概率统计习题解答07 习题一

概率统计习题解答习题一 1 写出下列事件的样本空间 1 把一枚硬币抛掷一次 2 把一枚硬币连续抛掷两次 3 掷一枚硬币 直到首次出现正面为止 4 一个庫房在某一时刻的库存量 假定最大容量为 解 2 掷一夥骰子的试验 观察其出现的点数 事件 偶数点 奇数点 点数小于5 小于5的偶数点 讨论上述各事件间的关系 解 为对立事件 即 互不相容 解 3 事件表示某个生产单位第车间完成生产任务 表示至少有两个车间完成任务 表示最多只有两个车间完成生产任务 说明事件的含义 并用表示出来 表示最多有一个车间完成任务 即至少有两个车间没有完成任务 注意 运算定义中有 至少 而没有 最多 如图1 1 事件都相容 即把事件用一些互不相容事件的和表示出来 解 5 两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在 举例说明 解 两个对立的事件一定互不相容 它们不可能同时发生 也不可能同时不发生 两个互不相容的事件不一定是对立事件 它们只是不可能同时发生 但不一定同时不发生 区别互不相容与对立的关键是 当样本空间只有两个事件时才可能对立 而互不相容适用于多个事件的情形 互不相容事件的特征是 在一次试验中两者可以都不发生 而对立事件必发生一个且至多发生一个 如考试及格与不及格是互不相容事件 也是对立事件 但考试70分与80分是互不相容却不对立 6 三个事件的积是不可能事件 即问这三个事件是否一定互不相容 画图说明 解 不一定 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容 即两两互不相容 如图1 2 7 事件相容 记说明事件的关系 解 要求掌握 根据相容性写出 1 用互不相容的事件表示一个事件的方法 2 用 包含 与 被包含 关系 表达事件间的相互关系的方法 8 袋内装有5个白球 3个黑球 从中一次任取两个 求取到两个球颜色不同的概率 解 设事件 取到的两个球颜色不同 试验的样本点总数为 有利于的样本点数目为 由概率公式有 9 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率 因此有利于事件的样本点数为 注意 当所求事件包含的基本事件 较复杂 而它的对立事件所包含的基本事件 较简单 时 常用如例9那样的 求逆法 来解 10 抛掷一枚硬币 连续3次 求既有正面又有反面出现的概率 解 设事件 連掷三次 既有正面又有反面出现 它所包含的基本事件 较复杂 但它的对立事件所包含的基本事件 较简单 全部正面或全部反面 故用求逆法 11 10把钥匙中有3把能打开一个门锁 今任取两把 求能打开门锁的概率 解 设事件 任取的两把锁能打开门 显然 这有多种可能情形 但它的对立事件 任取的两把锁不能打开门 所包含的基本事件较简单 且基本事件数容易计算 故用求逆法来计算 12 一副扑克牌有52张 不放回抽样 每次一张 连续抽取4张 计算下列事件的概率 1 四张花色各异 2 四张中只有两种花色 解 1 设事件 四张花色各异 试验的基本事件总数 有利于的基本事件数 2 设事件 四张中只有两种花色 注意 有利于的基本事件的产生的过程 1 在4种花色中任取二种 2 对所取定的二种花色取牌 各取两张或一个花色取3张另一个取1张 因此有利于的基本事件数是 思考题 求四张中至少有两种花色相同的概率 13 口袋内装有2个五分 3个贰分 5个壹分的硬币共10枚 从中任取5枚 求总值超过壹角的概率 解 共有10个硬币 任取5个 则基本事件总数为 有利于事件 取5个硬币 总值超过壹角 的情形有以下两种 1 取2个5分 其余3个可这样取 3个贰分或2个贰分 1个壹其总数为分或1个贰分或3个壹分 其总数为 2 取1个五分 则2分至少要取2个 其总数为 故有利于事件的基本事件总数为 14 袋中有球红 白 黑色球各一个 每次任取一球 有放回地抽取三次 求下列事件的概率 三次都是红球 全红 无红 无白 无黑 三次颜色全相同 三次颜色全不相同 三次颜色不全相同 解 由于是作有放回抽取 每次可供抽取的球都有三个 故由乘法原理知 个基本事件 同理 第一次可供抽取的球有3种不同的球 第二次可供抽取的球有2种不同的球 第三次可供抽取的球只有1种球 15 一间宿舍内住有6位同学 求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率 解 设事件 6位同学中有4个人的生日在同一个月份 因为每个同学的生日月份都有12种可能 故由乘法原理知 有利于事件出现的过程 1 6位中选定某4位 2 这4位同学的生日在12个月份选定某一个月份 3 其余2位同学的生日 都在别的11个月份选择 16 事件互不相容 计算 解 由于事件互不相容 17 设事件求证 证明 解 由题设及求证的要求知 首先需求出 为此要考虑用已知概率的事件表示未知概率的事件 19 50个产品中有46个合格品与4个废品 从中一次抽取3个 计算取到废品的概率 解 设 取到废品 一次抽取3个 抽到废品有多个情形 但与其对立的情形 3个都是合格品 就一种 故用求逆运算 综上分析的取值范围是 解 对任何事件均有 22 一个教室中有100名学生 求其中至少有一人的生日是在元旦的概率 设一年以365天计算 解 设事件 至少有一人的生日是在元旦 则 100名学生的生日都不在元旦 23 从5副不同的手套中任取4只手套 求其中至少有两只手套配成一副的概率 解 设事件 取出的4只手套至少有两只能配成一副 则 取出的4只手套中任何两只均不能配成一副 为使取出的4只手套中没有两只能配成一副 我们先从5副手套中任取4副 然后从取出的4副手套中各取一只 因此 24 某单位有92 的职工订阅报纸 93 的人订阅杂志 在不订报纸的人中仍有85 的职工订阅杂志从单位任找一名职工求下列事件的概率 1 该职工至少订阅一种报纸可期刊 2 该职工不订阅杂志 但是订阅报纸 解 设事件 任找的一名职工订阅报纸 任找的一名职工订阅杂志 由题意 注意 善于根据题设条件 适当表达所求事件 使所求事件的概率变得容易 25 分析学生们的数学与外语两科考试成绩 记事件 数学成绩优秀 外语成绩优秀 若 解 证明 条件概率具有概率的一切性质 故 由题设知 因此有 整理即得 27 设独立 解 独立 另解 直接使用推论3来解 28 设事件的概率都大于0 如果独立问它们是否互不相容 为什么 解 用反证法证明 如果互不相容 则 而由题设独立 故在题设条件下 不可能互不相容 注意这里有一个重要的结论 在此题设的条件下 相互独立与互不相容不可能同时成立 反之 在题设的条件下 如果互斥 也可用反证法证明不可能相互独立 29 某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0 8 求3个这种元件使用1000小时后 最多只坏了一个的概率 解 设事件 第个元件在使用1000小时后没有坏 显然相互独立 设事件 在使用1000小时后 三个元件最多只坏了一个 则 上述等式右边是四个两两互不相容事件的和 30 加工某种零件 需经过三道工序 假定第一 二 三道工序的废品率分别为0 3 0 2 0 2 并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关 求零件的合格率 解 设事件 任取一个零件是合格品 第道工序是合格的 31 某单位电话总机的占线率为0 4 其中某车间分机的占线率为0 3 假定二者独立 现在从外部打电话给该车间 求一次能打通的概率 第二次能打通的概率以及第次才能打通的概率 为任何正整数 则一次能打通的概率是 第二次才能打通的概率是 解 设事件 第次能打通 第次才能打通的概率是 32 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上 去上课时 每人任取一副眼镜 求每个人都没有拿到自己眼镜的概率 则 则表示至少有一人拿到自己的眼镜 其中 33 在1 2 3000这3000个数中任取一个数 设 该数可以被整除 求概率 解 由题意知 34 甲 乙 丙三人进行投篮练习 每人一次 如果他们的命中率分别为0 8 0 7 0 6 计算下列事件的概率 1 只有一人投中 2 最多有一人投中 3 最少有一人投中 解 设事件分别表示 甲投中 乙投中 丙投中 显然相互独立 设表示 三个人中有人投中 由题意得 35 甲 乙二人轮流投篮 甲先开始 假定他们的命中率分别为0 4及0 5 问誰先投中的概率大 为什么 解 设事件分别表示 甲在第次投中 与 乙在第次投中 显然相互独立 设事件 甲先投中 则 此等式右边各项显然互不相容 即乙先投中的概率是 故甲先投中的概率较大 36 某高校新生中 北京考生占30 京外其他各地考生占70 已知在北京学生中 以英语为第一外语的占80 而京外学生以英语为第一外语的占95 今从全校新生中任选一名学生 求该生以英语为第一外语的概率 分析 这里所求其概率的事件与前后两个试验 1 生源情况 2 以英语为第一外语的情况有关 第 1 个试验的各种结果直接对第 2 个试验产生影响 要求的是第 2 个试验出现的结果 应用全概率公式 把第 1 个试验的所有可能结果设成样本空间 的一个分割 解 设事件 任选一名学生为北京考生 则表示 任选一名学生为京外考生 设事件 任选一名学生 以英语为第一外语 由题意知 注意 需用全概率公式解题的类型的判断方法及解题的方法 37 地为甲种疾病多发区 该地共有南 北 中三个行政小区 其人口比为9 7 4 据统计资料 甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4 2 5 求 地的甲种病的发病率 解 设事件分别表示从 地任选一名居民为其南 北 中行政小区的居民 则 设表示 任选一名居民患有甲种疾病 则 38 一个机床有三分之一的时间加工零件 其余时间 加工零件 加工零件 时 停机的概率为0 3 加工零件 时 停机的概率为0 4 求这个机床停机的概率 设 机床停机 由题意有 解 设 机床加工零件 则 机床加工零件 39 有编号为 的3个口袋 其中1号袋内装有两个1号球 1个2号球 与1个3号球 号袋内装有两个1号球和1个3号球 号袋内装有3个1号球与两个2号球 现在先从1号袋内随机地抽取一个球 放入与球上号数相同的口袋中 第二次从该口袋中任取一个球 计算第二次取到几号球的概率最大 应用全概率公式 因此第二次取到1号球的概率最大 40 接37题 用一种检验方法 其效果是 对甲种疾病的漏查率为5 即一个甲种疾病患者 经此检验法未查出的概率为5 对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1 在一次健康普查中 某人经此检验法查为患有甲种疾病 计算该人确实有此病的概率 解 设事件 受检人患有甲种疾病 事件 受检人被查有甲种疾病 由37题知 所求概率是 应用贝叶斯公式解 41 甲 乙 丙三个机床加工一批同一种零件 其加工的零件数量之比为5 3 2 各机床所加工的零件合格率 依次为94 90 95 现在从加工好的整批零件中检查出一个废品 判断它不是甲机床加工的概率 解 设事件分别表示 受检零件为甲机床加工 乙机床加工 丙机床加工 事件表示 废品 由题意得 所求问题即为 应用贝叶斯公式 有 注意 若已知某事件已经发生 欲求在该事件发生的条件下 样本空间的划分中某一个事件发生的概率 可以用贝叶斯公式 全概率公式实质上是由原因求结果 而贝叶斯公式是由结果求原因 42 某人外出可以乘坐飞机 火车 轮船 汽车4种交通工具 其概率分别为5 15 30 50 乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100 70 60 与90 已知该旅行者误期到达 求他是乘坐火车的概率 由题意得 所求概率是 应用贝叶斯公式 有 43 接39题 若第二次取到的是1号球 计算它恰好取自 号袋的概率 应用贝叶斯公式 解 由39题计算知 所求概率是 44 一箱产