系的给出方式为 在逆变坐标 21 x x 及该逆变坐标表示下的协变度规 场 122211 ggg 一般地说 122211 ggg称为协变度规张量的分量 简称 ij g为协变张量 将以上结果推广到 3 维空间 321 xxx 则有 i i gxgxgxgxc rrrrr 3 3 2 2 1 1 21 此时 ij g有 9 个分量 由于 jiij gg 故只有 6 个独立分量 称 ij g为协变对称张量 上式中 重复指标表求和 这一法则也称为爱因斯坦求和法则 对三维直角坐标系对三维直角坐标系 有 100 010 001 333231 232221 131211 ggg ggg ggg ggg jiij rr 22 或简记为 j iij ji ji 0 1 100 010 001 23 称 ij j i 为克罗内克记号 对一般的三维非直角坐标系 对一般的三维非直角坐标系 ijij g 24 特别地 取坐标值为三维直角坐标值特别地 取坐标值为三维直角坐标值 332211 XZxXYxXXx 但坐标轴 方向任意 但坐标轴 方向任意 则定义的斜坐标系的度规张量分量为斜坐标系的度规张量分量为 1 332211 ggg 2 1 cos 2112 gg 3 2 cos 3223 gg 25 1 3 cos 1331 gg 式中 表二轴的夹角 一般地说 在斜坐标系中 在斜坐标系中 j j iiiii eLeLeLeLg rrrrr 3 3 2 2 1 1 26 故有 k j k ikl l j k ilk l j k il l jk k ijiij LLLLeeLLeLeLggg rrrrrr 27 即 1 232221 iii LLL 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年3月 5 k j k iL Lji cos ji 显然 321 iii LLL是i轴在直角系中的方位矢量 对任一矢量c r 有 j j j j i i i i eXeLx gxgxgxgxc rr rrrrr 3 3 2 2 1 1 28 故有 j i ij LxX 29 取 j i l满足方程 j i k i j k Ll 30 则有 kk i ij i k j ij i ik j jk j xxLlxLxlXl 31 即 j k kj lXx 32 由于坐标基矢变换坐标基矢变换 j i L是 i e r 到 i g r 的变换 一般地把它看成正变换 而矢量c v 的坐标分量由 i X 到 i x的变换是 j k l 一般地把它看成逆变换 而这二个变换分别是正变换和逆变换 故 称 j j i i eXgxc rrr 形式为协变基下的逆变坐标表示协变基下的逆变坐标表示 也称为逆变矢量分量表示 上面的表达方式也称为长度表达方式长度表达方式 注注 对任一个直角坐标系基矢 i e r 可以定义它对应的单位面元法向为 i e r 特别地 把任一矢 量c r 的方向看成是面积的法向 其大小为面积 则有 i i i i gxeXc rrr 33 则这种表达方式下 i X 和 i x 为面积含义 这种表达方式也就称为面积坐标表达方式 面积坐标表达方式 在张量理论中 称 321 XXX 和 321 xxx 为协变坐标 而称 i e r 和 i g r 为逆变基矢 相 应的 jiij ggg rr 为逆变度规张量 面积度规张量 特别的 对直角坐标系 因取 i i ee rr 故 i i XX 无需区别逆变和协变 但对任意系 这是必须区分的 也正是因为在直角坐标系下无需区别逆变和协变 故许多书中把张量等同 于矩阵 一般地 ij g称为二阶协变张量 i x 为一阶逆变张量 普通矢量 常数为 0 阶张量 而 j i g为混合二阶张量 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年3月 6 第二讲第二讲 坐标变换坐标变换 如果空间中的每一点都有一个矢量u r 而且它随点坐标 ZYX的不同而可能不同 则 矢量u r 为空间位置的函数 记为 ZYXuu rr 34 它就形成一个物理上的矢量场 如 电场 磁场 引力场 惯性力场 等等 物理上 称直角坐标系 ZYX为测量系 如果在测量系中 3 3 2 2 1 1 eZYXueZYXueZYXuu rrrr 35 则 对每一点 ZYX 都可选择一个适当的坐标 321 xxx和单位坐标的基矢 i g r 来形成一个 任意坐标系 此时 坐标和基矢都是空间点位置的函数 即 ZYXxx ii 36 ZYXgg ii rr 37 如果它们关于 ZYX是连续可微的 并且有唯一解 3211 xxxXX 3212 xxxXY 3213 xxxXZ 而且该解关于 321 xxx是连续可微的 就称坐标 321 xxx和基矢 i g r 来形成 的坐标系为曲线坐标系 常用的曲线坐标系有 平面极坐标系 柱坐标系和球坐标系 1 平面极坐标系平面极坐标系 令 221 YXrx X Y xarctan 2 38 则有 cos 1 rXX sin 2 rXY 39 则任一空间点R r 为 ggrR eYeXR r rr r rr r 21 40 显然 有 r R gr r r R g r r 41 利用复合函数微分法有 21 e r Y e r X r Y Y R r X X R r R gr rr rrr r 42 21 e Y e X Y Y RX X RR g rr rrr r 43 将 39 式代入 就有 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年3月 7 21 sincoseegr rrr 44 21 cossinererg rrr 45 为保证唯一性 要求 2 0 如图 3 所示 图 3 平面极坐标系 在平面极坐标系中 有 21 21 2121 cossin sincos cossin sin cos eYXueYXu eruueruu eerrueeru grugruu yx rr r r r rr rr rrrr rrr 46 或写成矩阵形式 2 1 cossin sincos e e rrg gr r r r r 47 和 u u r r u u r y x cossin sincos 48 y xr u u rr u u cossin sincos 49 按上一讲的标记法 有 cossin sincos rr Lij 50 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年3月 8 r r lij cos sin sin cos 51 显然 它们满足方程 30 原则上 在逆变坐标下 基矢是协变的 故用逆变分量上标表示在协变基矢下的普通矢 量场 如果定义 g g r r g g r r r r r r cos sin sin cos 52 则有 grugru g r u r uguu g r grug r gru grugruu r r rrr rrr r r rr rr rrrr rrr cossin sincos cos sin sin cos 53 即 u u rr u u r r cossin sincos 54 在逆变坐标下 对比 52 式 在逆变基矢下 矢量场的分量变换系数与基矢变换相同 而 在协变基矢下 矢量场的分量变换系数与基矢变换反逆 故称 grugruu r r rrr 为矢 量场的逆变基矢下的协变坐标表示 并将其分量写成下标 应当指出的是 在现代几何场论中 是以协变基矢来表示逆变矢量 而以逆变基矢来表 示协变矢量 这是因为 协变基矢给出协变度规张量 而逆变基矢给出逆变度规张量 但在很多的教科书中但在很多的教科书中 把 r r lij cos sin sin cos 看成是坐标正变换系数 则 rr Lij cossin sincos 为坐标逆变换系数 在这一理解下 把 uur看成是逆变矢量 而把 uur看成是协变矢 量 这一说法导致对张量理解的本质错位 因而 许多书中 避免使用曲线坐标系下的张量 或错误的使用曲线坐标系下的张量 另外 写成矩阵形式时 容易出现转置矩阵和原矩阵的混乱写成矩阵形式时 容易出现转置矩阵和原矩阵的混乱 故一般地说 不拟用矩 阵代替张量 而是应使用上下标的形式 不拟用矩 阵代替张量 而是应使用上下标的形式 在很多的教科书及学术期刊中这一问题普遍存在 上述问题导致对应用张量表达方式的不同理解或错误理解 这是阻碍应用张量表达方式 的重要因素 2 柱坐标系 柱坐标系 令 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年3月 9 221 YXrx X Y xarctan 2 Zx 3 55 则有 211 sincoseeg rrr 212 cossinererg rrr 56 33 eg rr 它的协变度规张量为 1 11 g 2 22 rg 1 33 g 其它分量 0 57 3 球坐标系 球坐标系 令 2221 ZYXrx X Y xarctan 2 222 3 arcsin ZYX Z x 58 则有 3211 sincossincoscoseeeg rrrr 212 coscoscossinererg rrr 59 3213 cossinsinsincoserererg rrrr 它的协变度规张量为 1 11 g 2 22 cos rg 2 33 rg 其它分量 0 60 上述的三种常用曲线系为正交系 它们的基矢是空变的 各点都不同 协变度规张量也 是空变的 因而也称为非均匀尺规空间坐标系 第三讲第三讲 几何不变量几何不变量 上述坐标变换来表达的张量还是不适用于大多数物理规律的表达 它们有共同的原点 由于原点的选择是人为的 因而任一点均可看成是原点 这样就把空间分解成无数的原点 在每一个点上都可以建立该点邻近的曲线系 这样一种推广就建立了局部微分坐标系的概 念 相比之下 前面的坐标系就可被称为全局坐标系 对全局坐标系中的任一矢量 3 3 2 2 1 1 gcgcgcc rrrr 61 它的客观性表现为 无论度规基矢如何选择 它的大小不变 即 ji ij ccgccc rr 2 62 特别的 当它是位置矢量时 它表示的是该点到原点的距离 S 平方 而其分量就是坐标值 故可将它写成 ji ij xxgs 2 63 对局部微分坐标系 因为被讨论点就是巨部的圆点 故对局部坐标系中的任一微元长度 矢量 i i dxgsd rr 64 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年3月 10 它的客观性表现为 无论坐标及度规基矢如何选择 它的大小不变 即 ji ij dxdxgds 2 65 为不变量 也就是说 只要它为不变量 则各种不同的坐标及基矢的选择都是可以的 这样 2 ds就是一个与观测者爱好的坐标及基矢选择无关的量 称为 二次不变量 也称为几何 不变量 对于协变基矢变换 等价于相同坐标下的不同的基矢选择 j j ii gAG r r 66 有 kl l j k ilk l j k il l jk k ijiij gAAggAAgAgAGGG rrrr rr 67 表示 对同一坐标选择 应用基矢变换系数就将原协变张量的分量变换成对应的新的协变张 量的分量 二者一致 故称协变 几何学派采用这一定义 如陈几何场力学学派 显然不变性要求有 ji ij ji ij xdxdGdxdxgds 2 68 i xd 表示 在协变度规变换后 因尺度改变 对应的坐标增量也相应改变才能保证客观性 但 另一方面 仅考察 65 式 引入坐标变换 ji j j j i i xdCxd x x dx 69 则有 ji ij jil j k ikl lkj l i kij lj l ki kij ji ij xdxdGxdxdCCgxdxdCCgxdCxdCgdxdxgds 2 70 按这一说法 应用坐标逆变换系数就将原协变张量的分量变换成对应的新的协变张量的分 量 二者一致 故称协变 代数学派采用这一定义 如辛几何力学学派 显然不变性要求有 ji ij ji ij xdxdGdxdxgds 2 71 它表示 在坐标变换后 对应的度规张量也相应改变才能保证客观性 显而易见 有 i j i j CA 故数学上是等价的 因而很多人误认为物理上也是等价的 但物理上是不等价的 显然 用几何不变量引出张量是最为合理的方式 基矢变换观点强调坐标不变 称为 物质坐标系 物理学家偏好 而坐标变换观点强调数学上的运算特点 称为空间坐标系 数 学家偏好 基矢变换观点强调坐标不变 称为 物质坐标系 物理学家偏好 而坐标变换观点强调数学上的运算特点 称为空间坐标系 数 学家偏好 在高级论文及专著中 一般会明确指出定义方式 但在很多教科书中只使用一种 而否 定另一种 或混用 这造成很多错位 对直角坐标系 2222 dZdYdXds 72 对柱坐标系 2222 dZdrdrds 73 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年3月 11 对球坐标系 22222 cos drdrdrds 74 对一个矢量 3 3 2 2 1 1 gUgUgUU rrr r 它的客观不变性是 ji ij UUgU 2 75 为不变量 故对协变基矢变换 66 有 ji ij jl j ik ikl ji kl l j k i ji ij UUgUAUAgUUgAAUUGU 2 76 故有 ji j i UAU 77 则 ji j i UAU i j k j i kA A 78 故有 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 GUGUGUgUgUgUU rrr rrr r 79 因 i j A 为协变基矢变换 i j A的逆变换 故 称 i U和 i U 分别为在 ij g和 ij G度规下的逆变矢量分 量 或一阶逆变张量 距离矢量 运动速度矢量和加速度矢量都是一阶逆变张量 对于引力势 有 i i j j i ij x C x x xx 80 1 因 i j C为坐标变换的逆变换 故 称 i i x f 和 i i x f 分别为在原坐标系 i x下和新坐标系 i x 下 的协变矢量分量 或一阶协变张量 而对速度 有 t x C t x x x t x j i j j j ii i j k j i kC C 80 2 而速度用的是坐标变换的正变换 故为逆变矢量 或一阶逆变张量 如果无视这种差别 就不可能正确的使用任意系 方程也不具有普遍性 而且 出现错 误是必然的 部分书中及论文中 用错误的理解导出的结果还被认为是 创新 这是很可悲 的 如果将基矢变换看成是坐标系变换 则因 i j i j CA 而 i j A为正变换 则上句话要换成 因 i j A为正坐标变换 故 称 i i x f 和 i i x f 分别为在原坐标系 i x下和新坐标系 i x 下的协 变矢量分量 或一阶协变张量 这种表述在很多教科书中都有 事实上用 80 式来定义协变矢量是代数观点的 已经 是经典著作中的常见内容 但很多书中的表述混乱 给读者代来理解上的不必要的困难 但 也不可否认 80 式的确有助于说明有二类不同的物理矢量 故 正确的理解是关键所在 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年3月 12 第四讲第四讲 张量定义张量定义 一个物理量 如有了指定的量度当位以后 可以用数量完全表征 则称为纯量 如除了 大小外还要表出其方向性 则称为矢量 联系二个矢量的量构成一群量 张量分析的重要任 务就是寻找这一群量的整体本质特性 舍去由于坐标轴选择任意性所带入的非本质表现 按爱因斯坦的思想 一个物理方程 如果确实反映客观物质的运动规律 应该不随主观 参考系的选取不同而改变其本质表现 所以 正确的普遍性方程应该是张量方程正确的普遍性方程应该是张量方程 反过来说 如果一个物理方程不是张量方程 则其普遍正确性就不可能了如果一个物理方程不是张量方程 则其普遍正确性就不可能了 只能作为 特例 这就是当代科学采用张量表达方式的根本目的 凡是一个几何量或物理量 不随参考系选择不同而变的 就称为对坐标系变换的不变量 例如 惯性力矢量为 3 3 2 2 1 1 gfgfgff rrr r 81 它表示按立方单元的平行线法则分解 按边长线分解 故也称为线力分解 这是惯性力的 逆变表达方式 对保守力 由于它由梯度给出 而梯度方向是垂直于等值面的 故按等值面分解 如果 按面元分解 则保守力可写为 3 3 2 2 1 1 gfgfgff rrr r 82 它表示按有向面元 即法向面元 分解 故也称为面积坐标分解 这是保守力的协变表达方 式 如果它们大小相等方向相等 则必定有 j ij ij ij i j ji i ffgffgggfgff 2 rrrr 83 为对坐标系变换的不变量 特别的 如取直角坐标系 则有 3 3 2 2 1 12 fffffffff j ij i 84 故 对任何坐标系 有 j i j i j i ggg rr 85 显然的 其解为 32 1 1 gg g g rrr 13 2 1 gg g g rrr 13 3 1 gg g g rrr 86 式中 ij gggggggggggdet 213132321 rrrrrrrrr 87 它是以三个协变基矢为棱边构成的平行六面体的体积 将以上结果推广到 ji ijij ggff rr 表示以 ji gg rr 张量基 为广义的二阶协变基矢 则称 ij f为二阶逆变张量 推广到 ji ijij ggff rr 就表以 ji gg rr 张量基 为广义的二阶 逆变基矢 则称 ij f为二阶协变张量 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年3月 13 物理及工程上常用到的张量为 1 矢量 i i g r r 如速度 i i e dt dx V r r 88 1 2 协 变 矢量 i i g r r 如梯度 i i e x U gradU r 88 2 3 逆变基上的协变二阶张量 如 ji ijij eegg rr 88 3 4 协变基上的逆变二阶张量 如 ji ijij eegg rr 88 4 5 混合张量 线性算子 如 j i i j eeaA rr 88 5 6 一般张量 M N N M jjj iii iii jjj eeeeeeTT r L rrr L rr 21 21 21 21 88 6 它是 N 阶逆变 M 阶协变的混合张量 一般地说 基是不必完全写出的 只是指出基矢的定义及空间的维数即可 张量形式 的这种形式不变性使的很容易将低维空间的物理工程结果推广到高维空间 基是不必完全写出的 只是指出基矢的定义及空间的维数即可 张量形式 的这种形式不变性使的很容易将低维空间的物理工程结果推广到高维空间 故成为当代科 学的必备工具 当代科 学的必备工具 Ricci Eddington 广义量纲原理广义量纲原理 如所熟知 任何一个正确的物理或工程方程 其中各项的物理量纲必须是齐次的 这是 物理量纲原理 Ricci Eddington 广义量纲原理 在一个物理方程中 各项的上标逆变阶数和下标协变阶 数应该分别在等号的两侧相等 在一个物理方程中 各项的上标逆变阶数和下标协变阶 数应该分别在等号的两侧相等 例如 j ii j BAC 89 1 对坐标变换 ji j j j i i xdCxd x x dx 有 l kl j i kl l j ki kj ii j BACCBCACBAC 89 2 特别的 有 k k l kl kl kl i i ki ii i BABABACCBACCCCC 3 3 2 2 1 1 89 3 CCC 是一个纯量 标量 它表示 重复指标对消求和得到零阶张量 它是一个不变 量 上式等价于矩阵中的主值和不变性 也可看成是矢量点积的定义 对牛顿定理有 i i f dt xd m 2 2 90 1 如果惯性力是由引力 保守力 gradU产生 则 正确的写法正确的写法是 j ij j ij i fg x U g dt xd m 2 2 90 2 错误的写法是 j j i f x U dt xd m 2 2 90 3 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年3月 14 但对直角坐标系 ijij g 错误的写法与正确的写法无本质差别 正是这种在标准直角坐 标系下的无差别性导致许多对物理方程的烂用和错误解释 如 创新 推翻 重大发现 张量分析方法的最大优越性表现为忠实于物理客观性 就是对坐标系变换具有不变性 这是唯物主义精神的基本体现 是爱因斯坦广义相对论的基本纲领 已经导致基础科学理 论的全面张量化 并取得了大量的新成果 并纠正了在经典力学时代的许多错误理论或理 解 被泛称为一场科学革命 张量分析方法的最大优越性表现为忠实于物理客观性 就是对坐标系变换具有不变性 这是唯物主义精神的基本体现 是爱因斯坦广义相对论的基本纲领 已经导致基础科学理 论的全面张量化 并取得了大量的新成果 并纠正了在经典力学时代的许多错误理论或理 解 被泛称为一场科学革命 在现代 事实上自上世纪 50 年代起 不懂张量已经无法阅读重大成果的基础理论文 献 不懂张量已经无法阅读重大成果的基础理论文 献 因而不可能取的有普遍意义的科学成果 连追赶都力不从心 参考文献参考文献 1 陈至达 有限变形力学基础 中国矿业大学出版社 2000 2 Brillouin L Tensors in Mechanics and Elasticity New York Academic Press 1964 3 克来因 古今数学思想 I IV 商务出版社 2002 4 Dubrovin B A A T Fomenko S P Novikov Morden Geometry Methods and application Part I The geometry of surfaces transformation groups and fields New York Springer Verlag 1984 5 P A M 狄拉克 广义相对论 朱培豫译 北京 科学出版社 1979 6 Lopes J L Gauge field theories Pergaman Press 1981 7 侯伯元 侯伯宇 物理学家用微分几何 北京 科学出版社 2004 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008 年 3 月 15 第五讲第五讲 张量运算张量运算 张量构成一个代数系统 一般地说叫做 Lie 李 代数 其运算法则如下 1 加法 加法 二个阶数相同的张量可以相加 减 而得到一个新的阶数相同的张量 例如 ij k ij k ij k CBA 2 1 对比 ij k ji k ij k CBA 如果 ji k ij k BB 则 ij k ij k CC 但是 一般的 ji k ij k BB 故 ij k ij k CC 2 乘法 乘法 二个张量相乘得到一个新的张量 按广义量纲原理 它的阶数等于相乘张量阶数的和 例如 ij kl l ij k CBA 2 2 3 缩并 缩并 当一个张量的阶数大于 2 如令其二个指标对等 并按重标作求和规则运算 则称为缩 并 按广义量纲原理 缩并后新张量的阶数等于非重复指标对应的原张量阶数 例如 i j il jl CC ijij kk CC 2 3 i jl il j CBA 4 指标的升降 指标的升降 假如张量 ij A是在度规性质为 ij g及 ij g度规张量所决定的空间中定义的 则用 ij g及 ij g度 规张量可以将张量 ij A ij A 升降 该变它的上下标阶数 而得到新的张量 i jjk ik AAg j i jk ik AAg 2 4 i jkj ik AAg j i kj ik AAg 一般地说 i j i j AA i j i j AA 如应用两次 则有 ij lk jkil AAgg 2 5 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008 年 3 月 16 5 对称与反对称 对称与反对称 任何一个二阶张量都可以分解成为对称和反对称张量的和 例如 对 ij A ijijjiijjiijij CBAAAAA 2 1 2 1 2 6 其中 jiijjijiijij BAAAAB 2 1 2 1 2 7 张量 ij B是对称的 即 jiij BB 而 jiijjijiijij CAAAAC 2 1 2 1 2 8 张量 ij C是对称的 即 jiij CC 一个张量的对称和反对称性质是对坐标系变换保持不变的性质 6 梯度 散度 旋度在一般坐标系下的运算 梯度 散度 旋度在一般坐标系下的运算 梯度 散度 旋度是工程及理论中的常用量 下面作对比表达以方便读者的理解 梯度 梯度 在直角坐标系中 一个纯量函数 的梯度定义为 321 e Z e Y e X grad rrr 2 9 因纯量函数 的梯度为一阶协变张量 故在一般坐标系下 正确的公式为 i i g x grad r 2 10 散度 散度 在直角坐标系中 一个矢量函数U r 的散度定义为 3 3 2 2 1 1 x U x U x U UdivU rr 2 11 它是一个标量 在一般坐标系下 正确的公式为 i i UUdivU rr 2 12 式中 j i U表协变导数 将在下一讲定义 旋度 旋度 在直角坐标系中 一个矢量函数U r 的旋度定义为 3 13 2 32 1 21 e X U Z U e Z U Y U e Y U X U UcurlU rrr rr 2 13 它是一个一阶协变张量 在一般坐标系下 正确的公式为 i j k ijk gUUcurlU r rr 2 14 式中 推广的 Kronecker 符号 排列张量 为 1 ijk ijk 当ijk与 123 成偶数排列时 1 ijk ijk 当ijk与 123 成奇数排列时 2 15 0 ijk ijk 当ijk有二数相同时 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年3月 17 7 散度 散度 Green 定理定理 在直角坐标系中 以 表示封闭曲面 包围的体积 曲面外法向单位矢量为n r 则 散 度 Green 定理为 dnUdUdiv r rr 2 16 在一般坐标系下 正确的公式为 dnUdU i i i i 2 17 式中 i ig UU r r i ig nn rr 8 旋度 旋度 Stokes 定理定理 在直角坐标系中 以封闭曲线 C 表示它所包围的曲面 则对曲面 上的矢量 旋度 Stokes 定理为 CdUdnUcurl C rr r r 2 18 在一般坐标系下 正确的公式为 i C ii j k ijk xdUdnU 2 19 第六讲第六讲 张量微分张量微分 张量的微分运算 即 协变导数 是常用的运算 下面就讨论有关的问题 设给定一个物理场量函数 321 xxxU r 它可表示为 i ii i gUgUxxxU rr r 321 2 20 于是 对逆变分量 有 j j ik k i j i j j i j j i j j i gU x U x g U x U g x gU x Ur r r rr 2 21 上式中 利用了关系方程 k k jik k ij i j gg x g rr r 2 22 k ij 为一群量 它并不是张量 这是因为它的定义为 i j kk ij x g g r r 而 i j x g r 之值与坐标系选 择有关 它被称为 Christoffel 第二类记号 对协变分量 有 jk ijk i j i j j i j j i j j i gU x U x g U x U g x gU x Ur r r rr 2 23 上式中 利用了下列关系方程 对 i jj i gg rr 两边求微 即有 0 k j i j k i x g gg x g r rr r 故有 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年3月 18 i jk k j i j k i x g gg x g r rr r 2 24 协变导数协变导数就定义为 j ik k i j i j U x U U 2 25 和 k ijk i j i j U x U U 2 26 注意到 协变与逆变的符号差别 沿某一曲线 S 物理场量函数 321 xxxU r 的绝对变化量为 j j j i i j i i g DS DU g dS dx U dS dx x U DS UDrr rr 2 27 故 称 DS DU i 为对 S 的绝对导数 而dS DS DU DU i i 为绝对微分 在弯曲空间中 绝对微分为零在物理上表示物理场量函数沿某一曲线 S 不变 平行位 移 其条件为 0 k ijk i j i j U x U U 即 0 k ijk i j U x U 故在弯曲空间中 普通导数要被绝对导数取代 否则会得到错误的结论 一般的关于坐标的 普通导数要被协变导数取代 作这种代换后 就把直角坐标系中的物理方程改写成为张量形 式 进一步的公式有 i m m jk m j i km k i j k i j CC x C C 2 28 im m jkmj m ik k i j k ij CC x C C 2 29 mji km imj km k ij k ij CC x C C 2 30 利用度规张量的定义 不难验证 k ij i kj j kikll ij x g x g x g g 2 1 2 31 对直角坐标系 0 k ij 普通导数与绝对导数无差别 对柱坐标系 r 1 22 r 1 2 21 2 12 其它0 k ij 对球坐标系 21 22 cos r sincos 3 22 r 1 33 r 1 3 31 3 13 2 21 2 12 tan 2 32 2 23 其它0 k ij 另外 对任何坐标系 有 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年3月 19 0 im m jkmj m ik k ij k ij gg x g g 2 32 0 mji km imj km k ij k ij gg x g g 2 33 这个结论称为 Ricci 定理 它表示 度规张量在绝对导数的地位和常数在普通导数中的地位 是一样的 对物理及工程上的常用方程 4 2 2 32 在任意系下有 4 2 2 2 2 ji ij i i jl jl ji ij i li jl j ji ij ij i j i i j j xx g x g xx g x gg xx gg xx g g x g x g rr r r r 2 33 对柱坐标系 zr 有 4 11 2 2 2 2 22 2 zr rr r 2 34 对球坐标系 r 有 4 sin 1 sin sin 11 2 2 222 2 2 rr r r r r 2 35 第七讲第七讲 张量方程张量方程 在狭义相对论建立后 为满足相对性原理 需要把 3D 形式的经典力学推广到 4D 形式 要求用张量表达方式 并且 方程一律写成协变导数形式 这是 Einstein 提出的 因而是相 对论的重要研究工作 这一工作大致已完成 经典力学的协变张量化经典力学的协变张量化 对真空中的经典电磁场方程 高斯单位制 应该用国际单位制 但本文目的是为了保持 形式上的简单化 4 E r 2 36 t B c E r r 1 2 37 0 B r 2 38 t E c J c B r rr 14 2 39 其中 t A c E r r 1 2 40 分别为电场强度 矢量 和电位 标量 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年3月 20 AB rr 2 41 分别为磁场强度 矢量 和矢量磁位 为电荷密度 J r 为电流密度 c为光速 相对论性电磁场方程相对论性电磁场方程 它的基本前提是 222222 dzdydxdtcds 2 42 等价于令 ctix r 1 其好处是直接采用物理测量度量 此时 2 2 22 2 2 2 2 22 1 tczyxxx ii 2 43 为了与经典力学保持一致 取 txzxyxxx 4321 2 44 在 Lorentz 规范条件下 0 1 tc A r 2 45 有 4D 电流密度 ciJJi r 2 46 注意 为净电荷密度 有 4D 电磁场矢量位 iAAi r 2 47 则经典的电磁场方程变成为 ii J c A tczyx 4 1 2 2 22 2 2 2 2 2 2 48 0 i i x A 2 49 电磁场张量定义为 i j j i ij x A x A F 2 50 即为 0 0 0 0 321 312 213 123 EiEiEi EiBB EiBB EiBB Fij 2 51 用电磁场张量表出的电磁场方程为 i j ij J c x F 4 2 52 0 j ki i jk k ij x F x F x F 2 53 我们这种形式称为流形中的协变形式 对 Lorentz 变换 ij a 有 kljlikij FaaF 2 54 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年3月 21 对相对运动的二个惯性系 动系 S 有 llll EE rr llll BB rr 2 55 1 BV c EE rrrr 1 BV c BB rrrr 2 56 Lorentz 力为 jiji JF c F 1 2 57 即 1 BV c EF rrrr JE c i F rr 4 2 58 利用电磁场方程 10 13 得到 j ij k jk iji x T x F FF 4 1 2 59 电磁场应力 能量 动量张量 ij T 对称张量 就定义为 4 1 4 1 klklijkjikij FFFFT 2 60 这样 就把经典的电磁场方程变成为协变张量化协变张量化形式 相对论性质点力学相对论性质点力学 它的基本前提是 22 2 1 222 2 2 1 1 cVdtdzdydx c dtd 2 61 得到 dt dx cV d dx u ii i 22 1 1 2 62 其中 4D 速度 i u为 ciVui r 2 63 因为 2 cuu ii 2 64 故称为类时速度 牛顿方程 dt Vd mF r r 就变成为 d du mF i i 2 65 对在电磁场中运动的带电q粒子m 运动方程为 jij i uF c q d du m 2 66 注意到 ii quJ 可看出它等价于 1 1 22 BV c Eq cV Vm dt d rrr r 2 67 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年3月 22 VEq cV mc dt d rr 22 2 1 2 68 后一式为功率方程 这样 能量为 22 2 2 2 22 2 2 1 2 1 1 1 mVmc c V mc cV mc E L 2 69 4D 动量为 1 22 ciV cV m muP ii rr 2 70 显然 c Ei P 4 2 71 3 相对论性连续介质力学 相对论性连续介质力学 质量守恒 0 0 i i u x 2 71 动量守恒 能量守恒 0 j ij x T 2 78 熵守恒 0 00 d dS x S u i i 2 79 这样 就把经典力学的方程变成为协变张量化协变张量化形式 第八讲第八讲 工程应用工程应用 将牛顿力学推广到连续介质 把作用点的接触力推广为面力 这就是建立连续介质力学 连续介质力学的要点如下 1 一个有限大小的物体由微元物质 点 组成 这些点构成无限可数 3 维集合 这 样数学上的连续概念就物理化为连续介质的概念 这样 微积分工具就可以使用了 理想的 连续介质是固体和流体 2 应力概念 在直角坐标系中 作用在一个单位面积面上的力可以做矢量分解 kFjFiFF zyx rrrr 2 80 同样的 一个以法向为正方向的有向单位面积也可以做矢量分解 kSjSiSS zyx rrrr 2 81 单位面积条件等价于 222 1 zyx SSSSS rr 2 82 张量理论讲稿 河南理工大学 肖建华 2008年3月 23 由线性代数的知识可知 二个矢量间有关系方程 z y x zzzyzx yzyyyx xzxyxx z y x S S S F F