福建省厦门市高二数学上学期期末试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年福建省厦门市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知等差数列an中，a1+a4=11，a2=4，则a3的值是（）a9b8c7d22已知命题p：若=0，则非零向量与的夹角为直角；命题q：函数f（x）=x2在其定义域上减函数，下列命题为假命题的是（）apqbpqcpqdpq3与双曲线=1有相同的渐近线，且焦点坐标是（3，0）的双曲线方程是（）a b c d4已知abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，其面积为，且a=2，b=60，则c等于（）a1b c2d25若ab，cd，则下列不等式成立的是（）a bacbdca2+c2b2+d2da+cb+d6已知p：x2+2x30；q：1ax1+a，且q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是（）a（4，+）b（，0c4，+）d（，0）7已知abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若acosc+（c2b）cosa=0，且cosacosc=，则abc是（）a直角三角形b等腰三角形c等边三角形d等腰三角形或直角三角形8如图所示，点p在椭圆（ab0）上，f（c，0）是椭圆的右焦点，点a、b是椭圆的顶点，若pfx轴，且=，则椭圆的离心率是（）a b c d9已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最小值为2，则a等于（）a3b2c2d310当x0时，x2+mx+10恒成立，且关于t的不等式t2+2t+m0有解，则实数m的取值范围是（）a1，+）b2，1c（，21，+）d（，211已知数列an中，a1=1，（n+1）an+1=2（a1+a2+an）（nn+），则数列an的通项公式是（）aan=ban=can=dan=12如图所示，过点（1，0）的直线与抛物线y2=x交于a、b两点，射线oa和ob分别和圆（x2）2+y2=4交于d、e两点，若=，则的最小值是（）a b c d二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13命题“x0r，2=x0+1”的否定是14已知直线l与双曲线c：x2=1交于a，b两点，且线段ab的中点为（2，1），则直线l的方程是15已知单调递增数列an满足an=3n2n（其中为常数，nn+），则实数的取值范围是16如图所示，某公园计划用鹅卵石铺成两条交叉的“健康石道”（线段ad和ce），并在这两条“健康石道”两端之间建设“花卉长廊”（线段ac和ed），以供市民休闲健身已铺设好的部分bd=20m，ed=10m，bed=45（bde为锐角三角形）由于设计要求，未铺设好的部分ab和bc的总长只能为40m，则剩余的“花卉长廊”（线段ac）最短可以是m三、解答题（共6小题，满分70分）17已知等比数列an（n=1，2，3，）满足a3=4，a6=32（1）求an的通项公式；（2）设等差数列bn满足b2=1，b4=a1+a3，求数列an+bn的前n项和tn18已知abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且csinc=（a）sina+（b）sinb（1）求角c的大小；（2）若a=2，c=2，求abc的周长19动圆m过定点（3，0），且与直线x=3相切，设圆心m的轨迹为c（1）求c的方程；（2）若过点p（6，0）的直线l与轨迹c交于a、b两点，且=2，求直线l的方程20在数列an（n=1，2，3，）中，a1=4，且3，an，an+1成等差数列；（1）设bn=an3，证明：数列bn是等比数列；（2）设cn=log2（2an6），记数列的前n项和为tn，证明：tn212015年11月30日，习近平主席在巴黎气候大会的讲话中宣布：“中国将于明年启动在发展中国家开展10个低碳示范区，100个减缓和适应气候变化项目及1000个应对气候变化培训名额的合作项目”某企业在国家科研部门的支持下，计划在a国启动减缓气候变化项目，重点进行技术攻关，将采用新工艺，把细颗粒物（pm2.5）转化为一种可利用的化工产品已知该企业处理成本p（x）（亿元）与处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为p（x）=另外技术人员培训费为2500万元，试验区基建费为1亿元（1）当0x10时，若计划在a国投入的总成本不超过5亿元，则该工艺处理量x的取值范围是多少？（2）该企业处理量为多少万吨时，才能使每万吨的平均成本最低，最低是多少亿元？附：投入总成本=处理成本+技术人员培训费+试验区基建费，平均成本=22设点a1（，0）和点a2（，0），直线a1m、a2m相交于点m，且它们的斜率之积是设m的轨迹为c，过点f（1，0）作直线l交c于p、q两点（1）求点m的轨迹方程；（2）求|pq|的最小值；（3）是否存在点n，使得以线段pq为直径的圆过该定点，若存在，求出定点n的坐标；若不存在，请说明理由2015-2016学年福建省厦门市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知等差数列an中，a1+a4=11，a2=4，则a3的值是（）a9b8c7d2【考点】等差数列的通项公式【分析】由等差数列的通项公式和性质可得a2+a3=a1+a4=11，结合a2=4可得【解答】解：等差数列an中a1+a4=11，a2=4，a2+a3=a1+a4=11，a3=114=7，故选：c2已知命题p：若=0，则非零向量与的夹角为直角；命题q：函数f（x）=x2在其定义域上减函数，下列命题为假命题的是（）apqbpqcpqdpq【考点】复合命题的真假【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假【解答】解：命题p：若=0，则非零向量与的夹角为直角，则p是真命题；命题q：函数f（x）=x2在其定义域上减函数，是假命题，则pq是假命题，故选：a3与双曲线=1有相同的渐近线，且焦点坐标是（3，0）的双曲线方程是（）a b c d【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线=1的渐近线方程为y=x，设所求双曲线的方程为=（0，且1），化为标准方程可得焦点坐标，由条件解方程即可得到所求方程【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=x，设所求双曲线的方程为=（0，且1），即有=1，由题意可得=3，解得=3，可得双曲线的方程为=1故选：b4已知abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，其面积为，且a=2，b=60，则c等于（）a1b c2d2【考点】正弦定理【分析】由题意和三角形的面积公式可得c的方程，解方程可得【解答】解：abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，其面积为，且a=2，b=60，面积s=acsinb，代值可得=2c，解得c=2故选：c5若ab，cd，则下列不等式成立的是（）a bacbdca2+c2b2+d2da+cb+d【考点】不等式的基本性质【分析】本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决【解答】解：ab，cd，设a=1，b=1，c=2，d=5分别代入选项a、b、c均不符合，故a、b、c均错，而选项d正确，故选：d，6已知p：x2+2x30；q：1ax1+a，且q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是（）a（4，+）b（，0c4，+）d（，0）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】p：x2+2x30，解得3x1由于q是p的必要不充分条件，可得，解得a范围即可【解答】解：p：x2+2x30，解得3x1；q：1ax1+a，q是p的必要不充分条件，解得a4故选：c7已知abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若acosc+（c2b）cosa=0，且cosacosc=，则abc是（）a直角三角形b等腰三角形c等边三角形d等腰三角形或直角三角形【考点】正弦定理；余弦定理【分析】利用正弦定理化简已知等式可得sinacosc+sinccosa=2sinbcosa，由诱导公式及三角形内角和定理可得sinb=2sinbcosa，结合范围b（0，），sinb0，可求a，又cosacosc=，解得cosc=，由范围c（0，），可求c，从而求得b=，即可得解【解答】解：acosc+（c2b）cosa=0，由正弦定理可得： sinacosc+sinccosa=2sinbcosa，sin（a+c）=sinb=2sinbcosa，b（0，），sinb0，解得：cosa=，由a（0，），可得：a=，又cosacosc=，解得：cosc=，由c（0，），可得：c=，b=ac=故选：a8如图所示，点p在椭圆（ab0）上，f（c，0）是椭圆的右焦点，点a、b是椭圆的顶点，若pfx轴，且=，则椭圆的离心率是（）a b c d【考点】椭圆的简单性质【分析】由已知得aboopf， =，从而得到=，由此能求出椭圆的离心率【解答】解：点p在椭圆（ab0）上，f（c，0）是椭圆的右焦点，点a、b是椭圆的顶点，pfx轴，且=，aboopf， =，pf=，ob=b，=，b=c，a=，e=故选：b9已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最小值为2，则a等于（）a3b2c2d3【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求得a的值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得a（2，2），化目标函数z=ax+y为y=ax+z，由图可知，当直线过a时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2a+2=2，则a=2故选：b10当x0时，x2+mx+10恒成立，且关于t的不等式t2+2t+m0有解，则实数m的取值范围是（）a1，+）b2，1c（，21，+）d（，2【考点】一元二次不等式的解法【分析】由当x0时，x2+mx+10恒成立，得到m（x+），利用基本不等式即可求出m的范围，再根据关于t的不等式t2+2t+m0有解，则=44m0，最后求其交集即可【解答】解：当x0时，x2+mx+10恒成立，m（x+），x+2=2，当且仅当x=1时取等号，m2，关于t的不等式t2+2t+m0有解，=44m0，m1，实数m的取值范围是2，1，故选：b11已知数列an中，a1=1，（n+1）an+1=2（a1+a2+an）（nn+），则数列an的通项公式是（）aan=ban=can=dan=【考点】数列递推式【分析】设数列an的前n项和为sn，根据a1=1，（n+1）an+1=2（a1+a2+an）=2sn（nn+），可得a2=1，当n2时，可得2an=（n+1）an+1nan，化为： =再利用“累乘求积”方法即可得出【解答】解：设数列an的前n项和为sn，a1=1，（n+1）an+1=2（a1+a2+an）=2sn（nn+），a2=1，当n2时，nan=2sn1，可得2an=（n+1）an+1nan，化为： =an=1=，综上可得：an=12如图所示，过点（1，0）的直线与抛物线y2=x交于a、b两点，射线oa和ob分别和圆（x2）2+y2=4交于d、e两点，若=，则的最小值是（）a b c d【考点】抛物线的简单性质【分析】设a（y12，y1），b（y22，y2），直线ab的方程为x=my+1，代入抛物线的方程，运用韦达定理，再由直线oa，ob代入圆方程，可得d，e的坐标，再由=，化简整理代入，即可得到所求最小值【解答】解：设a（y12，y1），b（y22，y2），直线ab的方程为x=my+1，代入抛物线的方程可得y2my1=0，即有y1y2=1，y1+y2=m，由直线oa：y=代入圆（x2）2+y2=4，可得：（1+y12）x24y12x=0，求得d（，），同理可得e（，），即有=，当且仅当m=0时，取得最小值故选：c二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13命题“x0r，2=x0+1”的否定是xr，2xx+1【考点】命题的否定【分析】估计特称命题的否定是全称命题进行求解即可【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定是xr，2xx+1，故答案为：是xr，2xx+114已知直线l与双曲线c：x2=1交于a，b两点，且线段ab的中点为（2，1），则直线l的方程是y=8x15【考点】双曲线的简单性质【分析】设a（x1，y1），b（x2，y2），代入双曲线的方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，由点斜式方程可得直线ab的方程，代入双曲线的方程，由判别式的符号，即可得到判断直线的存在性【解答】解：设a（x1，y1），b（x2，y2），可得x12=1，x22=1，两式相减可得，（x1x2）（x1+x2）=0，m为ab的中点，即有x1+x2=4，y1+y2=2，可得直线ab的斜率为k=8，即有直线ab的方程为y1=8（x2），即为8xy15=0由y=8x15代入双曲线的方程x2=1，可得60x2240x+229=0，即有=2402460229=240110，故存在直线ab故答案为：y=8x1515已知单调递增数列an满足an=3n2n（其中为常数，nn+），则实数的取值范围是3【考点】数列的函数特性【分析】单调递增数列an满足an=3n2n（其中为常数，nn+），可得：anan+1，化为：，利用数列的单调性即可得出【解答】解：单调递增数列an满足an=3n2n（其中为常数，nn+），anan+1，3n2n3n+12n+1，化为：，由于数列单调递增，=33故答案为：316如图所示，某公园计划用鹅卵石铺成两条交叉的“健康石道”（线段ad和ce），并在这两条“健康石道”两端之间建设“花卉长廊”（线段ac和ed），以供市民休闲健身已铺设好的部分bd=20m，ed=10m，bed=45（bde为锐角三角形）由于设计要求，未铺设好的部分ab和bc的总长只能为40m，则剩余的“花卉长廊”（线段ac）最短可以是20m【考点】解三角形的实际应用【分析】在bde中使用正弦定理求出dbe，设ab=x，在abc中利用余弦定理把ac表示为x的函数，求出函数的最小值即可【解答】解：在bde中，由正弦定理得：，即，解得sindbe=bde是锐角三角形，cosabc=cosdbe=设ab=x，则bc=40x，在abc中，由余弦定理得：ac2=ab2+bc22abbccosabc，ac2=x2+（40x）2x（40x）=3x2120x+1600=3（x20）2+400当x=20时，ac2取得最小值400，ac的最小值为20故答案为：20三、解答题（共6小题，满分70分）17已知等比数列an（n=1，2，3，）满足a3=4，a6=32（1）求an的通项公式；（2）设等差数列bn满足b2=1，b4=a1+a3，求数列an+bn的前n项和tn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（i）利用等比数列的通项公式即可得出；（ii）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可的【解答】解：（）设等比数列an的首项为a1，公比为qa3=4，a6=32，解得a1=1，q=2an=2n1（）设等差数列bn的首项为b1，公差为db2=1，b4=a1+a3，解得d=2，b1=1bn=1+2（n1）=2n3an+bn=2n1+（2n3）数列an+bn的前n项和tn=+=2n12n+n218已知abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且csinc=（a）sina+（b）sinb（1）求角c的大小；（2）若a=2，c=2，求abc的周长【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）由正弦定理结合条件可得a2+b2c2=ab，利用余弦定理可求cosc=，结合范围0c，即可求c（2）法一：由余弦定理结合条件整理可得b26b+8=0，即可解得b的值，从而可求周长；法二：由正弦定理，结合条件可得sina=，求得a，从而可求b，b的值，即可解得三角形周长【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理，结合条件：csinc=（a）sina+（b）sinb可得，c2=（a）a+（b）b =a2ab+b2ab=a2+b2aba2+b2c2=ab，=，即 cosc=，0c，c= （2）法一：由余弦定理，结合条件：a=2，c=2，又由（）知c=，可得 c2=a2+b22abcosc，4=12+b22，即b26b+8=0，解得b=2或b=4，经检验，两解均有意义 综上，abc周长为4+2或6+2 法二：由正弦定理，结合条件：a=2，c=2，又由（）知c=，可得 sina=ac，aca=或，从而b=或当b=时，abc为直角三角形，b=4，abc周长为6+2；当b=时，abc为等腰三角形，b=c=2，abc周长为4+2综上，abc周长为4+2或6+219动圆m过定点（3，0），且与直线x=3相切，设圆心m的轨迹为c（1）求c的方程；（2）若过点p（6，0）的直线l与轨迹c交于a、b两点，且=2，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质【分析】（1）根据题意便知圆心m的轨迹为以（3，0）为焦点，x=3为准线的抛物线，从而便可得出抛物线方程为y2=12x；（2）由条件可知直线l的斜率不为0，从而设l的方程为x=ty+6，设a（x1，y1），b（x2，y2），而根据便可得到y1=2y2直线方程带入抛物线方程消去x便可得y212ty72=0，由韦达定理即可得到，这样联立y1=2y2即可求出t的值，从而得出直线l的方程【解答】解：（1）由题意得，m到点（3，0）的距离与到直线x=3的距离都等于半径；由抛物线的定义可知，c的轨迹是抛物线，设其方程为y2=2px，则，；p=6；m的轨迹方程为y2=12x；（2）显然斜率不为0，设直线l：x=ty+6，a（x1，y1），b（x2，y2）；（6x1，y1）=2（x26，y2）；y1=2y2；由得y212ty72=0；，联立式解得，或；直线l的方程为y=2x12，或y=2x+1220在数列an（n=1，2，3，）中，a1=4，且3，an，an+1成等差数列；（1）设bn=an3，证明：数列bn是等比数列；（2）设cn=log2（2an6），记数列的前n项和为tn，证明：tn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（i）通过3，an，an+1成等差数列可知2an=3+an+1，变形可知an+13=2（an3），进而可得结论；（ii）通过（i）计算可知cn=n，进而裂项可知=（），并项相加即得结论【解答】证明：（i）3，an，an+1成等差数列，2an=3+an+1，变形得：an+13=2（an3），又bn=an3，=2，又a13=43=1，数列bn是首项为1、公比为2的等比数列；（ii）由（i）可知bn=an3=2n1，即an=3+2n1，cn=log2（2an6）=log22n=n，=（），tn=（1+）=（1）212015年11月30日，习近平主席在巴黎气候大会的讲话中宣布：“中国将于明年启动在发展中国家开展10个低碳示范区，100个减缓和适应气候变化项目及1000个应对气候变化培训名额的合作项目”某企业在国家科研部门的支持下，计划在a国启动减缓气候变化项目，重点进行技术攻关，将采用新工艺，把细颗粒物（pm2.5）转化为一种可利用的化工产品已知该企业处理成本p（x）（亿元）与处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为p（x）=另外技术人员培训费为2500万元，试验区基建费为1亿元（1）当0x10时，若计划在a国投入的总成本不超过5亿元，则该工艺处理量x的取值范围是多少？（2）该企业处理量为多少万吨时，才能使每万吨的平均成本最低，最低是多少亿元？附：投入总成本=处理成本+技术人员培训费+试验区基建费，平均成本=【考点】分段函数的应用【分析】（1）当0x10时，根据条件求出投入的总成本的表达式，解不等式即可得到结论（2）求出平均成本函数，利用分段函数的表达式结合基本不等式和一元二次函数的性质进行求解即可【解答】解：（1）设该企业计划在a国投入的总成本为q（x）（亿元），则当0x10时，q（x）=，依题意：q（x）=5，即x2+4x600，解得10x6，结合条件0x10，0x6（）依题意，该企业计划在a国投入的总成本当0x10时，q（x）=，当x10时，q（x）=x+，则平均处理成本当0x10时， =