高等数学函数极限概念ppt课件.ppt

第二章极限 本章学习要求 了解数列极限 函数极限概念 知道运用 和 X 语言描述函数的极限 理解极限与左右极限的关系 熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限 理解无穷小量的定义 理解函数极限与无穷小量间的关系 掌握无穷小量的比较 能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限 了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系 理解极限存在准则 能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限 1 欢迎观看 2 第二章极限 第二节函数的极限与性质 三 极限定义及定理小结 四 函数极限的基本性质 3 由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数 所以 可望将数列的极限理论推广到函数中 并用极限理论研究函数的变化情形 的图形可以看出 如何描述它 4 5 定义 想想 如何从几何的角度来表示该定义 6 7 将图形对称过去后 你有什么想法 将图形对称 8 定义 9 现在从整体上来看这个图形 你有什么想法 10 现在从整体上来看这个图形 你有什么想法 11 定义 12 由于 x X 0 x X或x X 所以 x按绝对值无限增大时 又包含了x 的情形 既包含了x 13 定理 及极限的三个定义即可证明该定理 由绝对值关系式 14 证 成立 由极限的定义可知 15 解 无限缩小 可以小于任意小的正数 因而应该有 下面证明我们的猜想 证明过程怎么写 16 这里想得通吗 17 由图容易看出 分析 18 证 19 20 f x 在点x0 0处有定义 函数f x 在点x0 1处没有定义 21 22 定义 23 24 证 这是证明吗 非常非常严格 25 证 26 证 27 这里 x 2 没有直接的有界性可利用 但又必须设法去掉它 因为x 1 所以 从某时候开始x应充分地接近1 0 x 2 1 1 1 1 1 分析 结论 28 证 证毕 29 在极限定义中 1 与 和x0有关 即 x0 一般说来 值越小 相应的 值也越小 2 不等式 f x a 0 同时也要对x x0以任何方式进行都成立 3 函数f x 以a为极限 但函数f x 本身可以不取其极限值a 30 y a y a y a x O y x0 x0 x0 曲线只能从该矩形的左右两边穿过 31 3 函数的左 右极限 定义 32 定义 33 1 左 右极限均存在 且相等 2 左 右极限均存在 但不相等 3 左 右极限中至少有一个不存在 找找例题 函数在点x0处的左 右极限可能出现以下三种情况之一 34 y f x x O y 1 1 在x 1处的左 右极限 解 35 定理 利用 x x0 x x0 和极限的定义 即可证得 36 解 37 解 38 39 三 极限定义及定理小结 40 极限定义一览表 41 极限定义一览表 42 43 在以后的叙述中 如果函数f x 极限的某种 性质与运算对任何一种极限过程均成立 则将使 表示对任意一种极限过程的函数 用符号 四 函数极限的基本性质 极限 44 1 有界性定理 若limf x 存在 则函数f x 在该极限过程中必有界 2 唯一性定理 若limf x 存在 则极限值必唯一 3 保号性定理 45 该定理也称为第一保号性定理 46 极限值正负与函数值正负关系的推论 作辅助函数F x f x c再利用定理的结论即可得证 47 该定理也称为第二保号性定理 48 第二保号性定理成立 运用反证法 设f x 0 f x 0 时 有a0 则由第一保号性定理将推出 f x 0 的矛盾 该矛盾就证明了 49 注意 当f x 0 f x 0 时 按照第二保号性定理也只能得到 a 0 a 0 结论 50 51 函数值正负与极限值正负关系的推论 若极限limf x a limg x b存在 即limf x limg x 且在该极限过程中f x g x 则有a b 在极限存在的条