辽宁省凌海市七级数学下册 课后补习班辅导 余角、补角、对顶角讲学案 苏科版.doc

余角、补角、对顶角【本讲教育信息】一. 教学内容：余角、补角、对顶角本周主要内容是学习互为余角和互为补角的概念及其性质，对顶角的概念及其特征。并要求在经历观察、操作、推理、交流等过程中，进一步发展空间概念，培养推理能力、有条理的表达能力，并要求能解决一些实际问题。目标1. 在现实背景下了解余角、补角、对顶角的概念。2. 知道等角（同角）的余角相等，等角（同角）的补角相等；能利用对顶角相等的性质进行计算。二. 重、难点：本周的重点是互为余角和互为补角的概念及其性质，以及利用学习过的知识解决一些实际问题。三. 知识要点1. 余角、补角。（1）如果两个角的和等于90，那么称这两个角互为余角。（2）如果两个角的和等于180，那么称这两个角互为补角。（3）定理：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。说明：互余与互补角是研究两个角的关系，单独一个角不能说是余角或补角，就像称呼两兄弟一样，而且不会随位置改变。“互为余角”和“互为补角”是指具有特殊关系的两个角. 如同代数中的“互为倒数”和“互为相反数”一样，是指具有特殊关系的两个数，而且只能是两个角之间的特殊关系。如果三个角的和是180，我们不能说这三个角互为补角2. 对顶角（1）一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。如：两条直线相交形成1，2，3，4四个角，如图： 1和3叫做对顶角，2和4也是对顶角。（2）定理：对顶角相等。【典型例题】例1. 如图，直线m和l交于o点，已知1的余角与它的补角的比为1：3，求2的度数。分析：本题可以利用题目中所给的条件列方程（设1为x），求出1的度数，而1和2是对顶角，利用对顶角的性质可以求出2的度数。 解：设1的度数为x，则它的余角为(90x) ，它的补角为(180x) ，根据题意：（90x）：（180x）1：3解之得x45又因为1和2是对顶角， 所以12（对顶角相等） 答：这个角的度数为45 。例2. 若一个角为353535，写出它的余角和补角分析：在计算过程中，将90写为895960，再与353535相减较为方便。而将180写为1795960，再与353535相减较为方便，也可以将353535的余角再加上90就是353535的补角。解：353535的余角为90353535542425353535的补角为1803535351442425例3. 有两个角，若第一个角割去它的后，与第二个角互余；若第一个角补上它的后，与第二个角互补，求这两个角的度数。分析：我们可以设第一个角为，第二个角为，依照题意列出方程组求解。解：设第一个角为，第二个角为，据题意，得解之，得所以这两个角分别是90和30说明：根据题中条件，设出未知数、列出方程或方程组求解是常用方法。例4. 一个角的余角比这个角的补角的还大26，求这个角的余角及这个角的补角。分析1：可直接设未知数，用一元一次方程求解。解法1：设这个角的余角为，则这个角的补角为，由题意，得：答：这个角的余角为55，补角为145。分析2：可间接设未知数，列一元一次方程求解。解法2：设这个角为，其余角为，其补角为由题意得： 答：这个角的余角为55，补角为145。例5. 如图所示，ab、cd相交于点o，试比较的大小。分析：相等，我们只需借助于对顶角和这个桥梁，就很容易比较出是相等的。解： 例6. 已知：如图所示，直线ab、cd相交于o，已知，oe把分为两部分，且，求。分析：可设为，为，则，即而为对顶角相等，所以，而所以解：设例7. 已知，直线 上有一点o，过o点作两条射线 ，使 分别在 的两侧， 。试说明 与 是对顶角。解：如图：点o在直线ab上，。又， ， 三点在一条直线上。 与 是对顶角。分析：本题考查对顶角的定义及性质，说明两个角是对顶角应抓住三点：（1）有公共顶点；（2）两角相等；（3）以两条直线相交为前提。例8. 判断下列说法是否正确，并说明理由：（l）有公共顶点的两个角是对顶角；（2）相等的两个角是对顶角；（3）互为对顶角的两个角的余角相等。解：（1）不正确，对顶角的定义是“如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角（对顶角的另一定义）”。有公共顶点的两个角，其中一个角的两边不一定是另一个角的两边的反向延长线（如图）（2）不正确，对顶角是两个角处于一种特殊的位置关系，相等的角是两个角的大小比较，是两个角的度量关系，这两个是不同范畴的概念，对顶角的大小相等，但相等的角不一定是对顶角（3）不正确，对顶角必相等，但并没有说对顶角一定是锐角，它们也可能是钝角，所以不一定有余角。例9. 已知如图，直线ab、cd相交于o，且 的度数是的2倍求：（1） 、 的度数；（2） 、 的度数。分析：看图可知 与 互为补角，从而有 ，而又知 ，于是可求出 与 的度数； 与 是对顶角， 与 是对顶角，由“对顶角相等”便可求 与 的度数解：（1） ab是直线（已知） 与 是邻补角（邻补角定义） （补角定义）设 的度数为 ，则 的度数为 ， 即 ， （2） ab、cd相交于o（已知） ， （对顶角相等） ， （已求）说明：已知两角的比值，通常设未知数，建立方程，通过解方程解决问题，是常考虑的一种思想方法例10. 如图，已知直线ab、cd、ef相交于点o， ， ，求、的度数。分析：三条直线相交于一点，常常将已知角（条件）和所求角（结论）都在图中标出来，再寻找相互关系得到解题途径。此题从图中可见 是 的邻角， 是的对顶角，所以可解。解： 是直线（已知）， 与 是邻补角（邻补角的定义）， （补角的定义） （已知）， （等式性质） ， （已知）， 又 ab、cd相交于点o（已知） （对顶角相等） （等量代换）【模拟试题】测试（一）（答题时间：30分钟）1. 下列各图中，1和2是对顶角的是（）（抓住对顶角的定义）2. 三条直线相交于一点，构成的对顶角有（）a. 5对 b. 6对 c. 7对 d. 8对3. 如果两个角互补，那么这两个角（）a. 均为钝角b. 均为锐角c. 一个为锐角，另一个为钝角 d. 均为直角，或一个为锐角，另一个为钝角4. 在abc中，abc90，bdac，垂足是点d，则其中互为余角的角共有（）a. 3对 b. 4对 c. 5对 d. 6对5. 已知一个角的补角比这个角的余角的4倍大15，求这个角的度数。6. 如图，ab90，ac90，那么b与c是什么关系?请说明理由。由此题的结果，你可以得出什么结论?7. 如图，ob是平角aoc的平分线，doe是直角。问：（1）aod的余角有哪几个?（2）aoe的补角有哪几个? （注意别遗漏）8. 如图，已知直线ab和cd相交于o，aoeeoc，且aoe28，求bod、doe的度数9. 如图，ab、cd相交于点o，且12，问：34吗?为什么?测试（二）（答题时间：40分钟）1. 一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的，则这个角是（ ）a. 30 b. 45 c. 60 d. 902. 一个锐角的补角和这个锐角的差是一个 （ ）a. 直角 b. 钝角c. 锐角 d. 或直角或锐角或钝角3. 如图，ab、cd是直线，相交于点o，om、on是射线，那么其中构成对顶角的是（ ）a. aom与don b. bom与monc. aod与boc d. bod与con4. 平面上三条不同的直线相交，最多能构成对顶角 （ ）a. 4对 b. 5对 c. 6对 d. 7对5. 下列语句中正确的是 （ ）a. 角的边越长，这个角越大b. 互补的两个角必定一个是锐角一个是钝角c. 两个锐角不能互为补角d. 如果a20，b70，c90，那么a、b、c互为补角6. 若+90，与互为余角，则与的关系是（ ）a. 相等 b. 互余 c. 互补 d. 不确定 7. 如图所示acb是直线，abcd，ecfc，图中共有（ ）对角互余a. 2 b. 3 c. 4 d. 以上都不对8. 18 _平角，平角_直角，45_周角9. 若与互补，且：4:5，那么_，_10. 1和2互余，17x5，23x+5，则x的值为_11. 1+2+3180，1+3，1+2，2+3，则在、三个角中，锐角最多会有_个12. 如图，已知aocbod90，boc20，则aod_13. 如图，直线ab、cd相交于o。已知aoc75，oe把bod分为两部分，且boe:eod2:3。求aoe14. 已知和互为余角，且比小25，求的度数15. 如图所示，三条直线ab、cd、ef交于一点，若130，270，求3的度数【试题答案】测试（一）1. d； 2. b； 3. d； 4. b； 5. 65；6. b与c相等，由此可以得到一个结论：同角的余角相等；7. （1）aod的余角有bod，coe两个；（2）aoe的补角有bod，coe两个8. 直线ab与cd相交于点o， aocbod aoeeoc， aoc2aoe又 aoe28， aoc22856， bod56 bodaod180， aod180bod18056124， doeaodaoe12428152，（或doe180eoc18028152）9. 解：34. 证明如下： ab、cd相交于点o， aodboc，又 12， aod1boc2，即34测试（二）1. c 2. d 3. c 4. c 5. c 6. a 7. c 8. ； 9. 80；100；