甘肃省张掖市高三数学三诊试卷 理（含解析）.doc

2016年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2若r，则“=0”是“sincos”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件3设sn为等差数列an的前n项和，若a3=3，s9s6=27，则该数列的首项a1等于（）abcd4某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的n=5，则输出i=（）a6b7c8d95双曲线2y2=1的渐近线与圆x2+（y+a）2=1相切，则正实数a的值为（）abcd6在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线c为正态分布n（1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若xn（，a2），则p（x+）=0.6826p（2x+2）=0.9544a1193b1359c2718d34137已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）a16b4c8d28已知0，函数f（x）=cos（x+）在（，）上单调递增，则的取值范围是（）a，b，c，d，9在abc中， +=2，|=1，点p在am上且满足=2，则（+）等于（）abcd10已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数f（x），f（0）0，且f（x）的值域为0，+），则的最小值为（）a3bc2d11已知椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为f1（c，0），f2（c，0），若椭圆上存在点p使=，则该椭圆的离心率的取值范围为（）a（0，）b（）c（0，）d（，1）12若函数f（x）=x2+ex（x0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）a（）b（）c（）d（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13二项式的展开式中常数项为14若变量x，y满足约束条件且z=5yx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是15我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值16设数列an，（n1，nn）满足a1=2，a2=6，且（an+2an+1）（an+1an）=2，若x表示不超过x的最大整数，则+=三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17设函数f（x）=sin2xcos2（x+）（1）若x（0，），求f（x）的单调递增区间；（2）在锐角abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若f（）=0，b=1，求abc面积的最大值18某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按0，10，（10，20，（20，30，（30，40，（40，50分组，得到频率分布直方图如图：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立（）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，试比较与的大小；（只需写出结论）（）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（）设x表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求x的数学期望19在直三棱柱abca1b1c1中，ac=bc=2，aa1=2，acb=90，m是aa1 的中点，n是bc1的中点（1）求证：mn平面a1b1c1；（2）求点c1到平面bmc的距离；（3）求二面角bc1ma1的平面角的余弦值大小20设抛物线c的方程为x2=4y，m为直线l：y=m（m0）上任意一点，过点m作抛物线c的两条切线ma，mb，切点分别为a，b（）当m的坐标为（0，1）时，求过m，a，b三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；（）当m变化时，试探究直线l上是否存在点m，使mamb？若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由21设函数f（x）=ex（x1）（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当a0时，设f（x）在x=x0处取得最小值，求证：f（x0）1选做题选修4-1：几何证明选讲22如图，ab是o的直径，ac是弦，bac的平分线ad交o于点d，deac，交ac的延长线于点e，oe交ad于点f（）求证：de 是o的切线；（）若=，求的值选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为（t是参数），以原点o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为=8cos（）（1）求曲线c2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线c1与曲线c2交于a，b两点，求|ab|的最大值和最小值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=m|x2|，mr，且f（x+2）0的解集为1，1（）求m的值；（）设a，b，c为正数，且a+b+4c=m，求+的最大值2016年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】化简复数，得出其共轭复数【解答】解： =，复数的共轭复数是+故选：a2若r，则“=0”是“sincos”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】当“=0”可以得到“sincos”，当“sincos”时，不一定得到“=0”，得到“=0”是“sincos”的充分不必要条件【解答】解：“=0”可以得到“sincos”，当“sincos”时，不一定得到“=0”，如=等，“=0”是“sincos”的充分不必要条件，故选a3设sn为等差数列an的前n项和，若a3=3，s9s6=27，则该数列的首项a1等于（）abcd【考点】等差数列的性质【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，由a3=3，s9s6=27，可得，解得a1=故选：d4某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的n=5，则输出i=（）a6b7c8d9【考点】程序框图【分析】计算循环中n与i的值，当n=1时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可【解答】解：模拟执行程序，可得n=5，i=1执行循环体，满足条件n是奇数，n=16，i=2，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=8，i=3，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=4，i=4，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=2，i=5，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=1，i=6，满足条件n=1，退出循环，输出i的值为6故选：a5双曲线2y2=1的渐近线与圆x2+（y+a）2=1相切，则正实数a的值为（）abcd【考点】双曲线的简单性质【分析】根据圆方程，得到圆心坐标c（0，a），圆与双曲线的渐近线相切，说明c到渐近线的距离等于半径1，列出方程求出a的值即可【解答】解：圆x2+（y+a）2=1圆心坐标c（0，a），圆的半径为：1双曲线的渐近线为x2y=0，双曲线的渐近线与圆x2+（y+a）2=1相切，c到渐近线的距离为，解得a=故选：c6在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线c为正态分布n（1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若xn（，a2），则p（x+）=0.6826p（2x+2）=0.9544a1193b1359c2718d3413【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，也就是x在（0，1）的概率【解答】解：正态分布的图象如下图：正态分布n（1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为p（2x+2）p（x+）=（0.95440.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p=0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为100000.1359=1359故选b7已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）a16b4c8d2【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，并判断出位置关系，判断出几何体的外接球的球心位置，从而求出外接球的半径，代入求的表面积公式求解即可【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，如图：底面是一个直角三角形，acbc，d是ab的中点，pd平面abc，且ac=、bc=1，pd=1，ab=2，ad=bd=cd=1，几何体的外接球的球心是d，则球的半径r=1，即几何体的外接球表面积s=4r2=4，故选：b8已知0，函数f（x）=cos（x+）在（，）上单调递增，则的取值范围是（）a，b，c，d，【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】根据函数y=cosx的单调递增区间，结合函数在（，）上单调递增，得出关于的不等式（组），从而求出的取值范围【解答】解：函数y=cosx的单调递增区间是+2k，2k，kz；+2kx+2k，kz；解得： +x（kz），函数f（x）=cos（x+）在（，）上单调递增，（，）+，（kz），解得4k2k；又4k（2k）0，且4k0，k=1，故选：d9在abc中， +=2，|=1，点p在am上且满足=2，则（+）等于（）abcd【考点】向量加减混合运算及其几何意义【分析】易得m是bc的中点，p是三角形abc的重心，进而得（+）=，由数量积的定义可得答案【解答】解：由题意易知：m是bc的中点，p是三角形abc的重心，因为，所以，所以（+）=故选d10已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数f（x），f（0）0，且f（x）的值域为0，+），则的最小值为（）a3bc2d【考点】二次函数的性质【分析】由f（x）的值域为0，+），可得对于任意实数x，f（x）0成立求出a的范围及a，b c的关系，求出f（1）及f（0），作比后放缩去掉c，通分后利用基本不等式求最值【解答】解：f（x）的值域为0，+），即f（x）0恒成立，c=又f（x）=2ax+b，f（0）=b0，f（1）=a+b+c=1+=1+=1+1+=2当且仅当4a2=b2时，“=”成立即的最小值为2故选：c11已知椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为f1（c，0），f2（c，0），若椭圆上存在点p使=，则该椭圆的离心率的取值范围为（）a（0，）b（）c（0，）d（，1）【考点】正弦定理；椭圆的简单性质【分析】由“”的结构特征，联想到在pf1f2中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex0）=c（aex0）解出x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解要注意椭圆离心率的范围【解答】解：在pf1f2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：apf1=cpf2设点p（x0，y0）由焦点半径公式，得：pf1=a+ex0，pf2=aex0则a（a+ex0）=c（aex0）解得：x0=由椭圆的几何性质知：x0a则a，整理得e2+2e10，解得：e1或e1，又e（0，1），故椭圆的离心率：e（1，1），故选d12若函数f（x）=x2+ex（x0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）a（）b（）c（）d（）【考点】函数的图象【分析】由题意可得ex0ln（x0+a）=0有负根，函数h（x）=exln（x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围【解答】解：由题意可得：存在x0（，0），满足x02+ex0=（x0）2+ln（x0+a），即ex0ln（x0+a）=0有负根，当x趋近于负无穷大时，ex0ln（x0+a）也趋近于负无穷大，且函数h（x）=exln（x+a）为增函数，h（0）=e0lna0，lnaln，a，a的取值范围是（，），故选：a二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13二项式的展开式中常数项为7【考点】二项式定理【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项【解答】解：展开式的通项是=令解得r=6故展开式的常数项为=7故答案为714若变量x，y满足约束条件且z=5yx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是24【考点】简单线性规划【分析】作出可行域，变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x易得最大值和最小值，作差可得答案【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x可知当直线经过点a（8，0）时，目标函数取最小值b=8，当直线经过点b（4，4）时，目标函数取最大值a=16，ab=16（8）=24故答案为：2415我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值【考点】类比推理【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质【解答】解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到bf=a，bo=ao=，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到bo2=be2+oe2，把数据代入得到oe=a，棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4a=a，故答案为： a16设数列an，（n1，nn）满足a1=2，a2=6，且（an+2an+1）（an+1an）=2，若x表示不超过x的最大整数，则+=2015【考点】等差数列的通项公式【分析】构造bn=an+1an，可判数列bn是4为首项2为公差的等差数列，累加法可得an=n（n+1），裂项相消法可得答案【解答】解：构造bn=an+1an，则b1=a2a1=4，由题意可得（an+2an+1）（an+1an）=bn+1bn=2，故数列bn是4为首项2为公差的等差数列，故bn=an+1an=4+2（n1）=2n+2，故a2a1=4，a3a2=6，a4a3=8，anan1=2n，以上n1个式子相加可得ana1=，解得an=n（n+1），故+=2016（+）=2016（1+）=2016，+=2015，故答案为：2015三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17设函数f（x）=sin2xcos2（x+）（1）若x（0，），求f（x）的单调递增区间；（2）在锐角abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若f（）=0，b=1，求abc面积的最大值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；余弦定理【分析】（1）由三角恒等变换化简f（x），由此得到递增区间（2）由等式得到，利用余弦定理及三角形面积公式即可【解答】解：（）由题意可知， =，由，可解得：又因为x（0，），所以f（x）的单调递增区间是和（）由，可得，由题意知b为锐角，所以，由余弦定理b2=a2+c22accosb，可得：，即，且当a=c时等号成立，因此，所以abc面积的最大值为18某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按0，10，（10，20，（20，30，（30，40，（40，50分组，得到频率分布直方图如图：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立（）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，试比较与的大小；（只需写出结论）（）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（）设x表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求x的数学期望【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差【分析】（）按照题目要求想结果即可（）设事件a：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件b：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件c：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱求出p（a），p（b），p（c）（）x的可能取值为0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望【解答】（共13分）解：（）a=0.015； s12s22（）设事件a：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件b：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件c：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱则p（a）=0.20+0.10=0.3，p（b）=0.10+0.20=0.3所以（）由题意可知，x的可能取值为0，1，2，3p（x=0）=c300.300.73=0.343，p（x=1）=c310.310.72=0.441，p（x=2）=c320.320.71=0.189，p（x=3）=c330.330.70=0.027所以x的分布列为x0123p0.3430.4410.1890.027所以x的数学期望ex=00.343+10.441+20.189+30.027=0.919在直三棱柱abca1b1c1中，ac=bc=2，aa1=2，acb=90，m是aa1 的中点，n是bc1的中点（1）求证：mn平面a1b1c1；（2）求点c1到平面bmc的距离；（3）求二面角bc1ma1的平面角的余弦值大小【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算【分析】（1）由直三棱柱的几何特征，取b1c1中点d，连接nd、a1d，易得四边形a1mnd为平行四边形，然后由线面平行的判定定理得到mn平面a1b1c1；（2）可证bc平面a1mc1，在平面acc1a1中，过c1作c1hcm，又bcc1h，所以c1h为点c1到平面bmc的距离，在等腰三角形cmc1中，可求c1h的长（3）在平面acc1a1上作cec1m交c1m于点e，a1c1于点f，则ce为be在平面acc1a1上的射影，可得bef为二面角bc1ma的平面角，在等腰三角形cmc1中，可求bec，即可求得bef，从而可求二面角bc1ma1的平面角的余弦值【解答】（1）证明：如图所示，取b1c1中点d，连接nd、a1d，则dnbb1aa1又dn=bb1=aa1=a1m，四边形a1mnd为平行四边形mna1d又 mn平面a1b1c1，ad1平面a1b1c1mn平面a1b1c1；（2）解：直三棱柱abca1b1c1中，c1cbcacb=90，bc平面a1mc1，在平面acc1a1中，过c1作c1hcm，又bcc1h，所以c1h为点c1到平面bmc的距离在等腰三角形cmc1中，c1c=2，cm=c1m=c1h=（3）解：在平面acc1a1上作cec1m交c1m于点e，a1c1于点f，则ce为be在平面acc1a1上的射影，bec1m，bef为二面角bc1ma的平面角，在等腰三角形cmc1中，ce=c1h=，tanbec=bec=arctan，bef=arctan，cosbef=即二面角bc1ma1的平面角的余弦值为20设抛物线c的方程为x2=4y，m为直线l：y=m（m0）上任意一点，过点m作抛物线c的两条切线ma，mb，切点分别为a，b（）当m的坐标为（0，1）时，求过m，a，b三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；（）当m变化时，试探究直线l上是否存在点m，使mamb？若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）设过m点的切线方程，代入x2=4y，整理得x24kx+4=0，令=0，可得a，b的坐标，利用m到ab的中点（0，1）的距离为2，可得过m，a，b三点的圆的方程，从而可判断圆与直线l：y=1相切；（）设切点分别为a（x1，y1）、b（x2，y2），直线l上的点为m（x0，y0），可得x1，x2是方程x22x0x+4y0=0的两实根，从而kmakmb=y0，由此可得结论【解答】解：（）当m的坐标为（0，1）时，设过m点的切线方程为y=kx1，代入x2=4y，整理得x24kx+4=0，令=（4k）244=0，解得k=1，代入方程得x=2，故得a（2，1），b（2，1）因为m到ab的中点（0，1）的距离为2，从而过m，a，b三点的圆的标准方程为x2+（y1）2=4圆心坐标为（0，1），半径为2，圆与直线l：y=1相切（）设切点分别为a（x1，y1）、b（x2，y2），直线l上的点为m（x0，y0），过抛物线上点a（x1，y1）的切线方程为yy1=k（xx1），因为，k=，从而过抛物线上点a（x1，y1）的切线方程为yy1=（xx1），又切线过点m（x0，y0），所以得y0=x0，即同理可得过点b（x2，y2）的切线方程为，因为kma=，kmb=，且x1，x2是方程x22x0x+4y0=0的两实根，所以所以kmakmb=y0，当y0=1，即m=1时，直线l上任意一点m均有mamb，当y01，即m1时，ma与mb不垂直综上所述，当m=1时，直线l上存在无穷多个点m，使mamb，当m1时，直线l上不存在满足条件的点m21设函数f（x）=ex（x1）（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当a0时，设f（x）在x=x0处取得最小值，求证：f（x0）1【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）当a=1时，求出函数f（x）的解析式和导函数，利用f（x）0，函数单调递增，f（x）0，函数单调递减；（2）当a0时，求导，利用导数求得函数的单调性，根据单调性求得函数的最小值，利用f（x0）=0，求得a的值，构造辅助函数g（x）=ex（x2x+1），（x1），求导，求出函数的g（x）的极大值，由g（x）g（0）=0，即可证明f（x0）1【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=ex，ex单调递增，（x1）单调递增，f（x）在（1，+）单调递增，且f（0）=0，当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0，故f（x）在（1，0）单调递减，在（0，+）单调递增；（2）证明：当a0时，f（x）=ex，ex单调递增，（x1）单调递增，f（x）在（1，+）单调递增又f（21）=e，当b满足1b且b0时，f（b）0，故f（x）存在唯一零点，设零点为x1，当x（1，x1）时，f（x）0；当x（x1，+）时，f（x）0f（x）在（1，x1）单调递减，在（x1，+）单调递增，当x=x1时，f（x）取得最小值，由条件可得x1=x0，f（x）的最小值为f（x0）由于f（x0）=e=0，a=ex0（x0+1）2，f（x0）=ex0=ex0ex0x0（x0+1）=ex0（x02x0+1），设g（x）=ex（x2x+1），（x1），则g（x）=ex（x23x）=x（x+3）ex，令g（x）0，得1x0；令g（x）0，得x0，故g（x）在（1，0）单调递增，（0，+）单调递减，g（x）g（0）=0，故f（x0）=g（x0）1选做题选修4-1：几何证明选讲22如图，a