高中数学第六章平面向量及其应用6.3.26.3.36.3.4（第2课时）两向量共线的充要条件及应用学案新人教A版.docx

第2课时两向量共线的充要条件及应用 问题导学预习教材P31P33的内容，思考以下问题：1两向量共线的充要条件是什么？2如何利用向量的坐标表示两个向量共线？两向量共线的充要条件设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.则a，b(b0)共线的充要条件是x1y2x2y10名师点拨 (1)两个向量共线的坐标表示还可以写成(x20，y20)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例(2)当a0，b0时，ab，此时x1y2x2y10也成立，即对任意向量a，b都有x1y2x2y10ab. 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量(1，2)与向量(4，8)共线()(2)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，若ab，则必有x1y2x2y1.()答案：(1)(2) 下列各组的两个向量共线的是()Aa1(2，3)，b1(4，6)Ba2(1，2)，b2(7，14)Ca3(2，3)，b3(3，2)Da4(3，2)，b4(6，4)答案：D 已知两点A(2，1)，B(3，1)，与平行且方向相反的向量a可能是()Aa(1，2)Ba(9，3)Ca(1，2)Da(4，8)解析：选D.由题意得(1，2)，结合选项可知a(4，8)4(1，2)4，所以D正确 已知a(3，1)，b(2，)，若ab，则实数的值为_答案：向量共线的判定(1)已知向量a(1，2)，b(3，4)若(3ab)(akb)，则k_(2)已知A(1，1)，B(1，3)，C(2，5)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？【解】(1)3ab(0，10)，akb(13k，24k)，因为(3ab)(akb)，所以0(1030k)0，所以k.故填.(2)因为(1(1)，3(1)(2，4)，(2(1)，5(1)(3，6)，因为26340，所以，所以与共线又，所以与的方向相同变问法若本例(1)条件不变，判断向量(3ab)与(akb)是反向还是同向？解：由向量(3ab)与(akb)共线，得k，所以3ab(3，6)(3，4)(0，10)，akbab(1，2)(3，4)(0，10)，所以向量(3ab)与(akb)同向向量共线的判定方法1(2019河北衡水景县中学检测)已知向量a(1，2)，b(，1)若ab与a平行，则()A5BC7 D解析：选D.ab(1，2)(，1)(1，3)，由ab与a平行，可得132(1)0，解得.2已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，3)判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解：(0，4)(2，1)(2，3)，(5，3)(1，3)(4，6)法一：因为(2)(6)340，且(2)40，所以与共线且方向相反法二：因为2，所以与共线且方向相反三点共线问题(1)已知(3，4)，(7，12)，(9，16)，求证：点A，B，C共线；(2)设向量(k，12)，(4，5)，(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线【解】(1)证明：由题意知(4，8)，(6，12)，所以，即与共线又因为与有公共点A，所以点A，B，C共线(2)法一：因为A，B，C三点共线，即与共线，所以存在实数(R)，使得.因为(4k，7)，(10k，k12)，所以(4k，7)(10k，k12)，即解得k2或k11.所以当k2或k11时，A，B，C三点共线法二：由已知得与共线，因为(4k，7)，(10k，k12)，所以(4k)(k12)7(10k)0，所以k29k220，解得k2或k11.所以当k2或k11时，A，B，C三点共线判断向量(或三点)共线的三个步骤 1已知A，B，C三点共线，且A(3，6)，B(5，2)，若C点的纵坐标为6，则C点的横坐标为()A3B9C9 D3解析：选A.设C(x，6)，因为A，B，C三点共线，所以，又(2，4)，(x3，0)，所以204(x3)0.所以x3.2设点A(x，1)，B(2x，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时A，B，C，D能否在同一条直线上？解：(2x，2)(x，1)(x，1)，(1，2x)(2x，2)(12x，2x2)，(5，3x)(1，2x)(4，x)由与共线，所以x214，所以x2.又与方向相同，所以x2.所以当x2时，与共线且方向相同此时，(2，1)，(3，2)，而2231，所以与不共线，所以A，B，C三点不在同一条直线上所以A，B，C，D不在同一条直线上向量共线的应用 如图所示，在AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，AD与BC相交于点M，求点M的坐标【解】因为(0，5)，所以C.因为(4，3)，所以D.设M(x，y)，则(x，y5)，.因为，所以x2(y5)0，即7x4y20.又，因为，所以x40，即7x16y20.联立解得x，y2，故点M的坐标为.应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤 如图所示，已知ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标解：因为A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，所以(37，58)(4，3)，(47，38)(3，5)又因为D是BC的中点，所以()(43，35)(7，8).因为M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点，所以.1已知向量a(1，2)，b(m，4)，且ab，那么2ab()A(4，0)B(0，4)C(4，8) D(4，8)解析：选C.因为向量a(1，2)，b(m，4)，且ab，所以14(2)m，所以m2，所以2ab(2m，44)(4，8)2若三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，则下列式子一定正确的是()A2mn3 Bnm1Cm3，n5 Dm2n3解析：选A.因为三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，所以，所以(1，m3)(2，n3)，所以，所以m3(n3)，即2mn3.3平面内给定三个向量a(3，2)，b(1，2)，c(4，1)(1)求满足ambnc的实数m，n的值；(2)若(akc)(2ba)，求实数k的值解：(1)因为ambnc，所以(3，2)m(1，2)n(4，1)(m4n，2mn)所以解得(2)因为(akc)(2ba)，又akc(34k，2k)，2ba(5，2)，所以2(34k)(5)(2k)0.所以k.A基础达标1已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，则2a3b()A(5，10)B(4，8)C(3，6) D(2，4)解析：选B.因为平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，所以1m(2)20，解得m4，所以2a3b2(1，2)3(2，4)(4，8)2已知a(sin ，1)，b(cos ，2)，若ba，则tan ()A. B2C D2解析：选A.因为ba，所以2sin cos ，所以，所以tan .3已知向量a(1，2)，b(0，1)，设uakb，v2ab，若uv，则实数k的值是()A BC D解析：选B.v2(1，2)(0，1)(2，3)，u(1，2)k(0，1)(1，2k)因为uv，所以2(2k)130，解得k.4若i2j，(3x)i(4y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x，y的值可能分别为()A1，2 B2，2C3，2 D2，4解析：选B.由题意知，(1，2)，(3x，4y)因为，所以4y2(3x)0，即2xy20.只有B选项，x2，y2代入满足故选B.5已知A(1，3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是()A(9，1) B(9，1)C(9，1) D(9，1)解析：选C.设点C的坐标是(x，y)，因为A，B，C三点共线，所以.因为(1，3)，(x，y)(1，3)(x1，y3)，所以7(y3)(x1)0，整理得x2y7，经检验可知点(9，1)符合要求，故选C.6已知向量a(3x1，4)与b(1，2)共线，则实数x的值为_解析：因为向量a(3x1，4)与b(1，2)共线，所以2(3x1)410，解得x1.答案：17已知A(2，1)，B(0，2)，C(2，1)，O(0，0)，给出下列结论：直线OC与直线BA平行；2.其中，正确结论的序号为_解析：因为(2，1)，(2，1)，所以，又直线OC，BA不重合，所以直线OCBA，所以正确；因为，所以错误；因为(0，2)，所以正确；因为(4，0)，2(0，2)2(2，1)(4，0)，所以正确答案：8对于任意的两个向量m(a，b)，n(c，d)，规定运算“”为mn(acbd，bcad)，运算“”为mn(ac，bd)设m(p，q)，若(1，2)m(5，0)，则(1，2)m等于_解析：由(1，2)m(5，0)，可得解得所以(1，2)m(1，2)(1，2)(2，0)答案：(2，0)9已知a(1，0)，b(2，1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若2a3b，amb且A，B，C三点共线，求m的值解：(1)kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)因为kab与a2b共线，所以2(k2)(1)50，得k.所以当k时，kab与a2b共线(2)因为A，B，C三点共线，所以，R，即2a3b(amb)，所以解得m.10(1)已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2，求M，N及的坐标；(2)已知P1(2，1)，P2(1，3)，P在直线P1P2上，且|.求点P的坐标解：(1)法一：由A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，可得(2，4)(3，4)(1，8)，(3，1)(3，4)(6，3)，所以33(1，8)(3，24)，22(6，3)(12，6)设M(x1，y1)，N(x2，y2)则(x13，y14)(3，24)，(x23，y24)(12，6)，所以x10，y120，x29，y22，即M(0，20)，N(9，2)，所以(9，2)(0，20)(9，18)法二：设点O为坐标原点，则由3，2，可得3()，2()，从而32，2，所以3(2，4)2(3，4)(0，20)，2(3，1)(3，4)(9，2)，即点M(0，20)，N(9，2)，故(9，2)(0，20)(9，18)(2)当点P在线段P1P2上时，如图a：则有，设点P的坐标为(x，y)，所以(x2，y1)(1x，3y)，所以解得故点P的坐标为.当点P在线段P2P1的延长线上时，如图b：则有，设点P的坐标为(x，y)，所以(x2，y1)(1x，3y)，所以解得故点P的坐标为(8，9)综上可得点P的坐标为或(8，9)B能力提升11已知向量a(1，0)，b(0，1)，ckab(kR)，dab，如果cd，那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向解析：选D.因为a(1，0)，b(0，1)，若k1，则cab(1，1)，dab(1，1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k1，则cab(1，1)，dab(1，1)，即cd且c与d反向12已知向量a(2，3)，ba，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为_解析：由ba，可设ba(2，3)设B(x，y)，则(x1，y2)b.由又B点在坐标轴上，则120或320，所以B或.答案：或13.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD交点P的坐标为_解析：设P(x，y)，则(x1，y)，(5，4)，(3，6)，(4，0)由B，P，D三点共线可得(5，4)又因为(54，4)，由与共线得，(54)6120.解得，所以，所以P的坐标为.答案：14(2019江苏扬州中学第一学期阶段性测试)设(2，1)，(3，0)，(m，3)(1)当m8时，将用和表示；(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件解：(1)当m8时，(8，3)，设xy，则x(2，1)y(3，0)(2x