圆锥曲线中的动中求定.doc

“动中求定”的八大策略探索解析几何中求定点、定值、定向、定线等问题的策略浙江省兰溪一中 徐素琴 321100 在解析几何中常常出现求定点、定值、定向、定线等问题，它已经成为当前各省高考试题中的热点，它不但可以考查学生掌握知识的水平，更重要的是考查学生灵活运用知识的能力以及解题方法的创新。而学生对此陌生的题型往往束手无策，因此笔者利用多年的教学经验，对此类问题加以探究，得出一些行之有效的方法策略供以参考。策略一：变量分离解析：对于某些曲线方程随一个或两个变量变化而变化时，如果可以把变量与x、y分离，则提出变量后再根据恒等式的性质，即可以解得x、y的值，得到定点的坐标。例1.已知动直线，求证：点P(-2,2)到该动直线的距离。证明：把直线方程化为：，令，解得：x=2,y=-2，即动直线过定点M（2，-2），连PM，则点P(-2,2)到该动直线的距离。策略二：观察巧代解析：利用条件，经过观察分析，只要满足条件的x,y的值，就是定点的坐标例2（1）已知实数m,n满足，则动直线必过定点M的坐标为 （2）已知实数p,q满足，则动直线恒过定点M的坐标为 略解：（1）只要令x=2,y=1,即得定点M（2，1）；（2）只要令，则，即得定点M.策略三：设参分离解析：根据题意，设立参数，建立方程，分离参数，即可以求得定点。例3已知抛物线C:，焦点为F，定点，动点是抛物线C上的三个点，且满足试问所在的直线是否过定点，若是，求出该定点的坐标；否则说明理由解：设，则,因为，所以，因为，所以AB的方程：，由化简即得：，令则，所以直线AB过定点（1，-4）策略四：巧“特”结论解析：有两种情形：一种利用特殊值探求结论，再验证其充分性；另一种是也先用特殊值探求结论，后作一般性探求。例4.已知椭圆，过左焦点作不垂直与X轴的弦交于椭圆于A、B两点，AB的垂直平分线交X轴于M点，则 的值为 （ ）A B. C. D. 解：本题为选择题，即知此比值为定值，故可用特殊值法。设AB与X轴重合时，M就是原点，所以AB长为6，MF的长2，故=，答案为B。如果不用特殊法解，本题就是一个较难的解答题，同学们不妨一试，可用极坐标方程解较方便，可见在解选择题时，特殊值法来判断和寻找答案优为重要。例5.已知椭圆方程，过点的动直线l交该椭圆于A、B两点，试问：在坐标平面内是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T，若存在求出T的坐标；若不存在，请说明理由。解：假设满足条件的T存在。当直线l与X轴平行时，以AB为直径的圆方程为；当直线l与Y轴重合时，以AB为直径的圆方程为，以上两圆方程联立解得即是满足条件的必要条件。下面证明其充分性：若存在，对过S点不与坐标轴平行的直线设为，把它代入椭圆方程：，得到：，设，则有，因为,=，所以,即以AB为直径的圆恒过定点T。其定点T的坐标为（0，1）。例5.已知椭圆上任意一点M,是椭圆短轴的两个端点，作直线分别交X轴于P,Q两点，求证：为定值，并求出定值。分析：当动点M在长轴的端点时，则P，Q重合于长轴的端点，因此=。再作一般证明即可得为定值为。策略五：设参消参解析：为了求得定值，往往需要设立一个或两个参数，如直线的斜率，动点的坐标等，然后根据条件，寻求所求的值，最后经过消参得到所求的定值。例6.已知A（1，1）是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且满足.(1)求椭圆的方程（2）设点B、C是椭圆上的两个动点，且直线AB、AC的倾斜角互补，试判断直线BC的斜率是否为定值？并说明理由。解：（1）因为a=2,把A点坐标代入椭圆方程得：，所以椭圆方程为：。（2）由条件可以得到直线AB、AC的斜率存在且不为0，故设直线AB的方程为，代入椭圆方程得：，因为，所以，又设直线BC的方程为，同理得到： ,， 因此得到：，把代入得，所以直线BC的斜率为定值。策略六：巧用定义解析：结合圆锥曲线的定义，在运动变化中寻求符合定义的不变量。例7.已知P是双曲线上不同于顶点的右支上任意一点，是双曲线的左右两个焦点，试问：三角形的内心I是否在一定直线上，若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由。解：设三角形的内切圆与X轴的切点为M，则由双曲线的定义及切线长定理可知：，所以M也在双曲线上，即M为双曲线右顶点，又X轴，所以三角形的内心I在一定直线上。例8.以抛物线上任意一点P为圆心，作与Y轴相切的圆，则这些动圆必经过定点的坐标为 解：不难求得Y轴是抛物线的准线，由抛物线的定义可知，这些圆必经过抛物线的焦点F，可以求得F(4,-1)，所以这些动圆必经过定点的坐标为(4,-1)。策略七：几何结合解析：有些求定值问题往往可以与平面几何的一些性质相结合，可以达到事半功倍的效果，如上面的例7就是运用了切线长定理。例9.已知圆，过原点O的动直线交圆于P、Q两点，则的值为 解：设OB切于圆于点B,则=.例10已知AB是双曲线过焦点的任意一条弦，以AB为直径的圆被与相应的准线截得圆弧,求证：的度数为定值。解：设AB的中点为P，P、A、B到相应的准线距离分别为，则，（r为以AB为直径的圆的半径），所以即的度数为定值，其定值为。策略八：极坐标法解析：关于长度计算的某些问题，用极坐标法会来得很方便，先要根据条件建立恰当的极坐标系，然后给动点设出极坐标，极角之间的关系往往是解决问题的关键。例11.椭圆上有两个动点A、B满足,(O为坐标原点)，求证：为定值。 解：设以原点为极点，OX为极轴，建立极坐标系。则有代入椭圆方程得到椭圆的极坐标方