贷款方案.doc

数学模型作业学院：数理与软件工程学院课程：数学模型组员：王小平 刘巧霞 贾春丽指导教师：李沐春时间：二一年十月二十八日贷款方案的比较摘要本文是关于还款方案的最优设计问题，即在给定贷款本金总额，年利率，还款期限的情况下，根据两种不同的还款方式：等额本息还款法和等额本金还款法下，计算月供金额和累计支付利息，并比较两种还款方案的好坏。因此，本文根据还款方式的不同建立了两个模型来解决该问题。模型一：利用等额本息还款法月供金额的计算公式X=(A(1+r)N)/(1+r)N-1)中月利率与还款总期数的关系建立了模型，利用每月还款额的计算公式与C+语言编程计算出月供金额:X=5063.14,累计支付利息 T=311365.52（附件一）。模型二：根据等额本金还款法月供金额的公式X=A/N+(A-A/N*(i-1)*r （i=1,2,，N）中月利率与还款总期数的函数关系建立了模型，同样利用每月还款额的计算公式与C+语言编程计算出累计支付利息 T=271500.27，月供金额见（附件二）。利用MATLAB作出两种还款方式下月供金额的曲线图（图3），以及等额本息还款法走势柱状图和等额本金还款法走势柱状图（图1和图2），结合图13，等额本息还款法前期支付的本金和利息较多，对刚进入工作岗位的人来说，还款压力太大。所以我们年轻人采用等额本息还款法。最后根据实际情况讨论两种方案的应用及合理性。贷款方案的比较一.问题的提出 一期贷款本金总额60万，还款期限15年，贷款年利率为6%。现有两种还款方案：(1).等额本息还款法.(2).等额本金还款法.计算：(1).计算月供金额.(2).累计支付利息.试比较两种还款方案的好坏，两种方案中该采用哪一个，给出理由.二.问题的假设1.假设银行利率在还款期限内不再变化.2.假设还款人每月都能按期还款，不受其它特殊情况的干扰.三.问题的参数1.设A为贷款本金总额（单位：元）;2.R为年利率;3.r为月利率;4.N为还款总期数（单位：月）;5.X为月供金额（单位：元）;6.累计支付利息T(单位：元)；7.每月需还利息 F(单位：元);8. 每月需还本金 B(单位：元);四问题的分析为了分析问题方便，将原题数据用参数表示。首先从等额本息和等额本金月还款金额的计算公式（等额本息月供额X=a*r*(1+r)N)/(1+r)N -1)）,等额本金月供额 X= A/N+(A-A/N*(i-1)*r（i=1,2,，N）入手，根据等额本息和等额本金月还款额公式中月利率与还款总期数的函数关系，借用C+编程软件计算出月供金额和累计支付利息，数据分别见表格(附件一和附件二)。为了比较两种还款方案的好坏，我们利用MATLAB软件作了等额本息与等额本金月供金额的拟合曲线，以及利用附件一、二中的表格数据计算出（利用word 2003 中的求和公式）每一年应还的本金与利息,作出等额本息还款方案下的本金与利息柱状图和等额本金还款方案下的本金与利息的柱状图。观察比较柱状图和曲线图得出一般结论，并讨论两种方案的不同之处。最后结合实际情况确定我们所选方案，并阐明理由。五数学模型的建立及解1. 等额本息还款法模型的建立及求解1.1模型一的建立首先从每月还款额的计算公式得知 每月还款额X=(A(1+r)N)/(1+r)N-1). (1)因为各个月所欠银行贷款为:第一个月欠 A第二个月欠A（1r）-X第三个月欠A（1r）-X（1r）-XA(1r)2-X1+(1+r) 第四个月欠A（1+r）-X（1r）-X（1r）-X A(1+r)3-X1+(1+r)+(1+r)2 由此可得第n个月后所欠银行贷款为 A(1+r)n-X1+(1+r)+(1+r)2+(1+r)n-1= A(1+r)n -X(1+r)n-1/r可得每月需还利息 F=Ar(1+r) m -X(1+r) m -1) (2)所以每月需还本金 B=X-F (3)1.2模型一的求解由题意可知： 贷款本金总额 A=600000，还款总期数 N=15*12=180 ， 因为年利率R为6%,所以月利率r=R/12=6%/12=5根据模型一中公式(1)(3)，我们可以利用C+编程分别计算出月供金额，每月所还本金与利息。程序如下所示，具体结果见附件一。#include #include #include using namespace std;int main()int i=1,N=180;double r=0.005,X,F,B,A=600000; X=(A*r*pow(1+r),N)/(pow(1+r),N)-1);for(i=1;i=N;i+) F=A*pow(1+r),(i-1)*r-X*(pow(1+r),(i-1)-1); B=X-F;coutsetiosflags(ios:fixed)setiosflags(ios:right)setprecision(2);coutsetw(4)i setw(4)X setw(4)F setw(4)Bendl; coutendl;return 0;由附件一中表格数据可得，每月需还款额 X=5063.14累计支付利息 T=311365.522. 等额本金还款法模型的建立及求解2.1模型二的建立首先从每月还款额的计算公式得知 第i个月还款额为：A/N+(A-A/N*(i-1)*r （i=1,2,，N） (4)因为月还款额是每月所还利息与本金的和，所以每月需还利息为 ：F=(A-A/N*(i-1)*r（i=1,2,，N） (5)每月需还本金为 ：B=A/N (6)2.2模型二的求解同样根据模型二中公式(4)(6)，我们利用C+编程分别计算出月供金额，每月所还本金与利息。程序如下，具体结果见附件二。#include #include using namespace std;int main()int i=1,N=180;double r=0.005,X,F,B,A=600000;for(i=1;i=N;i+) X=A/180; F=(A-A/N*(i-1)*r; B=A/N+(A-A/N*(i-1)*r; coutsetiosflags(ios:fixed)setiosflags(ios:right)setprecision(2); coutsetw(4)i setw(4)X setw(4)F setw(4)Bendl; cout x=0:1:180; a=600000; n=180; r=0.005; y1=5063.14; y2=a/n+(a-a/n*(x-1)*r;plot(x,y1,-,x,y2,*);由等额本息与等额本金月供金额曲线图可以看出，在还款前的77个月内，等额本金每月还款额高于等额本息法，而之后随着剩余还款额的减少利息也随着减少，总的月还款额也减少。结合以上图形的分析结果，我们得出采用等额本息还款法与等额本金还款法两种方式，主要区别在于：(1) 占用资金的时间价值不同：等额本息还款法，开始多还本金，越往后剩余本金越少，因而产生的利息也少。等额本息还款法，开始还的贷款本金较少，占用资金相对较多，所以利息也会相应增加。(2) 利息总额不同：在相同贷款金额、利率和贷款年限的条件下，等额本金还款法的利息总额少于等额本息还款法。(3) 还款前几年的利息、本金比例不同：等额本息还款法，前几年还款总额中占的比例较大；等额本金还款法的本金平摊到每一次，利息借一天算一天，所以二者的比例最高时也就占50%左右。(4) 还款前后期的压力不同：等额本息还款法，每月的还款金额数是一样的，所以在收支和物价基本不变的情况下，每次的还款压力是一样的；等额本金还款法，每次还款的本金一样，但利息是由多到少、依次递减，同等情况下，前期的压力要比后期重。(5) 适用群体不同：等额本息还款法，由于月还款额相同，适用于收入 处于稳定状态的人群，以及买房自住，经济条件不允许前期投入过大的人使用，因为这种还款方式便于借款人合理安排每月的生活和进行理财；等额本金还款法，每月的还款额逐月减少，较适合于有一定积蓄，但预期收入可能逐渐减少的借款人，如中老年职工家庭，其现有一定积蓄，但今后随着退休临近收入将递减。而购房首付款额度较高，又急于装修的家庭不适合该方法。对于我们年轻人而言，选择等额本息还款法比较好。因为等额本金还款前期支付的本金和利息较等额本息法多，对刚进入工作岗位的人来说，月工资一般在3000左右，前期收入不大，很难支付月还款额，而且不能很好的理财，再者加上我们没有一定的积蓄。我们更应该选择用等额本息还款法来缓解还款压力，以求平稳度过。由此可见，以上两种还款方式并不能简单的认定哪一种方式对借款人更有利，简单的说就是无论哪一种还款方式都是还银行的本金越多利息自然越低，以借款人在选择还款方式时需结合个人的资金占用、还款压力以及是否需要提前还款等实际情况而定。六数学模型合理性的讨论1.合理的方面(1)对两种方案建立两种模型，所建模型符合题目要求，分析求解过程清晰。(2)在计算月供金额和累计支付利息时使用了计算器，数值的准确性高，同时运用了MATLAB软件，求解准确，在运用MATLAB进行数据拟合时，得到了较理想化的曲线，使在比较两模型时结果一目了然。(3)本模型的建立可以较好的解决实际问题，可靠性强。2不合理的方面.(1)模型中为了使计算方便，我们忽略了一些次要因素，实际上银行利率每年都在变化，而我们在解题时假定银行利率不变，这一点不合理。(2)在作图时应该作出以月为单位的柱状图，由于数据太多，作图时按年以单位作图。这一点也不合理。七参考文献【1】罗万成 .大学生数学建模案例精选.西南交通大学出版社,2007【2】杨桂元 李天胜 徐军 数学模型应用实例 合肥工业大学出版社 2007【3】刘卫国 .MATLAB程序设计与应用(第二版).高等教育出版社2006【4】谭浩强 .C+程序设计 .清华大学出版社 1991【5】姜启源 .数学模型(第三版) .北京：高等教育出版社 2003【6】韩中庚 数学建模方法及其统计 北京 ：高等教育出版社 2005八附件附件一：还款期次偿还本息偿还利息偿还本金还款期次偿还本息偿还利息偿还本金15063.143000.002063.14915063.141831.123232.0225063.142989.682073.46925063.141814.963248.1835063.142979.322083.82935063.141798.723264.4245063.142968.902094.24945063.141782.403280.7455063.142958.432104.71955063.141765.993297.1565063.142947.902115.24965063.141749.513313.6375063.142937.332125.81975063.141732.943330.2085063.142926.702136.44985063.141716.293346.8595063.142916.022147.13995063.141699.553363.59105063.142905.282157.861005063.141682.733380.41115063.142894.492168.651015063.141665.833397.31125063.142883.652179.491025063.141648.853414.29135063.142872.752190.391035063.141631.773431.37145063.142861.802201.341045063.141614.623448.52155063.142850.702212.351055063.141597.383465.76165063.142839.732223.411065063.141580.053483.09175063.142828.612234.531075063.141562.633500.51185063.142817.442245.701085063.141545.133518.01195063.142806.212256.931095063.141527.543535.60205063.142794.932268.211105063.141509.863553.28215063.142783.592279.551115063.141492.093571.05225063.142772.192290.951125063.141474.243588.90235063.142760.732302.411135063.141456.293606.85245063.142749.222313.921145063.141438.263624.88255063.142737.652325.491155063.141420.143643.00265063.142726.022337.121165063.141401.923661.22275063.142717.342348.801175063.141383.613679.53285063.142702.592360.551185063.141365.223697.92295063.142690.792372.351195063.141346.733716.41305063.142678.932384.211205063.141328.143735.00315063.142667.012396.131215063.141309.473753.67325063.142655.032408.111225063.141290.703772.44335063.142642.992420.151235063.141271.843791.30345063.142630.892432.251245063.141252.883810.26355063.142618.732444.411255063.141233.833829.31365063.142606.502456.641265063.141214.693848.45375063.142594.222468.921275063.141195.443867.70385063.142582.882481.261285063.141176.103887.04395063.142569.472493.671295063.141156.673906.47405063.142557.002506.141305063.141137.143926.00415063.142544.472518.671315063.141117.513945.63425063.142531.882531.261325063.141097.783965.36435063.142519.222543.921335063.141077.953985.19445063.142506.502556.641345063.141058.034005.11455063.142493.722569.421355063.141038.004025.14465063.142487.872582.271365063.141017.874045.27475063.142467.962595.181375063.14997.654065.49485063.142454.982608.161385063.14977.324085.82495063.142441.942621.201395063.14956.894106.25505063.142428.842634.301405063.14936.364126.78515063.142415.672647.471415063.14915.734147.41525063.142402.432660.711425063.14894.994168.15535063.142389.122674.021435063.14874.154188.99545063.142375.752687.391445063.14853.204209.94555063.142362.322700.821455063.14832.154230.99565063.142348.812714.331465063.14811.004252.14575063.142335.242727.91475063.14789.744273.40585063.142321.602741.541485063.14768.374294.77595063.142307.892755.251495063.14746.904316.24605063.142294.122769.021505063.14725.324337.82615063.142280.272782.871515063.14703.634359.51625063.142266.362796.781525063.14681.834381.31635063.142252.382810.761535063.14659.924403.22645063.142238.322824.821545063.14637.914425.23655063.142224.202838.941555063.14615.784447.36665063.142210.002853.141565063.14593.544469.60675063.142195.742867.41575063.14571.204491.94685063.142181.402881.741585063.14548.744514.40695063.142166.992896.151595063.14526.164536.98705063.142152.512910.631605063.14503.484559.66715063.142137.962925.181615063.14480.684582.46725063.142123.332939.811625063.14457.774605.37735063.142108.632954.511635063.14434.744628.40745063.142093.862969.281645063.14411.604651.54755063.142079.012984.131655063.14388.344674.80765063.142064.092999.051665063.14364.974698.17775063.142049.103014.041675063.14341.484721.66785063.142034.033029.111685063.14317.874745.27795063.142018.883044.261695063.14294.144769.00805063.142003.663059.481705063.14270.304792.84815063.141988.363074.781715063.14246.334816.81825063.141972.993090.151725063.14222.254840.89835063.141957.543105.601735063.14198.054865.09845063.141942.013121.131745063.14173.724889.42855063.141926.403136.741755063.14149.274913.87865063.141910.723152.421765063.14124.704938.44875063.141894.963168.181775063.14100.014963.13885063.141879.123184.021785063.1475.204987.94895063.141863.203199.941795063.1450.265012.88905063.141847.203215.941805063.1425.195038.27附件二：还款期次偿还本金偿还利息偿还本息还款期次偿还本金偿还利息偿还本息13333.333000.006333.33913333.331500.004833.3323333.332983.336316.66923333.331483.334816.6633333.332966.676300.00933333.331466.674800.0043333.332950.006283.33943333.331450.004783.3353333.332933.336266.66953333.331433.334766.6663333.332916.676250.00963333.331416.674750.0073333.332900.006233.33973333.331400.004733.3383333.332883.336216.66983333.331383.334716.6693333.332866.676200.00993333.331366.674700.00103333.332850.006183.331003333.331350.004683.33113333.332833.336166.661013333.331333.344666.67123333.332816.676150.001023333.331316.674650.00133333.332800.006133.331033333.331300.004633.33143333.332783.336116.661043333.331283.344616.67153333.332766.676100.001053333.331266.674600.00163333.332750.006083.331063333.331250.004583.33173333.332733.336066.661073333.331233.344566.67183333.332716.676050.001083333.331216.674550.00193333.332700.006033.331093333.331200.004533.33203333.332683.336016.661103333.331183.344516.67213333.332666.676000.001113333.331166.674500.00223333.332650.005983.331123333.331150.004483.33233333.332633.335966.661133333.331133.344466.67243333.332616.675950.001143333.331116.674450.00253333.332600.005933.331153333.331100.004433.33263333.332583.335916.661163333.331083.344416.67273333.332566.675900.001173333.331066.674400.00283333.332550.005883.331183333.331050.004383.33293333.332533.335866.661193333.331033.344366.67303333.332516.675850.001203333.331016.674350.00313333.332500.005833.331213333.331000.004333.33323333.332483.335816.661223333.33983.344316.67333333.332466.675800.001233333.33966.674300.00343333.332450.005783.331243333.33950.004283.33353333.332433.335766.661253333.33933.344266.67363333.332416.675750.001263333.33916.674250.00373333.332400.005733.331273333.33900.004233.33383333.332383.335716.661283333.33883.344216.67393333.332366.675700.001293333.33866.674200.00403333.332350.005683.331303333.33850.004183.33413333.332333.335666.661313333.33833.344166.67423333.332316.675650.001323333.33816.674150.00433333.332300.005633.331333333.33800.004133.33443333.332283.335616.661343333.33783.344116.67453333.332266.675600.001353333.33766.674100.00463333.332250.005583.331363333.33750.004083.33473333.332233.335566.661373333.33733.344066.67483333.332216.675550.001383333.33716.674050.00493333.332200.005533.331393333.33700.004033.33503333.332183.335516.661403333.33683.344016.67513333.332166.675500.001413333.33666.674000.00523333.332150.005483.331423333.33650.003983.33533333.332133.335466.661433333.33633.343966.67543333.332116.675450.001443333.33616.673950.00553333.332100.005433.331453333.33600.003933.33563333.332083.335416.661463333.33583.343916.67573333.332066.675400.001473333.33566.673900.00583333.332050.005383.331483333.33550.003883.33593333.332033.335366.661493333.33533.343866.67603333.332016.675350.001503333.33516.673850.00613333.332000.005333.331513333.33500.003833.33623333.331983.335316.661523333.33483.343816.67633333.331966.675300.001533333.3346