1.2 函数的极限

1 2函数的极限 一 概念引入二 数列的极限三 收敛数列的性质四 函数的极限五 函数极限的性质 1 2函数的极限 极限的概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的 极限的思想源远流长 我国古代数学家刘徽 公元3世纪 利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法 割圆术 就是极限思想在几何学上的应用 极限的思想方法在高等数学中贯穿始终 是一种极为关键的研究问题的方法 一 概念引入 正六边形的面积 正十二边形的面积 正形的面积 割圆术 1 2函数的极限 二 数列的极限 1 2函数的极限 定义 按照某一法则依次序排列的一列数 称为数列 记作 其中的每一个数称为数列的项 称为它的一般项或通项 如数列 1 2函数的极限 观察数列 而数列 问题 以上两个数列有什么共性 如何用数学语言去刻划 1 2函数的极限 定义1 记作 或 如果数列没有极限 则称它是发散的 有 1 2函数的极限 不等式刻划了与a无限接近 正整数N与给定的有关 数列极限的几何意义 数列有没有极限关键要看后面的无穷多项 所有的点都落在内 例1 所以 证 1 2函数的极限 例2 证 为了使 只需使 用定义证数列极限存在时关键是对任意给定寻找N 但不必要求最小的N 1 2函数的极限 1 2函数的极限 三 收敛数列的性质 定理1 唯一性 若数列收敛 则它的极限唯一 证 由定义 故收敛数列极限唯一 才能成立 使得 设 当时恒有 当时恒有 1 2函数的极限 定理2 有界性 若数列收敛 则它是有界的 即存在正数M 使对一切正整数n 总有 证 由极限定义 设 则使得当时恒有 即 1 2函数的极限 例如数列有界 但并不收敛 定理3 保号性 设数列收敛于a 数列收敛于b 且则存在正整数N 当时 恒有成立 1 2函数的极限 由定义 取 从而 证 则存在正整数N 同时成立 推论 反证法 1 2函数的极限 四 函数的极限 1 自变量趋于无穷大时函数的极限 当x趋于正无穷大时对应的函数值无限接近0 而当x趋于负无穷大时对应的函数值也无限接近0 如函数 1 2函数的极限 定义2 A是一个确定的数 若对任给的正数 总存在某一个正数X 使得当时就有 则称函数当时以A为极限 记作 或 定义 1 2函数的极限 的几何意义 的图形落在 例3 证 要使 成立 只要 有 1 2函数的极限 证明 故 例4 证 要使 成立 只要 有 1 2函数的极限 另两种情形下函数的极限 1 2函数的极限 2 自变量趋于有限值时函数的极限 考察函数当自变量x无限接近于2时的变化趋势 由右图可知当x不等于2但趋于2时 对应函数值无限接近于2 如何用数学语言刻划 无限接近 于确定值A 问题 1 2函数的极限 设函数 恒有 在点x0某去心邻域内有定义 定义3 则称函数当时以A为极限 记作 或 定义 1 2函数的极限 的大小与给定的有关 不唯一 只要求存在 不一定求最大的 必存在x0的去心邻域 对应的函数图形位于这一带形区域内 几何意义 1 2函数的极限 例5 证 函数在点 处没有定义 要使 1 2函数的极限 五 函数极限的性质 函数极限与数列极限有类似的性质 且证明方 法也类似 以自变量趋于有限值时函数的极限说明 定理4 唯一性 定理5 局部有界性 若极限存在 则它是唯一的 若存在 则存在的某去心邻域 使得在内有界 1 2函数的极限 定理6 局部保号性 若 或 则对任意正数存在的某去心邻域 使对一切总有 或 单侧极限的定义 如果函数当从的左侧 即 趋于时以数A为极限 则A称为在的左极限 记作 或 1 2函数的极限 如果函数当从的右侧 即 趋于时以数B为极限 则B称为在的右极限 记作 或 左极限与右极限统称为单侧极限 函数极限与单侧极限的关系 1 2函数的极限 例6 讨论函数 当时的极限 解 因为 故当时的极限不存在 1 2函数的极限 内容小结 1 1函数的极限 数列极限定义 思想 几何意义 函数极限定义 几何意义 局部保号性 唯一性 局部有界性 函数的左右极限判定极限的存在性 收