矩阵的秩及其求法PPT课件.ppt

1 1 一 矩阵秩的概念 二 矩阵秩的求法 第五节 矩阵的秩及其求法 第二章 三 满秩矩阵 第四节我们发现 矩阵经过有限次初等行变换化成的阶梯型矩阵不唯一 但是与其等价的阶梯型矩阵非零行行数一样 台阶的形状相同 这反映了矩阵什么性质呢 2 2 1 k阶子式 定义1设 在A中任取k行k列交叉 称为A的一个k阶子式 阶行列式 处元素按原相对位置组成的 一 矩阵的秩的概念 例如 矩阵A的第一 三行 第二 四列相交处的元素 所构成的二阶子式为 3 3 个二阶子式 有 个三阶子式 例如 而 为A的一个三阶子式 显然 矩阵A共有 个k阶子式 4 2 矩阵的秩 有r阶子式不为0 任何r 1阶 记作R A 或秩 A 子式 如果存在的话 全为0 定义2 称r为矩阵A的秩 二 矩阵秩的求法 1 子式判别法 定义 例1 为阶梯形矩阵 求R B 解 二阶子式不为0 所以R B 2 5 例2 求R A 5 解 存在一个三阶子式不为0 所以R A 3 A没有4阶子式 6 6 例如 一般地 行阶梯形矩阵的秩等于其 台阶数 非零行的行数 7 7 如果 求a 解 或 例3设 分析 R A 3 A所有的3阶子式为零 即A的行列式为零 8 8 则 例3 A有非零的1阶子式 但A所有的2阶子式都为0 所以R A 1舍去K 1 得K 3 分析 R A 3 4 A所有的4阶子式为零 即A的行列式为零 9 9 2 用初等变换法求矩阵的秩 定理1矩阵初等变换不改变矩阵的秩 即 则 注 只改变子行列式的符号 是A中对应子式的k倍 是行列式运算的性质 第二种求矩阵A的秩方法 1 2 R B 等于非零行行数 10 10 例4 解 R A 2 求 11 求矩阵 的秩 解 所以R A 2 例5 12 12 例6 13 Ex1 求矩阵A的秩 并求A的一个最高阶非零子式 解 先求A的秩 对A作初等行变换化为行阶梯形 故R A 3 14 再求A的一个最高阶非零子式 因R A 3 知A的最高阶非零子式为3阶 返回 易计算A的前三行构成的子式 因此这个子式便是A的一个最高阶子式 15 15 三 满秩矩阵 称A是满秩阵 非奇异矩阵 称A是降秩阵 奇异矩阵 可见 A为n阶方阵时 定义3 对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E 又根据初等阵的作用 每对A施行一次初等行变换 相当于用一个对应的初等阵左乘A 由此得到下面的 定理 定理2 设A是满秩方阵 则存在一系列初等方阵 使得 16 16 例7 A为满秩方阵 此过程相当于 17 17 关于秩的一些结论 熟记 规定 零矩阵的秩为0 1 根据行列式的性质 2 A为m n矩阵 0 R A min m n 定理3 R AB R A R AB min R A R B 定理4 推论1如果AB 0则 推论2如果R A n AB 0则B 0 18 18 设A为n阶矩阵 证明R A E R A E n 证 R A E R E A R A E A E R 2E n R A E R A E n 例8 19 19 作业 P109123 20 性质1 证明 因为 所以 21 定理5 22 22 定理A是一个s n矩阵 如果P是s s可逆矩阵 Q是n n可逆矩阵 那么秩 A 秩 PA 秩 AQ 秩 PAQ 证明 由定理2有秩 A 秩 P 1PA 秩 PA 秩 A 即秩 A 秩 PA 同理可证秩 A 秩 AQQ 1