2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程章末复习课学案北师大版选修.docx

第2章 圆锥曲线与方程1椭圆的焦点三角形设P为椭圆1(ab0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且F1PF2，则PF1F2为焦点三角形(如图)(1)焦点三角形的面积Sb2tan .(2)焦点三角形的周长L2a2c.2抛物线方程的设法对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为y2ax(a0)或x2ay(a0)3抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论(1)y22px(p0)中，|AB|x1x2p，(2)y22px(p0)中，|AB|x1x2p.(3)x22py(p0)中，|AB|y1y2p.(4)x22py(p0)中，|AB|y1y2p.4双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程如双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为0(a0，b0)，即yx；双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为0(a0，b0)，即yx.(2)如果双曲线的渐近线为0时，它的双曲线方程可设为(0)圆锥曲线定义的应用【例1】若点M(2,1)，点C是椭圆1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|AC|的最小值是_解析设点B为椭圆的左焦点，点M(2,1)在椭圆内，那么|BM|AM|AC|AB|AC|2a，所以|AM|AC|2a|BM|，而a4，|BM|，所以(|AM|AC|)min8.答案8圆锥曲线的定义是相应标准方程和简单性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略.,研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题.1抛物线y22px(p0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则()Ax1，x2，x3成等差数列By1，y2，y3成等差数列Cx1，x3，x2成等差数列Dy1，y3，y2成等差数列A如图，AAl，BBl，CCl.垂足分别为A、B、C.由抛物线定义：|AF|AA|，|BF|BB|，|CF|CC|.2|BF|AF|CF|，2|BB|AA|CC|.又|AA|x1，|BB|x2，|CC|x3，2x1x32x2x1x3.选A.圆锥曲线的性质【例2】已知椭圆1(ab0)的左焦点为F1(c,0)，A(a,0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率e.思路探究：由F1到直线AB的距离为，建立a、b、c之间的关系式，再转化为a，c之间的关系式，进而求解离心率e的值解由A(a,0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB，故AB所在的直线方程为ybx，即bxayab0.又F1(c,0)，由点到直线的距离公式可得d，(ac).又b2a2c2，整理，得8c214ac5a20，即821450，8e214e50.e或e(舍去)综上可知，椭圆的离心率e.1牢记标准方程中各参数的意义：(1)在椭圆中，a长半轴长，b短半轴长，c半焦距；(2)在双曲线中，a实半轴长，b虚半轴长，c半焦距；(3)在抛物线中，p焦点到准线的距离2牢记圆锥曲线中的范围的确定，对称性的确定，对称中心的确定以及各主要线段长的求法3离心率是圆锥曲线重要的性质之一，求离心率的方法主要有两种：(1)定义法：根据条件确定a，c的值后，用公式e求出；(2)关系式法：根据条件建立关于a，b，c的齐次等式后，转化为关于e的关系式求解4渐近线是双曲线独有的性质，双曲线1(a0，b0)的渐近线方程是0；渐近线0对应的双曲线方程是(0)2(1)已知椭圆1和双曲线1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()Axy ByxCxy Dyx(2)(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B.C2 D.(1)D(2)A(1)由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，椭圆焦点(，0)，双曲线焦点(，0)，3m25n22m23n2，m28n2，又双曲线渐近线为yx，代入m28n2，|m|2|n|，得yx.(2)A.圆锥曲线的定值与最值问题探究问题1直线l与抛物线y24x相交于不同的A、B两点，若4.求证：直线l必过定点，并求出该定点提示设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x，得y24ty4b0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b.因为x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b，又4，b24b4，解得b2，故直线过定点(2,0)2如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值提示设B(y，y1)，C(y，y2)，则kBC.kAB，kAC，由题意得kABkAC，则y1y24，则kBC，为定值【例3】已知F1、F2为椭圆x21的两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，求ABF2面积的最大值思路探究：设直线ykx1，利用参数k表示出ABF2面积的目标函数，再求目标函数的最大值解由题意知直线AB的斜率存在，设为k，又|F1F2|2.设直线AB方程为ykx1，代入椭圆方程2x2y22，得(k22)x22kx10，则xAxB，xAxB，|xAxB|.SABF2|F1F2|xAxB|222.当且仅当，即k0时，ABF2有最大面积为.(变条件，变结论)将例3中的条件变为“过抛物线y22px的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A、B两点”(1)试证明直线AB过定点；(2)试求SAOB的最小值解(1)证明：设直线AB的方程为yk(xa)，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立方程消去x得ky22py2pak0，则y1y22pa.又OAOB.y1y2x1x2.由方程组消去y，得k2x2(2k2a2p)xk2a20，则x1x2a2.因此，a22pa.a2p.故直线AB过定点(2p,0)(2)由(1)知：AB恒过定点M(2p,0)SAOBSAOMSBOM|OM|(|y1|y2|)p(2)又y2px1，y2px2，(y1y2)24p2x1x2.又y1y2x1x2，于是|y1y2|4p2.故SAOB的最小值为4p2.1圆锥曲线中的定值问题圆锥曲线中的定值问题的证明可以运用函数的思想方法解决其证明过程可总结为“变量函数定值”，具体操作为：变量选择适当的量为变量；函数把要证明为定值的量表示成上述变量的函数；定值把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值2圆锥曲线中的最值问题(1)平面几何法：平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解(2)目标函数法：建立目标函数来解与圆锥曲线有关的最值问题是常规方法，其关键是选取适当变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值(3)判别式法：对二次曲线求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式来求最值转化与归纳思想【例4】已知向量a(x，y)，b(1,0)且(ab)(ab)(1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；(2)设曲线C与直线ykxm相交于不同的两点M、N，又点A(0，1)，当|AM|AN|时，求实数m的取值范围思路探究：(1)利用平面向量知识求解(2)设MN的中点为P，由|AM|AN|可得APMN，进而kAP，故联立直线ykxm与椭圆方程，利用根与系数关系并结合0可求得m的取值范围解(1)由题意，得ab(x，y)，ab(x，y)，(ab)(ab)，(ab)(ab)0，即(x)(x)yy0.化简得y21，Q点的轨迹C的方程为y21.(2)由得(3k21)x26mkx3(m21)0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，0，即m2m2，解得0m0，解得m，故所求的m的取值范围是.()当k0时，|AM|AN|，APMN，m23k21，解得1m1.当k0时，m的取值范围是，当k0时，m的取值范围是(1,1)化归是中学数学最基本的思想方法，数学研究的过程即“化归与等价转化”的过程，数学问题的解答过程亦即“化归与等价转化”的过程，它是一种数学思想，也是一种数学能力.化归与等价转化的原则：熟悉化原则；简单化原则；正难则反原则.在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，“设而不求”在解