解析几何第四版第二章.ppt

第二章轨迹与方程 本章主要内容 1 平面曲线的方程2 曲面的方程3 空间曲线的方程 本章基本要求 1 理解轨迹与方程的关系2 熟悉曲面 曲线的一般式和参数式3 熟练掌握球面 特殊柱面 圆柱螺旋线的方程 2 1平面曲线的方程 1 曲线方程 曲线上点的特征性质 1 曲线上的点都具有这些性质 2 具有这些性质的点都在曲线上 曲线上点的特征性质 曲线上点的两个坐标x与y之间的约束关系F x y 0 定义 当平面上取定了坐标系后 如果一个方程与一曲线有以下关系 1 满足方程的 x y 必是曲线上某点的坐标 2 曲线上任何点的坐标 x y 都满足这个方程 则这个方程称为这条曲线的方程 这条曲线叫做这个方程的图形 例1求圆心在原点 半径为R的圆的方程 例2 2 参数方程 坐标式参数方程 例3一个圆在一直线上无滑动地滚动 求圆周上的一点的轨迹 或 旋轮线或摆线 y 例4已知大圆的半径为a 小圆的半径为b 设大圆不动 而小圆在大圆内无滑动地滚动 求动圆周上某一定点P的轨迹的方程 内旋轮线或内摆线 y 例5把线绕在一个圆周上 将线头拉紧后向反方向旋转 以把线从圆周上解放出来 使放出来的部分成为圆的切线 求线头的轨迹 渐伸线或切展线 或 或 例6 双曲线的参数方程为 令x ty a 曲线的参数方程与普通方程互化时 必须注意 两种不同形式的方程应该等价 例9 将参数方程化为普通方程 1 2 3 旋轮线 作业 P771 5 7 3 8 1 2 9 思考 P774 2 2曲面的方程 1 曲面方程 曲面上点的特征性质 1 曲面上的点都具有这些性质 2 具有这些性质的点都在曲面上 曲面上点的特征性质 曲面上点的三个坐标x y与z之间的约束关系F x y z 0或z f x y 定义 当空间上取定了坐标系后 如果一个方程与一曲面有以下关系 1 满足方程的 x y z 必是曲面上某点的坐标 2 曲面上任何点的坐标 x y z 都满足这个方程 则这个方程称为这条曲面的方程 这个曲面叫做这个方程的图形 P0 x0 y0 z0 点P x y z 在球面上 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2 特点 三元二次 二次项x2 y2 z2前面的系数相同 没有xy yz zx这类的二次项 满足这三个特点的方程一定表示一个球面 理由见下页 反之 任意一个球面方程一定满足上述三个特点 ax2 ay2 az2 bx cy dz e 0 当k 0时 球面 当k 0时 点 当k 0时 虚球面 2 参数方程 向量式参数方程 坐标式参数方程 例6求球心在原点 半径为r的球面的参数方程 例7求以z轴为对称轴 半径为R的柱面的参数方程 3 球坐标系与柱面坐标系 例8在同一个直角标架所决定的直角坐标系 球坐标系与柱坐标系中 1 直角坐标为 1 1 1 的点 求它的球坐标与柱坐标 2 球坐标为 1 的点 求它的直角坐标与柱坐标 解 1 球坐标 柱坐标 2 直角坐标 柱坐标 作业 P871 3 4 4 1 6 1 8 2 3空间曲线的方程 1 一般方程 例1写出OZ轴的方程 例2求在xOy坐标面上 半径等于R 圆心为原点的圆的方程 2 参数方程 坐标式参数方程 例3一个质点一方面绕一条轴线作等角速度的圆周运动 另一方面作平行于轴线的等速直线运动 其速度与角速度成正比 求这个质点运动的轨迹方程 参数方程 圆柱螺线 x2 y2 a2x acos z b y 0 0 z b 对应0 2 参数方程 一般方程 一般方程 arctan z 例4 维维安尼曲线 0 t 2 2 t 2 例5 双柱面曲线 y2 z2 a2x2 z2 b2 b a 0 令y acost z asint 代入x2 z2 b2得 由此可得该双柱面曲线的参数方程为 0 t 2 y acostz asint 例6 有一质点 沿着已知圆锥面的一条直母线自圆锥的顶点起 作等速直线运动 另一方面这一条母线在圆锥面上 过圆锥的顶点绕圆锥的轴 旋转轴 作等速的转动 这时质点在圆锥面上的轨迹叫做圆锥螺线 试建立圆锥螺线的方程 例7有两条互相直交的直线l1与l2 其中l1绕l2做螺旋运动 即l1一方面绕l2作等速转动 另一方面