大一上学期微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷 cossin 1 2 22 B D xx f xg x f xg x f xg x C 1设在区间 0 内 是增函数 是减函数 是减函数 是增函数 二者都是增函数 二者都是减函数 2x 1 n nn n 20cossin 1n A X 1 B Xsin 2 1 C X 1 x n exx n aD a x时 与相比是 高阶无穷小 低阶无穷小 等价无穷小 同阶但不等价无价小 是函数 si nx 的 连续点 可去间断点 跳跃间断点 无穷型间断点 下列数列有极限并且极限为 的选项为 n 1 Xcos n 2 0 00 0000 1 5 0 B C fxffCff 令 则必有 1 5 FFFFT 三 计算题 1 用洛必达法则求极限 2 1 2 0 lim x x x e 解 原式 22 2 11 1 3 3 000 2 2 limlimlim 1 2 xx x xxx eex e x x 2 若 34 10 0 f xxf 求 解 332233 33232233432 4 10 312 10 24 10 123 10 324 10 108 10 0 fxxxxx fxxxxxxxxxx fx 3 2 4 0 lim cos x x x 求极限 4 I cos 2 2 0 4 I cos lim 0 22 00000 2 lim 1 sin 4costan cos limcoslimlimlimlim2 222 4 nx x x nx x x xxxxx ee x Inxxx x Inx xxx xx e 解 原式 原式 4 5 3 1 31 2 x yx x 求的导数 5 3 511 I3112 322 1531111 3 312122 1511 31 2 312 1 2 2 n yInxIn xIn x y yxxx x yx xxxx 解 5 3 tan xdx 22 2 2 tantansec1 tan sectantan sin tantan cos 1 tantancos cos 1 tancos 2 xxdxxxdx xxdxxdx x xdxdx x xdxdx x xInxc 解 原式 6 arctanxxdx 求 222 2 2 2 2 2 2 11 arctan arctanarctan 22 11 1 arctan 21 11 arctan 1 21 1 arctan 22 xd xxxx dx x xxdx x xxdx x xx xc 解 原式 四 证明题 1 证明方程有且仅有一正实根 3 10 xx 证明 设 3 1f xxx 1221 2222 12 22 2 0 10 1 10 0 1 0 1 0 01 00 00 0 0 31 fff x f f xf x f xx xx f xx xx x f xf x x xf f 且在上连续 至少存在 使得 即在 内至少有一根 即在 内至少有一实根 假设在 有两不同实根x 在上连续 在 内可导 且 至少 s t 而 3 1 10 xx 与假设相矛盾 方程有且只有一个正实根 2 arcsinarccos1x1 2 xx 证明 22 arcsinarccos 11 0 1 1 11 0 arcsin0arccos0 2 1 arcsin1 arccos1 2 1 arcsin 1 arccos 1 2 arcsinarccos1 1 2 f xxx fxx xx f xcf f f f xxxx 证明 设 综上所述 五 应用题 1 描绘下列函数的图形 2 1 yx x 3 22 3 3 Dy 0 0 121 2 y 2x 1 0 2 2 2 0 1 x xx yx y x yx 解 1 令得 令得 3 4 补充点 7179 2 1 2 2 2222 5 0 lim 0 x f xf xx 有铅直渐近线 6 如图所示 2 讨论函数 22 f xxInx 的单调区间并求极值 12 22 1 1 2 0 0 1 1 Df