福建师大附中高二数学上学期期末试卷（实验班含解析）.doc

2015-2016学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（实验班）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1若p是平面外一点，a为平面内一点，为平面的一个法向量，则点p到平面的距离是（）abcd2命题“x0r，x0+10或x02x00”的否定形式是（）ax0r，x0+10或bxr，x+10或x2x0cx0r，x0+10且dxr，x+10且x2x03下列有关命题的说法正确的是（）a“若xa且xb，则x2（a+b）x+ab0”的否命题为：“若x=a且x=b，则x2（a+b）x+ab=0”b“x=1”是“x25x6=0”的根的逆命题是真命题c命题“xr，使得x2+x+10”的否定是：“xr，均有x2+x+10”d命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题4如图，空间四边形oabc中，点m在oa上，且，点n为bc中点，则等于（）abcd5三棱锥abcd中，ab=ac=ad=2，bad=90，bac=60，cad=60，则=（）a2b2cd6如图在直三棱柱abca1b1c1中，acb=90，aa1=2，ac=bc=1 则异面直线a1b与ac所成角的余弦值是（）abcd7已知抛物线y2=8x，点q是圆c：x2+y2+2x8y+13=0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x=2的距离为d，则|pq|+d的最小值为（）a5b4c3d28已知抛物线c：y2=4x的焦点为f，直线y=（x1）与c交于a，b（a在x轴上方）两点，若=m，则m的值为（）abc2d39与圆（x+1）2+y2=1和圆（x5）2+y2=9都相切的圆的圆心轨迹是（）a椭圆和双曲线b两条双曲线c双曲线的两支d双曲线的一支10直线l过抛物线x2=2py（p0）的焦点，且与抛物线交于a、b两点，若线段ab的长是6，ab的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是（）ax2=12ybx2=8ycx2=6ydx2=4y11已知椭圆和双曲线焦点f1，f2相同，且离心率互为倒数，p是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当f1pf2=60时，椭圆的离心率为（）abcd12设椭圆的左、右焦点分别为f1，f2，离心率为e，过f2的直线与椭圆的交于a，b两点，若f1ab是以a为顶点的等腰直角三角形，则e2=（）a32b53c96d64二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13已知命题：“存在x1，2，使x2+2x+a0”为真命题，则a的取值范围是14与双曲线y2=1有相同渐近线，且与椭圆=1有共同焦点的双曲线方程是15如图，直角坐标系xoy所在的平面为，直角坐标系xoy所在的平面为，且二面角y轴的大小等于30已知内的曲线c的方程是3（x2）2+4y236=0，则曲线c在内的射影在坐标系xoy下的曲线方程是16已知f1，f2是椭圆+=1（m2）的左，右焦点，点p在椭圆上，若|pf1|pf2|=2m，则该椭圆离心率的取值范围为三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：1mt1+m（m0），若p是q的充分非必要条件，试求实数m的取值范围18如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点p（1，2），a（x1，y1），b（x2，y2）均在抛物线上（1）求该抛物线方程；（2）若ab的中点坐标为（1，1），求直线ab方程19在三棱柱abca1b1c1中，侧面abb1a1为矩形，ab=1，aa1=，d为aa1的中点，bd与ab1交于点o，co侧面abb1a1（）证明：bcab1；（）若oc=oa，求直线c1d与平面abc所成角的正弦值20直四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd为菱形，且bad=60，a1a=ab，e为bb1延长线上的一点，d1e面d1ac设ab=2（）求二面角eacd1的大小；（）在d1e上是否存在一点p，使a1p面eac？若存在，求d1p：pe的值；不存在，说明理由21如图所示，点f1（1，0），f2（1，0），动点m到点f2的距离是，线段mf1的中垂线交mf2于点p（）当点m变化时，求动点p的轨迹g的方程；（）设直线l：y=kx+m与轨迹g交于m、n两点，直线f2m与f2n的倾斜角分别为、，且+=，求证：直线l经过定点，并求该定点的坐标22如图，已知f为抛物线y2=4x的焦点，点a，b，c在该抛物线上，其中a，c关于x轴对称（a在第一象限），且直线bc经过点f（）若abc的重心为g（），求直线ab的方程；（）设sabo=s1，scfo=s2，其中o为坐标原点，求s12+s22的最小值2015-2016学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1若p是平面外一点，a为平面内一点，为平面的一个法向量，则点p到平面的距离是（）abcd【考点】点、线、面间的距离计算【分析】直接利用向量数量积的几何意义，求出点p到平面的距离即可【解答】解：设点p到平面的距离为d，p是平面外一点，a为平面内一点，为平面的一个法向量，=，又d=，d=点p到平面的距离是故选：c2命题“x0r，x0+10或x02x00”的否定形式是（）ax0r，x0+10或bxr，x+10或x2x0cx0r，x0+10且dxr，x+10且x2x0【考点】命题的否定【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x0r，x0+10或”的否定形式是：xr，x+10且x2x0故选：d3下列有关命题的说法正确的是（）a“若xa且xb，则x2（a+b）x+ab0”的否命题为：“若x=a且x=b，则x2（a+b）x+ab=0”b“x=1”是“x25x6=0”的根的逆命题是真命题c命题“xr，使得x2+x+10”的否定是：“xr，均有x2+x+10”d命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【考点】四种命题【分析】一一判断即可得出结论【解答】解：命题“若xa且xb，则x2（a+b）x+ab0”的否命题是：若x=a或x=b，则x2（a+b）x+ab=0，故a错误；x=1”是“x25x6=0”的根的逆命题是：x25x6=0的根是x=1，是假命题，故b错误；命题“xr使x2+x+10”是特称命题，其否定命题为：xr，使x2+x+10，故c错误；命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为命题“若sinxsiny”，则“xy”，正确；故选：d4如图，空间四边形oabc中，点m在oa上，且，点n为bc中点，则等于（）abcd【考点】向量在几何中的应用【分析】=【解答】解： =；又，故选b5三棱锥abcd中，ab=ac=ad=2，bad=90，bac=60，cad=60，则=（）a2b2cd【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据所给的条件把三棱锥底边上的向量写成两条侧棱的差，进行数量积的运算，这样应用的边长和角都是已知的，得到结果【解答】解： =02=2故选a6如图在直三棱柱abca1b1c1中，acb=90，aa1=2，ac=bc=1 则异面直线a1b与ac所成角的余弦值是（）abcd【考点】异面直线及其所成的角【分析】由aca1c1，知c1a1b是异面直线a1b与ac所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线a1b与ac所成角的余弦值【解答】解：在直三棱柱abca1b1c1中，aca1c1，c1a1b是异面直线a1b与ac所成角，acb=90，aa1=2，ac=bc=1，a1c1=1，cos=异面直线a1b与ac所成角的余弦值是故选：d7已知抛物线y2=8x，点q是圆c：x2+y2+2x8y+13=0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x=2的距离为d，则|pq|+d的最小值为（）a5b4c3d2【考点】抛物线的简单性质【分析】圆c：x2+y2+2x8y+13=0，以c（1，4）为圆心，半径等于2，抛物线y2=8x的准线为l：x=2，焦点为f（2，0），当p，q，f三点共线时，p到点q的距离d与点p到抛物线的焦点距离|pq|之和最小，从而d+|pq|的最小值为|fc|r【解答】解：如图所示，由题意知抛物线y2=8x的焦点为f（2，0），连接pf，则d=|pf|圆c的方程配方，得（x+1）2+（y4）2=4，圆心为c（1，4），半径r=2d+|pq|=|pf|+|pq|，显然，|pf|+|pq|fq|（当且仅当f，p，q三点共线时取等号）而|fq|为圆c上的动点q到定点f的距离，显然当f，q，c三点共线时取得最小值，最小值为|cf|r=2=52=3故选：c8已知抛物线c：y2=4x的焦点为f，直线y=（x1）与c交于a，b（a在x轴上方）两点，若=m，则m的值为（）abc2d3【考点】抛物线的简单性质【分析】由题意画出图形，联立方程组求出a，b的坐标，进一步得到|af|，|bf|的长度，结合=m把m转化为线段的长度比得答案【解答】解：如图，联立，解得，a在x轴上方，则|af|=xa+1=4，|bf|=，由=m，得故选：d9与圆（x+1）2+y2=1和圆（x5）2+y2=9都相切的圆的圆心轨迹是（）a椭圆和双曲线b两条双曲线c双曲线的两支d双曲线的一支【考点】曲线与方程【分析】由题意画出图形，利用圆心距与半径的关系结合双曲线的定义得答案【解答】解：如图，设动圆m的半径为r，当动圆m与圆c1、c2均外切时，|mc1|=r+1，|mc2|=r+3，|mc2|mc1|=2，这表明动点m到两定点c2，c1的距离之差是常数2根据双曲线的定义，动点m的轨迹为双曲线的左支；当动圆m与圆c1、c2均内切时，|mc1|=r1，|mc2|=r3，|mc1|mc2|=2，这表明动点m到两定点c1，c2的距离之差是常数2根据双曲线的定义，动点m的轨迹为双曲线的右支；当动圆m与圆c1外切，与c2内切时，|mc1|=r+1，|mc2|=r3，|mc1|mc2|=4，动点p的轨迹是以c1，c2为焦点，实轴长为4的双曲线右支；当动圆m与圆c1内切，与c2外切时，|mc1|=r1，|mc2|=r+3，|mc2|mc1|=4，动点p的轨迹是以c1，c2为焦点，实轴长为4的双曲线左支综上，与圆（x+1）2+y2=1和圆（x5）2+y2=9都相切的圆的圆心轨迹是两条双曲线故选：b10直线l过抛物线x2=2py（p0）的焦点，且与抛物线交于a、b两点，若线段ab的长是6，ab的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是（）ax2=12ybx2=8ycx2=6ydx2=4y【考点】抛物线的简单性质【分析】设a（x1，y1），b（x2，y2），由题意得到x1+x2=2，x1+x2+p=6，由此能求出此抛物线方程【解答】解：设a（x1，y1），b（x2，y2），直线l过抛物线x2=2py（p0）的焦点，且与抛物线交于a、b两点，ab的中点到x轴的距离是1，x1+x2=2，线段ab的长是6，x1+x2+p=6，解得p=2，此抛物线方程是x2=4y故选：d11已知椭圆和双曲线焦点f1，f2相同，且离心率互为倒数，p是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当f1pf2=60时，椭圆的离心率为（）abcd【考点】椭圆的简单性质【分析】可设f1p=m，f2p=n，f1f2=2c，由余弦定理便得到4c2=m2+n2mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义即可得到m+n=2a1，mn=2a1，从而可以求出m，n再根据离心率互为倒数便可得到c2=a1a2，将m，n及c2都带入上式便可得出a1=3a2，从而有，这样便可求出椭圆的离心率【解答】解：设f1p=m，f2p=n，f1f2=2c；由余弦定理得，（2c）2=m2+n22mncos60，即4c2=m2+n2mn；设a1是椭圆的长半轴，a2是双曲线的实半轴；由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，mn=2a2；m=a1+a2，n=a1a2，将它们代入前式得3a224c2+a12=0；离心率互为倒数；，c2=a1a2；（a2a1）=0；根据题意，a2a1，a1=3a2；e1e2=即3e12=1；e1=故选：a12设椭圆的左、右焦点分别为f1，f2，离心率为e，过f2的直线与椭圆的交于a，b两点，若f1ab是以a为顶点的等腰直角三角形，则e2=（）a32b53c96d64【考点】椭圆的简单性质【分析】设|f1f2|=2c，|af1|=m，若abf1构成以a为直角顶点的等腰直角三角形，则|ab|=|af1|=m，|bf1|=m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得e2=【解答】解：解：如图，设|f1f2|=2c，|af1|=m，若abf1构成以a为直角顶点的等腰直角三角形，则|ab|=|af1|=m，|bf1|=m，由椭圆的定义可得abf1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2）a，则|af2|=2am=（22）a，在直角三角形af1f2中，|f1f2|2=|af1|2+|af2|2，即4c2=4（2）2a2+4（1）2a2，c2=（96）a2，则e2=96故选：d二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13已知命题：“存在x1，2，使x2+2x+a0”为真命题，则a的取值范围是8，+）【考点】特称命题【分析】根据特称命题的真假关系即可得到结论【解答】解：若存在x1，2，使x2+2x+a0，则等价为存在x1，2，使x2+2xa，当存在x1，2时，设y=x2+2x=（x+1）21，则3y8，要使x2+2xa，则8a，即a8，故答案为：8，+）14与双曲线y2=1有相同渐近线，且与椭圆=1有共同焦点的双曲线方程是=1【考点】双曲线的简单性质【分析】设所求双曲线的方程为=1（a，b0），求得已知椭圆的焦点，可得c=，即a2+b2=6，再求已知双曲线的渐近线方程，可得=，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线的方程【解答】解：设所求双曲线的方程为=1（a，b0），由椭圆=1的焦点（0，），可得c=，即a2+b2=6，又双曲线y2=1的渐近线方程为y=x，可得=，解得a=，b=2，即有所求双曲线的方程为=1故答案为：=115如图，直角坐标系xoy所在的平面为，直角坐标系xoy所在的平面为，且二面角y轴的大小等于30已知内的曲线c的方程是3（x2）2+4y236=0，则曲线c在内的射影在坐标系xoy下的曲线方程是（x3）2+y2=9【考点】二面角的平面角及求法【分析】设出所给的图形上的任意一点的坐标，根据两坐标系之间的坐标关系，写出这点的对应的点，根据所设的点满足所给的方程，代入求出方程【解答】解：设3（x2）2+4y236=0上的任意点为a（x，y），a在平面上的射影是（x，y）直角坐标系xoy所在的平面为，直角坐标系xoy所在的平面为，且二面角y轴的大小等于30根据题意，得到x=x，y=y，3（x2）2+4y236=0，3（x2）2+4y236=0（x3）2+y2=9故答案为：（x3）2+y2=916已知f1，f2是椭圆+=1（m2）的左，右焦点，点p在椭圆上，若|pf1|pf2|=2m，则该椭圆离心率的取值范围为【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆的定义可得|pf1|+|pf2|=2m，利用基本不等式的性质可得：|pf1|+|pf2|，化简整理即可得出另一方面：设f1pf2=，由余弦定理可得： +2|pf1|pf2|cos=（2c）2=16+2|pf1|pf2|=4m2相减利用三角函数的单调性、不等式的解法即可得出【解答】解：由椭圆的定义可得|pf1|+|pf2|=2m，2m=|pf1|+|pf2|=2，化为，又m2，解得另一方面：设f1pf2=，由余弦定理可得： +2|pf1|pf2|cos=（2c）2=16+2|pf1|pf2|=4m2相减可得：1+cos=0，），02m22m+=，该椭圆离心率的取值范围为，故答案为：三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：1mt1+m（m0），若p是q的充分非必要条件，试求实数m的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的标准方程【分析】由p是q的充分非必要条件可知q是p的充分条件，利用基本不等式即可求出【解答】解：由命题p得（t+2）（t10）0，即2t10，即t（2，10），由命题q：1mt1+m（m0），即t（1m，1+m）由题意及逆否命题的等价性可知qp，即（1m，1+m）（2，10），由1m2，1+m10（不同时取等号）及m0得0m3，所求m的取值范围为（0，318如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点p（1，2），a（x1，y1），b（x2，y2）均在抛物线上（1）求该抛物线方程；（2）若ab的中点坐标为（1，1），求直线ab方程【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】（1）由题意设出抛物线方程，代入p点坐标求p，则抛物线方程可求；（2）把a，b的坐标代入抛物线方程，作差后结合ab的中点坐标求出ab所在直线的斜率，由点斜式得ab所在直线方程【解答】解：（1）由题意可设抛物线方程为y2=2px（p0），p（1，2）在抛物线上，22=2p，即p=2抛物线方程为：y2=4x；（2）a（x1，y1），b（x2，y2）在抛物线上，两式作差得：（y1y2）（y1+y2）=4（x1x2），又ab的中点坐标为（1，1），y1+y2=2，则直线ab方程为y+1=2（x1），即2x+y1=019在三棱柱abca1b1c1中，侧面abb1a1为矩形，ab=1，aa1=，d为aa1的中点，bd与ab1交于点o，co侧面abb1a1（）证明：bcab1；（）若oc=oa，求直线c1d与平面abc所成角的正弦值【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角【分析】（）要证明bcab1，可证明ab1垂直于bc所在的平面bcd，已知co垂直于侧面abb1a1，所以co垂直于ab1，只要在矩形abb1a1内证明bd垂直于ab1即可，可利用角的关系加以证明；（）分别以od，ob1，oc所在的直线为x，y，z轴，以o为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面abc的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论【解答】（i）证明：由题意，因为abb1a1是矩形，d为aa1中点，ab=1，aa1=，ad=，所以在直角三角形abb1中，tanab1b=，在直角三角形abd中，tanabd=，所以ab1b=abd，又bab1+ab1b=90，bab1+abd=90，所以在直角三角形abo中，故boa=90，即bdab1，又因为co侧面abb1a1，ab1侧面abb1a1，所以coab1所以，ab1面bcd，因为bc面bcd，所以bcab1（）解：如图，分别以od，ob1，oc所在的直线为x，y，z轴，以o为原点，建立空间直角坐标系，则a（0，0），b（，0，0），c（0，0，），b1（0，0），d（，0，0），又因为=2，所以所以=（，0），=（0，），=（），设平面abc的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，）是平面abc的一个法向量，设直线c1d与平面abc所成角为，则sin=20直四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd为菱形，且bad=60，a1a=ab，e为bb1延长线上的一点，d1e面d1ac设ab=2（）求二面角eacd1的大小；（）在d1e上是否存在一点p，使a1p面eac？若存在，求d1p：pe的值；不存在，说明理由【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）设ac与bd交于o，以o为原点，oa，ob，为x轴，y轴，过o作面abcd的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角eacd1的大小（）设=（），得=（0，），=（，），由此能求出存在点p使a1p面eac，此时d1p：pe=2：3【解答】解：（）设ac与bd交于o，如图以o为原点，oa，ob，为x轴，y轴，过o作面abcd的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则a（，0，0），b（0，1，0），c（，0，0），d（0，1，0），d1（0，1，2），设e（0，1，2+h），则=（0，2，h），=（2，0，0），=（），d1e平面d1ac，d1eac，d1ed1a，22h=0，h=1，即e（0，1，3），=（0，2，1），=（，1，3），设平面eac的法向量为=（x，y，z），则由，令z=1，得=（0，3，1），d1e面d1ac，平面d1ac的法向量为=（0，2，1），cos=，二面角eacd1的大小为45（）设=（），得=（0，），=+=（，1，0）+（0，）=（，），a1p面eac，=0，解得，存在点p使a1p面eac，此时d1p：pe=2：321如图所示，点f1（1，0），f2（1，0），动点m到点f2的距离是，线段mf1的中垂线交mf2于点p（）当点m变化时，求动点p的轨迹g的方程；（）设直线l：y=kx+m与轨迹g交于m、n两点，直线f2m与f2n的倾斜角分别为、，且+=，求证：直线l经过定点，并求该定点的坐标【考点】椭圆的简单性质【分析】（）连接pf1，运用垂直平分线定理和椭圆的定义，可得p的轨迹为椭圆，方程为；（）联立直线方程和椭圆方程，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，运用韦达定理和直线的斜率公式