谈椭圆焦半径的几何转化[文档资料]

谈椭圆焦半径的几何转化 本文档格式为 WORD,感谢你的阅读。 我们平时对解析几何的认识是几何问题代数化，即用代数方法解决几何问题 .因此，往往将思路固定在了代数方法而忽略了其本质还是几何问题 .事实上，解析几何问题合理的方式是要优先运用几何性质，然后运用代数技巧 .就如老师辅导学生一样，因为学生才是主体，若学生自身不努力，那老师的辅导是很艰难的 . 对于江苏高考，解析几何有其特殊的重要地位，一般是 18题，若此题做不好，那分数不但得不高，还会产生 焦虑，影响后两道难题 .而通过笔者的研究，解析几何问题也是有规可循的 .原因是 2002 年初中课改，已经将韦达定理排除在课程之外，命题就较为单一 .08 年、 09 年高考命题是直线和圆的问题，需要紧扣圆的几何性质解决，而 10年、 11年、12年又回到了直线和椭圆问题，因此，直线和椭圆问题仍会是高考解析几何的命题重点 .那是不是因为椭圆的性质少了，就纯用代数方法去解决了呢？ 下面笔者就 “ 直线过椭圆焦点 ” 问题来谈一谈 .（附注：直线和椭圆的三类相交问题是指 “ 直线过椭圆焦点 ” 问题、 “ 直线过椭圆上已知点 ” 问题、 “ 直线 过椭圆中心 ” 问题 .） 例 1（ 2012 年江苏）如图 ,在平面直角坐标系 xOy 中 ,椭圆 x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0).已知 (1,e)和 (e,32)都在椭圆上 ,其中 e 为椭圆的离心率 . （ 1）求椭圆的方程； （ 2）设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点 ,且直线 AF1与直线 BF2 平行 ,AF2 与 BF1 交于点 P. ()若 AF1-BF2=62,求直线 AF1 的斜率； ()求证 :PF1+PF2 是定值 . 分析 1 第一 小题求椭圆的方程就要求两个参数，而已知条件为两个点，利用方程思想即可解决 . 解 (1)由题设知 ,a2=b2+c2,e=ca,由点 (1,e)在椭圆上 ,得 12a2+e2b2=11a2+c2a2b2=1b2+c2=a2b2a2=a2b2b2=1,所以 c2=a2-1. 由点 (e,32)在椭圆上 ,得e2a2+(32)2b2=1c2a4+(32)21=1a2-1a4+34=1a4-4a2+4=0a2=2. 所以椭圆的方程为 x22+y2=1. 分析 2 第二小 题很多人的想法就是代数运算，设出直线 AF1 的方程，根据平行关系得出直线 BF2 的方程，从而联立方程解出 A,B 两点的坐标，从而求出 AF1,BF2 的长，进而解决第二小题，过程计算非常复杂，见下方答案： (2)由 (1)得 F1(-1,0),F2(1,0),又因为 AF1BF2, 所以设 AF1、 BF2 的方程分别为 my=x+1,my=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),y10,y20. 所以 x212+y21=1， my1=x1+1 (m2+2)y21-2my1-1=0y1=m+2m2+2m2+2. 所以 AF1=(x1+1)2+(y1-0)2=(my1)2+y21 =m2+1 m+2m2+2m2+2=2(m2+1)+mm2+1m2+2. 同理 ,BF2=2(m2+1)-mm2+1m2+2. ()由 得 ,AF1-BF2=2mm2+1m2+2. 解 2mm2+1m2+2=62 得 m2=2. 注意到 m0,所以 m=2. 所以直线 AF1 的斜率为 1m=62. ()证明 :因为 AF1BF 2,所以 PBPF1=BF2AF1, 即 PBPF1+1=BF2AF1+1PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1. 所以 PF1=AF1AF1+BF2BF1 . 由点 B 在椭圆上知 , BF1+BF2=22, 所以 PF1=AF1AF1+BF2(22-BF2). 同理 PF2=BF2AF1+BF2(22-AF1). 所以 PF1+PF2=AF1AF1+BF2 (22-BF2)+BF2AF1+BF2(22 函数式为 y=3sin6t+10 （ 2）由题意，水深 y4.5+7, 即y=3sin6t+1011.5, t 0,24化简得 sin6t12 ，于是 t 1,5或 t 13,17 所以，该船在 1 时至 5 时或 13时至 17 时能安全进港 若该船当天安全离港，在港内停留的时间最多不能超过 16 h 函数 y=Asin(x+) 作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究的实际问题十分广泛 .由于周期现象有明显的图象特征，在解决这些实际问题的过程中，体验图象的应用，既可以加深对函数 y=Asin(x+) 的图象和性质的认识和理解，又能培养数学应用的意识和数学应用的能力 .在学习函数 y=Asin(x+) 时，是一个值得我们引起关注的重要环节 -AF1)=22-2AF1 BF2AF1+BF2. 由 得 ,AF1+BF2=22(m2+1)m2+2,AF1 BF2=m2+1m2+2, 所以 PF1+PF2=22-22=322. 所以 PF1+PF2 是定值 . 分析 3 如果能重视解析几何问题的本质还是几何问题，优先思考几何性质的运用，那就简单很多了 .那过焦 点的直线 AF1 如何求呢？关键是对点 A 的处理，除了上述代数上的 “ 设点法 ” ，还可以根据几何图形用 “ 设角法 ”. 如右图，设 AF1O= ，点 A 到相应准线的距离为 d，根据统一定义：而将 d 平移到对称轴 F1F2 上即为 OC，因此 AF1=ed=e OC=e (CF1+F1O).而 CF1 是焦点到相应准线的距离即为 p，且在直角 AF1O 中， OF1=AF1 cos ，哪怕 为钝角，还是成立的 .所以， AF1=e(p+AF1 cos). 从而解出 AF1=ep1-ecos. 同理： BF2=ep1+ecos. 所以 AF1-BF2=ep1-ecos -ep1+ecos=62 （其中离心率 e=22，焦准距 p=1），则 cos=63 ，所以 kAF1=tan=22.运用了几何性质来解题后，代数运算过程大量减少 . 第二小题同样可以运用几何性质来解决， 因为 AF1BF2 ，则 PAF1PF2B ， 所以 PF1PB=AF1BF2. 又因为 BF1+BF2=2a,即 PF1+PB+ep1+ecos=2a. 由 两式可得 PF1=324+cos. 同理可得 PF2=324-cos. 所以 PF1+PF2=322,即 PF1+PF2 是定值 . 根据以上研究，笔者将两种方法的结构整合，考虑直线过椭圆的焦点时，只需考虑焦点弦 AB，因而只需焦半径 AF（或 BF），那如何确定焦半径，可以设角（设 =AFO ）或设点坐标（设 A(x,y)），即 “ 设角法 ” （就是有人认为所谓的极坐标法）与 “ 设点法 ”.“ 设点法 ” 表面上好像有两个变量 x,y，实际上由于点在椭圆上即满足椭圆方程，即由一个变量决定点 A 的位置 .但每次计算成为这种纯代数法的弊端 .而如果注重了解析几何问题的几何