平面复杂曲线恒速扫描数学模型的建立及应用.pdf

设 计 与 研 究 组合机床与自 动化加工技术 文章编号 1 0 0 1 2 2 6 5 2 0 1 0 0 8 0 0 1 0 0 3 平面复杂曲线恒速扫描数学模型的建立及应用 吴锐 许 元 奎 洛 阳理 工 学院 河 南 洛 阳4 7 1 0 2 3 摘要 针对 具有 平 面复 杂 曲线 的零件 表 面建 立扫 描 的数 学模 型 保 证 扫描 速度 基 本 恒 定 对 实际 生产 有 重要 的意 义 以盘 形 凸轮 零件 为例 分析 扫描 外形轮 廓 时 的运 动 关 系 用折 线代 替 曲线 将 复 杂的 凸轮 轮 廓适 当简化 建立运动参数 间的数学关 系 实现对凸轮工作表 面扫描的速度基本不变 关键词 平 面 曲线 恒速 扫描 数 学模 型 中 图分 类 号 T H1 6 T G 6 5 文献标 识码 A Co ns t a nt Sp e e d Sca nn ing Pl a na r Co mpl e x Cur v e s a nd Ap pl i c a t i on o f M a t he ma t i c a l M o de l W U Rui XU Yu a n k ui L u o y a n g I n s t it u t e o f S cie n ce a n d T e ch n o l o g y L u o y a n g He n a n 4 7 1 0 2 3 C h in a Abs t r a c t Th e co mpl e x cu r v e wit h a f l a t Pa r t o f t he ma t he ma t ica l mo d e l o f t h e s u r f a c e o f t he e s t a bl is hme n t of s ca ns t o e n s u r e t h a t t h e ba s ic co ns t a n t s ca nn i n g s pe e d o f t h e a ct u a l pr o du ct i o n of i mpo r t a n t s ig n ifi c a n ce To di s c c a m co nt o u r pa r t s a s a n e x a mpl e of s ca n ni n g wh e n t h e r e l a t io n s hi p b e t we e n t he mo v e me n t wi t h b r o ke n l i n e i n s t e a d o f cu r ve s t o s i mp l i f y t h e c o mp l e x ca m p r o fi l e s ui t a bl e t o e s t a bl is h t he ma t h e ma t ica l r e l a t io n s hi p b e t we e n t he mo t i on p a r a me t e r s t o a chi e ve t h e wo r k in g s u r f a ce o f t h e c a m s p e e d o f s c a n n in g r e ma i n b a s i c a l l y u nch a n g e d Ke y wo r d s pl a n e cur v e co ns t a n t s pe e d s ca n ma t h e ma t i c a l mo d e l O 引 言 平 面 复 杂 曲 线零 件 在 实 际 中应 用很 广 泛 盘 形 凸 轮就是一类典型的零件 凸轮零件不论是轮廓的加工 还 是 对其 表 面 进 行 改 变 机 械 性 能 如 感 应 淬 火 的处 理 为 保证 表面 质量 都需 要控 制 凸 轮表 面相 对 于 刀具 或感 应 圈 的移 动 速 度处 于基 本 恒 定 状态 即恒 速 扫 描状 态 利用 数 控技 术 可 以实 现 速 度 的控 制 但 在 编程 时需要 有 控制速 度 的数 学模 型 因此建 立 平 面复 杂 曲线恒 速 扫 描 的 数 学 模 型 对 实 际 应 用 有 重 要 的意 义 1 平面恒速扫描 的运动 方式 平 面恒速 扫描 是指 一个 扫描 装 置沿 平 面上 确 定 的 曲线轮廓相对匀速移动的运动方式 这个扫描装 置可 以根 据需 要选 用 具 体 的工 具 若 选用 刀具 恒 速 扫描 的结 果 就是加 工 出具 有 确 定 曲 线 轮廓 的 凸 轮 选 用传 感 器可 以对零 件 的轮 廓 进 行 测 量 若 是 淬 火 感 应 圈则 可 对零 件表 面均 匀加热 等 实 现平 面恒 速扫 描运 动有 两 种 方 式 其 一 如 图 1 所 示 在加 工 中心或数 控铣 上 通 过编 制好 的数控 程 序 控 制机 床 l 两 轴 的移 动 按 给定 的进 给 量带 动 刀具 加 工 出具有 复 杂外 形 的 凸轮 这 种方 式 可 以看 作 是 刀 具 沿 工件外 轮 廓 匀 速 运 动 除此 之 外 由 于结 构 的限 制 如 淬火 机床 上 感 应 圈 与淬 火 变 压 器 需 连在 一 起 运 动 无 法 实现像 图 1所 示 刀 具 绕工 件 外 轮 廓 运 动 而 采用 回转 工 作 台 带 动 工 件 旋 转 与 直 线 工 作 台 移 动 结 合 两者各 自独立 运 动 并 由数 控 系统 控 制 进 行 平 面 恒速 扫描 是另 一种运 动方 式 如 图 2所示 暂 且 称为 回 转与 移动 结合 的运 动方 式 图 1 加工 中心 的运动 方式 前 一 种运 动 方 式 实 际应 用 已经 很 普遍 本 文将 着 重研 究 回转 与移动 结合 运动 方式 数学模 型 的建立 收 稿 日期 2 0 1 0 0 3 0 1 作者简介 吴锐 1 9 5 7 一 男 河南洛阳人 洛阳理工学 院副教授 学士 研究方向为机械设计 E m a i l l y w u r u i 1 2 6 co rn l 0 2 0 1 0 年第8 期 设 计 与研 究 图 2 回转 与 移 动 结 合 的 运 动 方 式 2 平面恒速扫描的运动分 析 图 2为 回转 与移 动结 合运 动 扫 描 的机 构 模 型 工 件 固定在 回转 工作 台上 安 装 在 移 动 工 作 台上 的 扫 描 装置 与工件 始终 保持 一定 的距离 工作 时 回转 工 作 台 以 角 速度转 动 为 保 证 恒 速 扫 描移 动 工 作 台则 需 以 相应 的速度 运 动 两 者 的运 动 互相 独 立 但 需 满 足 一 定 的运动关 系 取工件 轮 廓 上 任 一 点 运 动 到 扫 描 装 置 处 的位 置 图 2 凸轮上 该点 的绝 对运 动速 度 为 扫 描 装 置上 对应 点 的绝 对 速 度 两 者 之 间 的相 对 速 度 为 根据 机构 运动 学关 系有 运 动矢量 方程 1 建立 数 学模 型的 目的就是 在 给 定 的 情况 下 确 定 三个 运 动 量 之 间 的关 系 便 于 通 过 数 控 编程 的方 法实现 运 动控制 3 平面恒速扫描数 学模 型的建立 3 1 平面 恒速 扫描 机构 简 图 回转与移动 结 合 的工 作状 态 与 对心 移 动 从 动件 盘 形 凸轮机构类 似 两者 的区别 在 于凸 轮机构 的移动 杆是 从动件 而 回转 与移 动 结合 则 是 运 动各 自独 立 但 运 动 的结果是基本相 同 的 可 以用 如 图 3所 示 的对 心移 动从 动件盘形 凸轮机 构 替代 回转 与移 动 结合 的机构 模 型 进 行 分析 回转工 作 台带动 凸轮 1以 转 动 相 当于直 线 工作台 的移动杆 2保持与 凸轮轮廓 间等距 以 移 动 图 3平 面恒 速 扫 描 机 构 简 图 3 2 平 面理 想 曲线恒 速扫 描 的数学 模型 平 面理 想 曲线 是 指 能 用 函数 关 系 明确 表 示 的 曲 线 在 图 3机 构 简 图 中 就 凸轮 而 言 典 型 的理 想 轮 廓 有等速 等加 减 速 正弦 余 弦以及多次 曲线 等 这 些 曲线 通 常是用 极 坐标表 示 的 即 r 厂 目 式 中 0 为 凸轮 转角 r 为轮廓 对应 的 向径 由于 移 动杆 始 终 与 凸 轮 轮 廓保 持 等距 移 动 杆 的 移动 量 等于 凸轮 向径 的变 化 即 d x d r 厂 口 d O 移动 杆 的速度 为 d x 厂 2 在 凸轮 轮 廓 曲线 上 任 取 一 段 长 度 由 高 等 数 学 可 得 d s r d O 厂 d O 鲁 3 上面 2 3 式 建立 了 三者 间 的关 系 由 已知 的 可计 算确 定相 应 的 和 再 通 过设 定 和 实 现控 制 以典 型 的 等 加 速 运 动 规 律 理 想 凸 轮 轮 廓 曲线 为 例 曲线方 程 为 r r 0 2 0 代人 2 3 式则 有 4 h O w r 0 2 h 0 3 3 平面 实际 曲线恒 速 扫描 数学 模型 的 建立 3 3 1 平 面 实 际轮廓 曲线 平 面 实 际 轮 廓 曲线 是根 据 需 要 确 定 的 很 难 用 特 定的数学函数表示 即使用典型的理想轮廓曲线 由于 各种 误 差 的存 在也 偏 离 了理 论 状 态 所 以平 面理 想 曲 线恒 速扫 描 的数 学 模 型很 难 应 用 于 实 际 需 要 建 立 能 够用 于实 际任 意 复杂 曲线 的数 学模 型 3 3 2 平 面实 际轮 廓 曲线 的简 化 为 了便于 分析 将理 论 上光 滑 的平 面 轮廓 曲线 简 化 为若 干条 折线 如 图 4所示 认 为 平 面轮 廓是 由很 多 条 等 分 角度 的折 线 组 成 每 一 条 折 线对 应 一 个 凸 轮 转 角 设 定 均为 艿 占取 值 越 小 简 化 后 的平 面 轮 廓 越 接 近 实 际 另外简化后 的每一条折线也便 于利用 数控系统的 直 线插 补功 能 实现速 度 控制 图 4平 面轮 廓 的 简 化 3 3 3 平 面实 际轮廓 曲线 恒 速扫 描数 学模 型 的建立 在 平面 轮廓 的简 化 图 4中取 任 意 一 个 6区 间 如 图 5 a所示 A点 为 区间 的初 始位 置 该 点 的 向径 O A为 r C点 为终 点位 置 向径 O C为 r 在 O C连线 上取 一 点 B 使 O B O A r 则 有 B C r 一r A r A r 为 6 区间轮廓 曲线 向径 的变化 量 也是 移动 杆移 动 的距离 设计 与研究 组合机床与自 动化加工技术 图 5 a为 6区间的几 何关 系 因 6 取 值较 小 可 以近 似认 为 1 A B直 线长 度等 于对 应 于 0点 的弧 长 取A B 厂 2 过 A点做 O C的垂 线 交 B 点 取A B 一A B r 和 日 C A r 在直角三角形 c 中有 A C c A B J A r r 6 图 5 b为 艿区 间 的运 动 关 系 因 6取 值 较 小 可 近 似认 为 6区间 内 和 是 不变 的 对 比图 5 a和 b 与A C 方 向一 致 与日 C 方 向一 致 与 A 方 向基本 一致 由此可 以认 定 图 5所示 的 速度矢 量 三 角形 b与几 何 关 系 a中的 三角 形 A B C相 似 对应边应成 比例 a 几何关系 b 运动关系 图 5任一 6角 区段 的几何 和运 动关系 因此可 得 1 B C V A AB AC V AB AC B C 将 上 面各式 整理 可得 二 兰 4 J r r 一 等 0 5 r 0 当给 定恒线 速 度 V 可 以用式 4 计 算 出任意 6区 间 回转 工作 台的角速 度 用 式 5 计算 对应 的直 线工 作 台的移 动速度 由 0 3和 实 现控 制 3 3 4平 面实 际轮 廓 曲线恒 速 扫描 数 学模 型 的误 差 分析 在上 面建 立平 面实 际轮 廓 曲线 恒速 扫 描数 学模 型 的过程 中进 行 了 简 化处 理 势 必 造 成计 算 结 果 与实 际 之 间的误 差 误 差 主要来 自下 面 四个方 面 1 把 光滑 轮 廓 曲 线 简化 为折 线 造 成 误 差 使 A C 略 小于 实际弧 长 2 把 A B的直线 长度按 弧 长计算 造成 误差 使 A B 的长度 略有增 长 3 在 直 线 O C上 将 曰点 向 曰 简 化 造 成 误 差 使 A B 的长度 略有 缩短 4 认 定 速 度 矢 量 三 角 形 与 几 何 的 三 角 形 A B C 相似 时 V 与 A B 的方 向偏 离造 成误 差 由 于上 面备 因素 的影 响会造 成 计 算结 果有 一 定 的 误 差 定性 分析 各单 因素 的误 差之 间结果 相互 有 一定 的补偿 作用 另 外 6 取 值较 小 通 常小 于 5 总 误差影 响很小 可 忽略 不计 前 面得 到 的实际 轮廓 曲线恒 速 扫描 数 学模 型 也适 用 于典 型 的理想 凸轮 轮 廓 曲线 可 以就 某 一 种典 型 曲 线分别用理想和实 际两种数学模型计算 比较结果定 量 计算 误差 与定 性分 析结 果一 致 对 实 际应用 几 乎没 有影响 以典型的等加速运动规律理想 凸轮轮廓曲线 为例 凸轮 参数 基 圆半 径 r 4 0 m m 在 0一 r r 2内升程 h 4 0 m m 设 置 3 m m s 取 6 5 分 别 用 两 种数 学 模 型计 算 比较 结果误 差仅 为 1 5 8 5 平 面复杂 曲线 恒速 扫描数 学模 型 的应 用 对 具有 复杂 曲线 的盘形 凸轮轮 廓进 行 感应 淬 火是 平面复杂 曲线恒速 扫描数学模 型应用 的一个典 型实 例 凸轮和感 应 圈分 别 安 装 在 回转 和 移 动 工作 台上 选 定 6角 用 位 移 传感 器 分 别 测 出对 应 各 6角 处 凸轮 轮 廓 的 向径 将 轮廓 曲线数 值化 之 后 用恒 速 扫描 数学 模 型进 行数 据处 理 得 到 要 保证 的恒 速 V 对 应 每 个 6 区域 的 和 按 直线插 补编 程输 入数 控系