高数C试题期中13年b

1 中国农业大学 2013 2014 学年秋季学期 高等数学 C 课程期中考试试题 A 卷 题号题号 一一 二二 三三 四四 五五 六六 七七 八八 总分总分 得分得分 一 填空题 每题一 填空题 每题 3 3 分分 共 共 3030 分分 1 x x x x 1 1 lim 2 函数 4ln 2 xxy的微分dy 3 1 lim 1sinsin 1 x ee x x 4 x y xyarctan2 ln 22 y 5 dxxx 2 0 2 4 6 若 CxFdxxf 则dxxxf cossin 等于 7 2 1x x y 的凸区间为 8 xf的一个原函数为xx 2 sec 则dxxf x 9 x xx xx y 3 2 sin1 1 y 10 曲线 xxy0 sin 绕X轴旋转所得到的立体体积是 二 选择题 每题二 选择题 每题 3 分分 共 共 12 分分 1 在 1 0 上0 x f 则 0 1 1 0 ffff 或 1 0 ff 几个数的大小顺序为 A 0 1 0 1 ffff B 0 0 1 1 ffff C 0 1 0 1 ffff D 0 1 0 1 ffff 2 4 1 2 x 的一个原函数是 A 4ln 4 4ln 2 arcsin 2 arcsin 22 xxDxxC x B x 3 设函数xxxf x sin2lncos2 则当0 x时 A xf与x是等价无穷小 B xf与x是同阶但非等价无穷小 C xf是比x的高阶无穷小 D xf是比x低阶的无穷小 2 考生诚信承诺考生诚信承诺 1 本人清楚学校关于考试管理 考场规则 考试作弊处理的规定 并严格遵照执行 本人清楚学校关于考试管理 考场规则 考试作弊处理的规定 并严格遵照执行 2 本人承诺在考试过程中没有作弊行为 所做试卷的内容真实可信 本人承诺在考试过程中没有作弊行为 所做试卷的内容真实可信 学院 学院 班级 班级 学号 学号 姓名 姓名 4 已知2 3 lim 0 xf x x 则 x xf x 2 lim 0 等于 A 3 4 2 1 3 1 6 1 DCB 三 三 计算计算题题 每题每题 6 6 分分 共 共 4848 分分 1 设 0 2sin 0 1 xxa xex xf bx 可导 求a b 2 求 1ln 1 lim 1 x x x x 3 arc tgdx x 4 讨论函数 x exxy54 2 的性质 列表 5 计算 0 53 sinsindxxx 6 计算dx x xx 2cos1 2sin2 dx x xx 2 2 cos1 sin 7 dx x x 31 31 8 1 求抛物线 2 1yx 10 x 在ax 点处切线方程 2 求a 使切线两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小 四四 证明题证明题 每题每题 5 5 分分 共共 1 10 0 分分 1 00 sin sin 2 xfx dxfx dx 2 当 4 0 x时 xxx tan2tan 3 2013 2014 学年学期 高等数学 C 课程期中考试试题答案 一 2 e 4 2 x dx 1cos 2 1 1sin e yx yx 2 F cosx c 3 0 3 cxxx tansec2 22 1cot 1 1 1 12 sin1 1 3 2 x xxxxx xx 2 2 二 B C C B 三 1 解 0 0 ff 211 a 3 分 0 0 ff ba 12 3 b 6 分 2 解 1ln 1 lim 1 x x x x xx xxx x ln 1 ln1 lim 1 1ln ln lim 1 xxx xx x L 法则 3 分 2 1 2ln 1ln lim 1 x x x L 法则 6 分 3 解 令 分 分 原式 分 6 5 1 2 2 2 2 2 2 2 cxarctgxxxarctg carctguuarctguudu u u arctguu duuarctgu uxux 4 解 xx exexxy 2 2 112 1 0 xy 2 分 x exy1 2 1 0 xy 3 分 x 1 1 1 1 1 1 y 0 y 0 0 Y f x 拐点 拐点 曲线 凹 增 凸 增 凹 增 6 分 5 解 由于xxxxxxcossin sin1 sinsinsin 2 3 2353 在 2 0 上 xxcoscos 在 2 上 xxcoscos 2 分 所以 2 2 3 2 0 2 3 0 53 cos sincossinsinsindxxxxdxxdxxx 4 分 4 2 2 3 2 0 2 3 sinsin sinsinxxdxxd 2 2 5 2 0 2 5 sin 5 2 sin 5 2 xx 5 4 5 2 5 2 6 分 6 6 解解 dx x xx 2cos1 2sin2 dx x x dx x x 2cos1 2sin 2cos1 2 1 分 dx x x 2cos1 2 dxxx 2 sec xxd tan cxxxdxxxx coslntantantan 4 分 dx x x 2cos1 2sin xd x 2cos 2cos1 1 2 1 2cos1ln 2 1 x c dx x xx 2cos1 2sin2 xxxcoslntan 2cos1ln 2 1 x c 5 分 dx x xx 2 2 cos1 sin 0 6 分 7 7 解 解 dx x x 31 31 dx x x 2 91 31 3 分 dx x x dx x 22 91 3 91 1 xd x x xd x 3 91 3 3 1 3 31 1 3 1 22 cxx 2 91 3 1 3arcsin 3 1 6 分 8 8 解 解 设抛物线上切点为 M a 1 a 2 则该点处的切线方程为 y 1 a 2 2a x a 2 分 它与 x y轴的交点分别为 A 1 a 2 2a 0 B 0 1 a2 所围面积 3 2 4 1 1 2 1 2 1 2 2 1 0 2 2 2 a a dxx a a as 2 22 4 131 a aa as 4 分 令0 a s 0S x 得 0 1 上的唯一驻点 3 3 a 又 3 0 3 xS x 3 0 3 xS x 因此 3 3 x 是 S x 在 0 1 上的唯一极小点 且为 最小点 故所求切线为 2 34 33 YX 6 分 四 1 dttftdttftdxxxf tx 0 0 0 sin sin sin 2 分 dtttfdttf 00 sin sin dxxxfdxxf 00 sin sin 4 分 dxxxf 0 sin2 dxxf 0 sin dxxxf 0 sin dxxf 0 sin 2 5 分 5 2 证 法 1 令 tan ttf ttf 2 sec 2 分 在 2 xx应用拉格朗日中值定理 得到 xx