高中数学第四章指数函数的性质与图像（第2课时）指数函数的性质与图像的应用学案新人教B版.docx

第2课时指数函数的性质与图像的应用考点学习目标核心素养与指数函数有关的复合函数掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断数学运算指数函数性质的应用能借助指数函数性质比较大小，会解简单的指数方程、不等式数学运算 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y2x是指数函数()(2)函数y2x1是指数函数()(3)函数y(2)x是指数函数()答案：(1)(2)(3) (2019南昌检测)如果指数函数f(x)(a1)x是R上的减函数，那么实数a的取值范围是()Aa2C1a2 D0a1解析：选C.由题意知0a11，即1a2. (2019吉林省实验中学期中)已知集合Ax|x4，则AB()A Bx|0x3Cx|1x3 Dx|2x4x|x2，故ABx|2x0，且a1，若函数f(x)2ax4在区间1，2上的最大值为10，则a_解析：若a1，则函数yax在区间1，2上是递增的，当x2时，f(x)取得最大值f(2)2a2410，即a27，又a1，所以a.若0a0，原方程可化为t26t50，解得t5或t1，即5x5或5x1，所以x1或x0.指数函数单调性的应用命题角度一：比较大小比较下列各题中两个值的大小：(1)1.72.5，1.73；(2)1.70.3，1.50.3；(3)1.70.3，0.83.1.【解】(1)因为1.71，所以y1.7x在(，)上是增函数因为2.53，所以1.72.51.73.(2)法一：因为1.71.5，所以在(0，)上，y1.7x的图像位于y1.5x的图像的上方而0.30，所以1.70.31.50.3.法二：因为1.50.30，且，又1，0.30，所以1，所以1.70.31.50.3.(3)因为1.70.31.701，0.83.10.801，所以1.70.30.83.1.当两个指数底数相同时，利用指数函数的单调性直接比较大小；当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和1. 比较下列各题中两个值的大小(1)0.80.1，1.250.2；(2)，1.解：(1)因为00.81，所以y0.8x在R上是减函数因为0.20.1，所以0.80.21.250.20.80.1，即0.80.11.250.2.(2)因为01，所以函数y在R上是减函数又因为0，所以1，即1.命题角度二：解指数不等式解关于x的不等式：a2x1ax5(a0，且a1)【解】(1)当0a1时，因为a2x1ax5，所以2x1x5，解得x6.综上所述，当0a1时，不等式的解集为x|x6解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响 已知(a2a2)x(a2a2)1x，则x的取值范围是_解析：因为a2a21，所以(a2a2)x(a2a2)1xx1xx.所以x.答案：命题角度三：与指数函数复合的单调性问题(1)求函数y的单调区间；(2)求函数y817的单调区间【解】(1)y的定义域为R.在(，3上，yx26x17是减函数，所以y在(，3上是增函数在(3，)上，yx26x17是增函数，所以y在(3，)上是减函数所以y的增区间是(，3，减区间是(3，)(2)设t，又yt28t17在(，4上单调递减，在(4，)上单调递增令4，得x2.所以当2x12，即4t1t2，所以t8t117t8t217.所以y817的单调增区间是2，)同理可得减区间是(，2)复合函数单调性问题归根结底是由x11时，y关于u为增函数；当0a1时，原函数的增区间为(1，)，减区间为(，1；当0a1时，原函数的增区间为(，1，减区间为(1，)(2)已知函数y的定义域为x|x0设y，u0.2x，易知u0.2x为减函数而根据y的图像可知在区间(，1)和(1，)上，y是关于u的减函数，所以原函数的增区间为(，0)和(0，)1若a0.5，b0.5，c0.5，则a，b，c的大小关系是()Aabc BabcCacb Dbca解析：选B.因为y0.5x在R上是减函数，且，所以0.50.50.5.2方程42x116的解是()Ax BxCx1 Dx2解析：选B.42x142，所以2x12，x.3函数f(x)的单调递增区间为()A(，0 B0，)C(1，) D(，1)解析：选A.因为f(x)，0a2x22x3的解集为_解析：因为0a1，所以yax在R上是减函数，又因为a2x23x2a2x22x3，所以2x23x22x22x3，解得x1.答案：(1，)A基础达标1下列判断正确的是()A2.52.52.53 B0.820.83C2 D0.90.30.90.5解析：选D.因为y0.9x是减函数，且0.50.3，所以0.90.30.90.5.2若函数f(x)(12a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B.由已知，得012a1，解得0a，即实数a的取值范围是.3若，则实数a的取值范围是()A(1，) B.C(，1) D.解析：选B.因为函数y在R上为减函数，所以2a132a，所以a.4设函数f(x)a|x|(a0，且a1)，若f(2)4，则()Af(2)f(1) Bf(1)f(2)Cf(1)f(2) Df(2)f(2)解析：选A.f(2)a24，a，f(x)2|x|，所以f(2)f(1)5函数y的单调递增区间为()A(，) B(0，)C(1，) D(0，1)解析：选A.函数的定义域为R.设u1x，y，因为u1x在R上为减函数，y在(，)上为减函数，所以y在(，)上是增函数，故选A.6若1x0，a2x，b2x，c0.2x，则a，b，c的大小关系是_解析：因为1x0，所以由指数函数的图像和性质可得：2x1，2x1，0.2x1，又因为0.5x0.2x，所以bac.答案：bac7满足方程4x2x20的x值为_解析：设t2x(t0)，则原方程化为t2t20，所以t1或t2.因为t0，所以t2舍去所以t1，即2x1，所以x0.答案：08函数y3x22x的值域为_解析：设ux22x，则y3u，ux22x(x1)211，所以y3u31，所以函数y3x22x的值域是.答案：9已知指数函数f(x)的图像过点P(3，8)，且函数g(x)的图像与f(x)的图像关于y轴对称，又g(2x1)g(3x)，求x的取值范围解：设f(x)ax(a0且a1)，因为f(3)8，所以a38，即a2，又因为g(x)与f(x)的图像关于y轴对称，所以g(x)，因此g(2x1)g(3x)，即，所以2x13x，解得x1.10如果函数ya2x2ax1(a0且a1)在1，1上的最大值为14，求a的值解：函数ya2x2ax1(ax1)22，x1，1若a1，则x1时，函数取最大值a22a114，解得a3.若0a1，则x1时，函数取最大值a22a1114，解得a.综上所述，a3或.B能力提升11已知函数f(x)ax(a0，且a1)，且f(2)f(3)，则a的取值范围是()Aa0 Ba1Ca1 D0a1解析：选D.因为23，f(2)f(3)，又f(x)ax，所以，所以1，所以0a1.12已知函数f(x)a2x(a0且a1)，当x2时，f(x)1，则f(x)在R上()A是增函数B是减函数C当x2时是增函数，当x2时是减函数D当x2时是减函数，当x2时是增函数解析：选A.令2xt，则t2x是减函数，因为当x2时，f(x)1，所以当t0时，at1.所以0a1，所以f(x)在R上是增函数，故选A.13(2019河南省洛阳市期中)已知函数f(x)1a.(1)当a2，x1，2时，求函数f(x)的最大值与最小值；(2)若函数f(x)在1，)上恒有2f(x)3，求实数a的取值范围解：(1)f(x)1221.令m，则y(m1)2.由x1，2，得m，所以当m时，y取得最大值，ymax，当m时，y取得最小值，ymin，则函数f(x)的最大值为，最小值为.(2)因为2f(x)321a33a233xa23x，所以33xa23x在1，)上恒成立，所以a.设3xt，由x1，)，得t3.设h(t)3t(t3)，(t)2t(t3)，容易证明h(t)在3，)上单调递减，(t)在3，)上单调递增，所以h(t)maxh(3)，(t)min(3)，所以a，即实数a的取值范围是.C拓展探究14设函数f(x).(1)证明：函数f(x)是奇函数；(2)证明：函数f(x)在(，)内是增函数；(3)求函数f(x)在1，2上的值域解：(1)证明：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函