CAU CAB 数学AB参考 汇总

2005 2006 一 高等数学期末考试试题 A 卷 2006 01 11 一 高等数学期末考试试题 A 卷 2006 01 11 注意 本试题共有九道大题 满分 100 分 考试时间 100 分钟 一 填空题 本题共有 5 道小题 每小题 3 分 满分 15 分 1 是函数 的第 1 x 1 3 1 1 xx xx xf类间断点 2 函数 x x xf ln 在区间 上单调增加 函数的微分xy2sin xd2sin 2 2 cosxxxdx 曲线 3 yx 的拐点为 二 选择题 本题共有 5 道小题 每小题 3 分 满分 15 分 x x x 1 1lim A B e 1 e C D 10 2 若函数在点不连续 则 xf 0 x xf在 0 x A 必定可导 B 必不可导 C 不一定可导 D 必无定义 若 xfxF 则 xFd A B xf xF C Cxf D CxF 下列积分中 值等于零的是 A B dxx 2 1 1 dxx3 2 1 C D dx 1 1 dxxx sin 2 1 1 反常积分 2 1 1 1 dx x A 4 B C 0 4 D 发散 三 求极限 本题共有 道小题 每小题 6 分 满分 12 分 2 1 cos 0 2 lim x dte x t x 11 limsinsin x xx xx 四 求导数 本题共有 道小题 每小题 6 分 满分 12 分 设函数 5 5 x yx 求y的导数 y 设函数由方程组所确定 求 xyy 01sin 23 2 yte ttx y 0t dy dx 五 计算下列积分 本题共有 道小题 每小题 6 分 满分 12 分 1 1 dx xx 2 0 sin 1cos xx dx x 六 本题满分 1 分 证明不等式 yxyx sinsin 七 七 本题满分 1 分 设设函数定义在上 定义在上 2 xy 1 0 t为上任意一点 问当 为上任意一点 问当 1 0 t为何值时 图中两阴影部分为何值时 图中两阴影部分 如图如图 的面积与之和具有最小值 的面积与之和具有最小值 1 A 2 A 八 本题满分 8 分 设函数 xf在 1 0上有二阶连续导数 则 dxxfxx ff dxxf 1 2 1 2 10 1 0 1 0 九 本题满分 6 分 设函数 xf在 1 0上连续 在 1 0内可导 且 1 2 1 010 fff 试证至少存在一点 1 0 使得 1 f 1 中国农业大学 2007 2008 学年秋季学期2008 1 高等数学 A 课程考试试题 A 卷 题号题号 一一 二二 三三 四四 五五 六六 七七 总分总分 得分得分 注意 本试题共有七道大题 满分 注意 本试题共有七道大题 满分 100 分 考试时间分 考试时间 100 分钟 分钟 一 一 填空题 本题共有填空题 本题共有 5 道小题 每小题道小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分分 1 设设函数函数 2 5 2 1 2 a xx fx xx 其中其中a为常数 已知为常数 已知 f x在在 2x处连处连 续 则续 则 a 2 设向量设向量 32axijbijk 向量向量a与与b垂直 则垂直 则 x 3 设函数 设函数 122008f xx xxx 则 则 0 f 4 d 1 2 0 2xxx 5 函数函数 ln 2 1yxx的微分的微分d y 二 二 选择题 本题共有选择题 本题共有 5 道小题 每小题道小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分分 11 limsinsin n nn nn A 0 B 不存在 不存在 C 1 D 1 2 函数函数 f x 在在 x0处可导是处可导是 f x 在在 x0处可微的处可微的 条件 条件 A 充分充分 B 必要必要 C 充分必要充分必要 D 既不是充分也不是必要 既不是充分也不是必要 3 若 若 d 2 2xfxxxC 则 则 f x A 2 ln22 x xC B 2 2 ln2 x xC 2 C 2 ln22 x x D 2 2 ln2 x x 4 设函数 设函数 f x 的导数在的导数在 xa处连续 又处连续 又 lim1 xa fx xa 则 则 A xa是是 f x 的极小值点的极小值点 B xa是是 f x 的极大值点的极大值点 C a f a是曲线是曲线 yf x的拐点的拐点 D xa不是不是 f x 的极值点 的极值点 a f a也不是曲线也不是曲线 yf x的拐点 的拐点 5 反常积分 反常积分 2 1 d ln e x xx 2007 2008 秋季秋季高等数学期末考试试题高等数学期末考试试题 A A 卷参考答案卷参考答案 2008 1 142008 1 14 一 填空题 本题共有 5 道小题 每小题 3 分 满分 15 分 1 4 2 2 3 2008 4 2 1 d 1 x x 二 选择题 本题共有 5 道小题 每小题 3 分 满分 15 分 D 2 C C B C 三 三 计算下列各题 计算下列各题 本题共有 5 道小题 每小题 6 分 满分 30 分 1 求 2 0 2 arctand lim 1 x x tt x 解解 易知这是一个 型的未定式 我们利用洛必达法则来计算 原式 1 arctan lim 2 2 x x x x 3 分 4 arctan 1 lim 2 2 2 x x x x 6 分 设设 2 1 cos 4sin x y 求求 dx dy 2 2 dx yd 3 解解 因为 cos4 d dy sin2 d dx 故 cot2 sin2 cos4 dx dy 3 分 又 2 2 ddy d yddyddx dx dxdx dx d 2 3 2csc csc 2sin 6 分 3 1cos d sin x x xx 解解 原式原式 dsin sin lnsin xx xx xxC 3 分 6 分 4 设 sin d x t fxt t 求 0 df xx 解解 因为 sin d x t fxt t 所以 sin 0 x fxf x 3 分 0 df xx 0 00 dsin d2x f xx fxxx x 6 分 5 求过点求过点 0 2 4 且且与与两两平面平面21xz 和和32yz 平行平行的的直线直线方程方程 解解 已知二平面的法向量为 1 1 0 2 n 2 0 1 3 n 则所求直线的方向向量为 12 2 3 1 snn 3 分 故所求直线的方程为 24 231 xyz 6 分 四四 本题满分 10 分 证明方程 sin10 xx在开区间 22 内至少有一个根 证证 设辅助函数 1f xxx sin 3 分 则 f x 在 22 上连续 5 分 120 2222 f sin 10 2222 f sin 8 分 4 由零点定理知 在开区间 22 内至少有一点 22 使得 f 0 故方程 sin10 xx在开区间 22 内至少有一个根 10 分 五五 本题满分 10 分 设函数 f x 在 0 1 上连续 0 1 内可导 且 f 1 0 证明至少存在一点 0 1 使 2 f f 证证 设辅助函数 2 xx f x 3 分 显然 x 在 0 1 上满足罗尔定理条件 故至少存在一点 0 1 使 2 20ff 7 分 即有 2 f f 0 1 10 分 六六 本题满分 本题满分 10 分 分 设函数 xf在 1 0上连续且单调减少 证明 当 10 时 1 00 d d xxfxxf 证 1 1 1 d d 1 d d d d d 21 21 0 1 1 00 1 00 ff ff xxfxxf xxfxxfxxf xxfxxf 5 分 其中 10 21 因 xf在 1 0上是单调减少的 所以有 21 ff 又 01 0 因此 0 1 21 ff 即原不等式成立 10 分 七七 本题满分 10 分 过过抛物线抛物线 2 yx 上一点上一点 2 P a a作作切线切线 问问a为何值时为何值时 所作所作 的切线的切线和抛物线和抛物线 2 41yxx 所围图形的面积最小所围图形的面积最小 解解 过抛物线 2 yx 上一点 2 P a a的切线方程为 2 2yaxa 3 分 此切线和抛物线 2 41yxx 的交点坐标为联立方程 5 2 2 2 41 yaxa yxx 的解 设交点的横坐标为 1212 x xxx 则 22 121221 42 1 2 243xxax xaxxaa 所指面积 S a 2 1 22 41 2 d x x xxaxax 7 分 3 2 2 4 243 3 aa 令 0 1S aa 80S a 9 分 因此1a 时 S a 4 3 是所求面积的最小值 10 分 2008 2009 学年秋季学期 2009 1 高等数学 A 试题参考答案 一 填空题 本题共有一 填空题 本题共有 5 道小题 每小题道小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分 请将合适的答案填在横线上 分 请将合适的答案填在横线上 1 设设 2 1 1 x f x xx 则为 则为1x f x的第的第 一 一 类间断点类间断点 2 1 lim 1 n n n e 1 3 设向量 则设向量 则2 32aijbij ka 与与b 的内积的内积a b 4 4 1 2 1 1xx d x 0 5 设设 arctanf xx 则 则 1 f 1 4 二 单项选择题 本题共有二 单项选择题 本题共有 5 道小题 每小题道小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分 请将所选答案填在括号内 分 请将所选答案填在括号内 1 下列结论中 正确的是 下列结论中 正确的是 C A 有界数列必收敛 有界数列必收敛 B 单调数列必收敛 单调数列必收敛 C 收敛数列必有界 收敛数列必有界 D 收敛数列必单调收敛数列必单调 2 当时 下列四个无穷小中 哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量 当时 下列四个无穷小中 哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量 C 0 x A B 2 ln 1 x tanxx C D 3 2x 2 1 x e 3 函数函数 f x在处有导数的充要条件是 在处有导数的充要条件是 B 0 x A f x在处连续在处连续 B 0 x f x在处可微分 在处可微分 0 x C 00 0 lim x f xxf xx x 存在存在 D 0 lim xx fx 存在 存在 第 1 页 共 4 页 4 设函数设函数 f x在在 内可导 且内可导 且 a b 0fx 则 则 f x在在 内 内 B a b A 单调增加 单调增加 B 单调减少 单调减少 C 是常数 是常数 D 依条件不能确定单调性依条件不能确定单调性 5 反常积分反常积分 2 0 1 1 dx x 的值为 的值为 D A 1 B 1 C 2 D 2 三 计算下列各题 本题共有三 计算下列各题 本题共有 5 道小题 每小题道小题 每小题 5 分 满分分 满分 25 分 分 1 2 0 1 cos lim sin x x x x 解 解 2 000 1 cos 1 limlimlimcos sinsin xxx x x x x xx x 0 2 3 0 sin22sin lim x xx x 解 解 3 0 sin22sin lim x xx x 2 0 2cos22cos lim 3 x xx x 0 4sin22sin lim 6 x xx x 4 3 1 3 1 3 3 1 1 dxxx 解 解 33 33 11 1 1 xx dxdx xxxx 2 3 1 1 x dx xx 3 1 lnln 1 3 xxC 第 2 页 共 4 页 4 2 2 1 logxxd x 解 解 22 2 11 1 logln ln2 xxdxxxdx 2 2 1 1 ln 2ln2 xdx 2 22 1 1 1 ln 2ln2 xxxdx 3 2 4ln2 5 设设 2 1 cos xt yt 求求 2 2 dyd y dxdx 解 解 sin 2 dy dyt dt dx dxt dt 2 23 sincos 4 ddy d yddyttt dtdx dx dxdxdxt dt 四 本题满分四 本题满分 10 分 求过点分 求过点 0 3 1 2 P 且通过直线且通过直线 43 52 xy l 1 z 的平面方程的平面方程 解 解 l 上的点 0 3 4 0 M 2 4 1 00 MP 直线 l 的方向向量 1 2 5 s 平面的法向量kji kji sMPn2298 125 241 00 由点法式得平面的方程为0 0 22 3 9 4 8 zyx 即 0592298 zyx 五 本题满分五 本题满分 10 分 分 求曲线在求曲线在 2内的一条切线 使得该切线与直线 和所围图形的面积最小 内的一条切线 使得该切线与直线 和所围图形的面积最小 lnyx 6 2 6xx lny x 解 解 设切点为 则切线为 ln aa 1 lnax a ay 即1ln 1 ax a y 6 2 1 ln1ln Sxax a dx 26 2 1 lnln 2 xxaxx a 16 4ln6ln62ln2a a 2 164 0 4 dS a daaa 驻点惟一 所以使所围面积最小的切线方程为 1 2ln21 4 yx 第 3 页 共 4 页 六 本题满分六 本题满分 10 分 设分 设 f x在在 0 1 上连续 且上连续 且 1 0 0f x dx 令令 0 x F xxf t dt 1 求 求 Fx 2 试证 在 试证 在 0 1 内至少存在一点内至少存在一点 使得 使得 0 0 f x dxf 1 解解 0 x F xf x dxxf x 2 证证 因为 0 x F xxf t dt在 0 1 上连续 且 0 1 FF 所以在 0 1 内至少存在一点 使得 0 0 f x dxf 七 本题满分七 本题满分 10 分 讨论曲线分 讨论曲线4lnyxk 4 4ln与与yxx 的交点个数 其中的交点个数 其中 4k 1 x y 0 4 k 解解 设 x kxxx 4ln4ln4 则有 1 ln4 3 x xx x 不难看出 x 1 是 x 的驻点 当时 10 x0 时 0 x 即 x 单调增加 故k 4 1 为函数 x 的最小值 当 即时 4k 0 x 无实根 即两条曲线无交点 当 即时 4k 40k 0 x 有唯一实根 即两条曲线只有一个交点 八 本题满分八 本题满分 5 分 设分 设 f x在在 上连续且单调增 证明上连续且单调增 证明 a b 2 bb aa ab xf x dxf x dx 证 证 令 x a x a dttf xa dttftxF 2 显然 对任意的 有 0 aF bax 2 2 1 xf xa dttfxxfxF x a x a dttfxf ax 2 1 2 0 2 1 x a dttfxf 故单调增 从而 即得 xF0 aFbF b a b a bFdxxf ba dxxxf0 2 从而 b a b a dxxf ba dxxxf 2 第 4 页 共 4 页 第 1 页 共 4 页 中国农业大学 2009 2010 学年秋季学期 2010 1 高等数学 A 参考答案 注意 本试卷共有九道大题 满分 100 分 考试时间 100 分钟 一一 填空题 本题共有填空题 本题共有 4 道小题 每小题道小题 每小题 3 分 满分分 满分 12 分 分 请将合适的答案填在 请将合适的答案填在横线上横线上 1 设设 a 为常数且为常数且6 31 21 1 lim 0 x axxx x 则则a 1 2 设 设 yf x 的一个原函数为的一个原函数为xln 则 则dy 2 1 dx x 3 2 22 2 4 xxdx 16 4 已知已知45 2aijkbijk 则使则使 a bab的的正数正数7 二二 单项单项选择题 本题共有选择题 本题共有 4 道小题 每小题道小题 每小题 3 分 满分分 满分 12 分 分 请将所选答案填在括号内请将所选答案填在括号内 1 已知已知 x xx x x kx 1 00 2 1ln lim sin lim 则 则k的取值为的取值为 C A 2 B 2 C 1 2 D 1 2 2 设函数设函数 xf可导 且可导 且 0 1 1 lim3 2 x ffx x 则曲线则曲线 xfy 在点在点 1 1 f的切线斜率的切线斜率 为 为 A A 6 B 1 C 2 D 1 3 广义积分广义积分 1 1 dx x D A 收敛于收敛于 1 2 B 收敛于收敛于 1 C 收敛于收敛于 2 D 发散发散 4 设函数 设函数 xf连续 则连续 则 x ttxtf x 0 22 d d d B A 0 B 2 xxf C 2 xf x D 2 2 xf x 第 2 页 共 4 页 三 计算下列各题 本题共有三 计算下列各题 本题共有 3 道小题 每小题道小题 每小题 5 分 满分分 满分 15 分 分 1 0 2 0 ln 1 sin2 lim x x t dt x 2 设曲线方程为 2 2 1 t x yt 求 2 2 d y dx 3 sin d x ex x 1 解解 原式 0 ln 1sin2 lim 2 x x x 0 ln 1 sin2 sin2 lim1 sin22 x xx xx 2 解解 1dy dxt 2 12 23 1 t d y dxtt 3 解解 sin dsin d xx ex xx e sindsin xx exex sincos d xx exex x sincos d xx exx e sin cosdcos xxx exexex sincossin d xxx exexex x 因此得 2sin d sincos xx ex xexx 即 1 sin d sincos 2 xx ex xexxC 四 本题满分四 本题满分12分 分 设 n xnxxf 1 2 1 n 求 1 xf在 0 1 上的最大值 nM 2 求极限 limnM n 解解 1 1 1 1 1 1 11 xnxnxnxxnxf nnn 令 0fx 得驻点 1 x 1 1 n x 又0 1 0 ff 0 1 1 1 1 n n n n f 所以 1 1 n n n nM 2 1 1 lim lim n nn n n nM 1 1 lim 1 1 n n n 1 1 11 lim 1 1 n n ne 第 3 页 共 4 页 五 本题满分五 本题满分 10 分 分 设 xf二阶可导 且0 fx 0h 证明 2 f xhf xhf x 证证 2 f xhf xhf xf xhf xf xhf x 1212 f c hf c hf cf ch 12 xcxhxhcx 12 0 fc cc h 21 ccc 所以 2 f xhf xhf x 六 本题满分六 本题满分 12 分 分 设设 xf在区间在区间 a a 上可积上可积 1 证明 证明 0 d d aa a f xxf xfxx 2 计算计算 4 4 cos d 1 x x x e 证证 由于 d a a f xx 0 0 d d a a f xxf xx 0 d a f xx 对作变换 dd xtxt 令 则 00 0 d d d a aa f xxfttftt 0 d d aa a f xxf xfxx 利用这一结果计算 4 4 cos d 1 x x x e 44 00 coscos2 dcos d 112 xx xx xx x ee 七 本题满分七 本题满分 12 分 分 设抛物线设抛物线 2 yaxbxc 通过点通过点 0 0 且当且当 0 1 x 时时 0y 试确定试确定abc 的值的值 使得抛物线使得抛物线 2 yaxbxc 与直线与直线1 0 xy 所围图形的面积所围图形的面积 为为 4 9 且使该图形绕且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小轴旋转而成的旋转体的体积最小 解解 因为抛物线 2 yaxbxc 通过点 0 0 所以0c 从而 2 yaxbx 抛物线与直线1 0 xy 所围图形的面积为 1 2 0 32 ab Saxbx dx 令 4 329 ab 得 86 9 a b 该图形绕轴x旋转而成的旋转体的体积为 22 1 22 0 532 abab Vaxbx dx 第 4 页 共 4 页 2 2 1 8686 53929 aaaa 2861 446 5819 dVaa a da 令0 dV da 得 5 3 a 于是2b 八 本题满分八 本题满分 10 分 分 已知平面 01 zyx和直线 l 02 01 zx zy 在平面 内求 一条直线 使得它通过 与 l 的交点 且与 l 垂直 解解 直线与平面的交点满足 02 01 01 zx zy zyx 解得交点为 0 1 0 z y x 将已知直线转化为 z yx 1 1 2 所以该直线的方向矢量为 2 1 1 所求直线垂直于平面的法矢量 1 1 1 垂直于已知直线的方向矢量 2 1 1 所以所求直 线的方向矢量为 kji kji 32 111 112 于是所求直线为 13 1 2 zyx 九 本题满分九 本题满分 5 分 分 设 x f 在 ba上连续 又0 bfaf 证明 1 2 b a f xfx dx bxa 证证 x a f t dtf xf af x b x ft dtf bf xf x 两式相减 得2 xb ax f xft dtft dt 所以2 xb ax f xft dtft dt xbb axa ft dtft dtft dt 即 1 2 b a f xfx dx 中国农业大学 2009 2010 学年秋季学期 高等数学B 上 课程考试试题 题号 题号 一 一 二 二 三 三 四 四 五 五 六 六 七 七 总分 总分 得分 得分 一 填空题 每小题一 填空题 每小题 3 分分 共共 15 分 分 1 若若 2010 1 11 lim 50 2 595 n ann n 则则 a 5 2010 2 设设 则则 1 1 1 3 xx xx xf1 x是是 xf的第的第一一类间断点类间断点 3 已知已知 则则 32 f h fhf h 3 22 lim 0 1 4 dx xx xx 13 sin 1 24 2 2 5 已知已知 则则 Cxdxxf 4 dxxfCx 3 4 二 单项选择题 每小题二 单项选择题 每小题3分分 共共15分分 请将所选答案填在横线上 请将所选答案填在横线上 1 极限存在是函数 极限存在是函数 lim 0 xf xx xf在处连续的在处连续的 0 xB条件条件 A 充分 充分 B 必要 必要 C 充分必要 充分必要 D 既非充分也非必要 既非充分也非必要 2 设在点 的 某 邻 域 内 连 续 设在点 的 某 邻 域 内 连 续 xf0 2 cos1 0 lim 0 x fxf x 则 点则 点 0 xA A 是的极小值点 是的极小值点 B 是 是 xf xf的极大值点的极大值点 C 不是的驻点 不是的驻点 D 是 是 xf xf的驻点的驻点 但不是极值点但不是极值点 3 设 设 x dt t t xf 2 0 sin dttxg x t sin 0 1 1 则当时则当时 是的是的0 x xf xg B A 等价无穷小 等价无穷小 B 同阶但不等价无穷小 同阶但不等价无穷小 C 高阶无穷小 高阶无穷小 D 低 阶无穷小 低 阶无穷小 4 若 若 则则 Cxdxxf x tan3 xfD A xx x tansec 3ln 3 B x x 2 sec 3ln 3 C D xx x tansec3ln3 x x2 sec3ln3 5 反常积分的值为 反常积分的值为 0 dxxe x C A B C 1 D 发散 发散 1 0 三 计算题 每小题三 计算题 每小题5分分 共共35分 分 1 x x x x 2 6 3 lim 解解 6 2 6 3 3 6 2 6 3 1lim 6 3 lim e xx x x x x x x x 2 2 11 arctan 1 lim x x tdt x x 解解 0 0 型型 2 1arctan2 1 arctan2arctan limarctan 1 lim 2 1 111 2 2 xxxtdt tdt x x x x x x 3 设由确定 设由确定 求求 xyy 23 1ln tty ttx dx dy 2 2 dx yd 解解 253 1 1 1 23 2 2 tt t tt dt dx dt dy dx dy 156 1 1 1 56 2 2 t tt t t dx yd 4 1 3 xx dx 解解 Cxx x xd x dx dx x x xxx dx 1ln 3 1 ln 1 1 3 1 1 1 1 3 3 3 3 2 3 5 已知的一个原函数是 已知的一个原函数是 求求 xf 2 x e dxxfx 解解 dxxfxxfxxdfdxxfx 因为的一个原函数是 所以因为的一个原函数是 所以 xf 2 x e 22 222 xxx xexeexf 1 2 Cedxxf x 故故 2 22 2 Ceexdxxfx xx 6 dxx 2 0 2sin1 解解 2 22sincoscossin cossinsincossincos sincoscossin2cossin2sin1 2 4 4 0 2 4 4 0 2 0 2 0 2 2 0 22 2 0 xxxx dxxxdxxxdxxx dxxxdxxxxxdxx 7 2 1 ln1 e xx dx 解解 132ln12 ln1 ln1 ln1 ln ln1 2 222 1 1 2 1 11 e eee x x xd x xd xx dx 四 四 10分 若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数分 若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数 求有最大面积的直角 三角形 求有最大面积的直角 三角形 解解 设直角边为设直角边为x 斜边与其和为常数斜边与其和为常数L 则则 2 22 1 22 2 LxL x xxLxxS 2 3 2 2 2 2 1 22 2 LxL xLL LxL x LxLxS 令令 得得 0 x S 3 L x 为唯一驻点为唯一驻点 且最大值存在且最大值存在 故故 363 2 LL S 为最大值为最大值 此时这条直角边与斜边的夹角为此时这条直角边与斜边的夹角为 3 五 五 10分 曲线分 曲线xy2 直线 直线4 xy及及0 y围成一平面图形围成一平面图形 1 求这个平面图形的面积 求这个平面图形的面积 2 求此图形绕 求此图形绕x轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积 解曲线解曲线xy2 直线及 直线及4 xy0 y的三个交点是的三个交点是 0 0 0 4 4 8 1 设这个平面图形的面积为 设这个平面图形的面积为 则则 S 3 40 6 1 4 2 1 2 1 4 4 0 32 4 0 2 yyydyyyS 或者或者 3 40 4 2 1 3 22 3 22 422 8 4 2 2 3 4 0 2 3 4 0 8 4 xxxxdxxxdxxS 2 设此图形绕轴旋转而成的立体体积为则 设此图形绕轴旋转而成的立体体积为则 x V 3 128 42 2 8 4 2 8 0 dxxdxxV 六 六 10分 当时分 当时 证明证明0 x xxe x 1ln11 证明证明 令令 1ln11 xxexf x 则则 1 1 11ln x exfxexf xx 当时当时 故故0 x 01 x exf x f 是单调递增函数是单调递增函数 即即 0fxf 因为因为 所以所以 00 f 0 x f 可知可知 当时当时 为单调递增函数为单调递增函数 即即0 x xf 0fxf 因为因为 所以所以 00 f 0 xf 也就是说也就是说 故故 01ln11 xxe x xxe x 1ln11 七 七 5分 设函数在闭区间分 设函数在闭区间 xf 1 0上可微上可微 对于对于 1 0上的每一个上的每一个 的 值都在开区间 的 值都在开区间 内内 且且 x xf 1 0 1 x f 证明在证明在 1 0内有且仅有一个内有且仅有一个 使得使得 x xxf 证明证明 1 存在性存在性 令令 xxfxF 则则 xF在在 1 0上连续上连续 由于由于 所以所以 10 fF 0111 xf xg x lim 0 x g xx 则lim x f x B A 一定不存在 B 不一定存在 C 存在且等于 0 D 存在但不等于 0 5 函数 f x在区间内可导 则在 内是函数 a b a b 0fx f x在内单调增加的 C a b A 必要而非充分条件 B 充分必要条件 C 充分但非必要条件 D 无关条件 6 设f x 在x a处连续 且 lim6 xa f x xa 则下列结论不正确的是 D A f a 0 B 6 f x xa 其中lim0 xa C afxf 6 xao xa D afxf 6 xa 7 11 lim sinsin x xx xx D A 0 B 不存在 C 1 D 1 1 中国农业大学数学系 任课教师 徐义田 2010 11 22 8 设 则 1 2 2010 f xx xxx 0 f C 2 中国农业大学数学系 任课教师 徐义田 2010 11 22 考生诚信承诺考生诚信承诺 1 本人清楚学校关于考试管理 考场规则 考试作弊处理的规定 并严格遵照执行 本人清楚学校关于考试管理 考场规则 考试作弊处理的规定 并严格遵照执行 2 本人承诺在考试过程中没有作弊行为 所做试卷的内容真实可信 本人承诺在考试过程中没有作弊行为 所做试卷的内容真实可信 学院 学院 班级 班级 学号 学号 姓名 姓名 A B 2010 C 2010 D 2010 2010 9 1 2 1 lim 1 1 n n n B A B 2 1 2 C D 10 10 设函数 f x的导数在xa 处连续 又 lim1 xa fx xa 则 B A xa 是 f x的极小值点 B xa 是 f x的极大值点 C 是曲线的拐点 a f a yf x D xa 不是 f x的极值点 不是曲线 a f a yf x 的拐点 二 若 3 0 sin6 lim0 x xxf x x 求极限 2 0 6 lim x f x x 10 分 解 33 33 333 000 6 6 6 6 sin6 3 3 limlimlim xxx xx xo xxf xxxf xo x xxf x xxx 3 3 32 000 6 6 6 limlim lim360 3 xxx xxf xxf x o x xx 即 2 0 6 lim36 x f x x 三 设 sin 0 ln 1 0 axx f x xbx 1 当为何值时 a b f x连续 2 当为何值时 a b f x可导 并求 fx 10 分 解 1 00 0f 00 fb 函数连续 则 可得 00 00 ff 0b 2 00 0 ln 1 0 limlim1 xx f xfx f xx 3 中国农业大学数学系 任课教师 徐义田 2010 11 22 4 00 0 sin 0 limlim xx f xfax fa xx 因为函数可导 可得 0 0 ff 1a 3 函数的导数为 cos 0 1 0 1 xx fx x x 四 证明方程只有一个正根 10 分 5 10 xx 解 设函数 5 1f xxx 在 0上连续 在内可导 1 0 1 1 根的存在性 因而在上又一个根 0 10 1 10ff 0 1 x 使得 0f x 2 根的唯一性 方法 1 单调性 5 4 1 510fxxxx f x在上单调递增 因而在 0内存 在唯一的根 0 1 1 方法 2 罗尔中值定理 假设在内存在两个根 0 1 12 使得 12 0 0ff 那么在 12 之间必定存在 使得 0f 而 5 4 1 510fxxxx 不可能等于零 f x 1 0 1 1 0f在 0上连续 在内可导 且 1 0 证明至少存在一点 五 设 使 2 f f 10 分 证 设辅助函数 2 xx f x 显然 x 在 0 1 上满足罗尔定理条件 故至少存在一点 0 1 使 2 20ff 即有 2 f f 0 1 中国农业大学数学系 任课教师 徐义田 2010 11 22 六 证明 当时 0 x 2 2 1ln1 xxx 10 分 解 当1x 设 即 2 1 1 ln1xxxx 1 ln1xxx 令 1 lnf xx x 在 1 x上满足拉格朗日中值定理 有 1 1 ln 1 f xfx 而 1 ln1 即 1 ln1xxx 成 立 两 端 同 乘 以 成立 10 x 当01x 即 1 ln1xxx 两边都为负数 两边乘 以 成立 10 x 即 1 ln0 x x 设 1 lng xx x 22 111 0 x g x xxx 1 0g 另解 另解 令 1 ln 1 x xx x 2 22 121 0 1 1 x x xxx x 当时 0 x 1 0 所以当01x 时 1 0 x 1 ln0 1 x x x 1 ln 1 x x x 即 1 ln1xxx 又10 x 所以 2 2 1ln1 xxx 当1时 x 1 ln1xxx 即结论成立 七 求函数 2 ln 1 f x x的单调区间 极值 凹凸区间和拐点 解 1 2 2 1 x fx x 令 2 2 0 1 x fx x 得0 x 当时 函数为减函数 当时 函数为增函数 当0 x 0fx 0fx 0 x 为 函数的极小值点 0 ln 10 0f 单增区间为 单减区间为 0 0 5 中国农业大学数学系 任课教师 徐义田 2010 11 22 2 2 22 22 1 x fx x 令 得 0fx 12 1 1xx 当 为凸函数 1x 0fx 当11x 当1x 为凸函数 拐点为 1 ln2 1 ln2 八 设存在 求 0 0 0 f f 1 lim 0 x x f x f 解 令 1 0 x f x y f 1 ln ln 0 1 ln ln ln 0 1 ff x yxff x x 0 1 ln ln 0 0 lim lnlim ln 1 0 x xx ff f x yf x f x 0 0 1 lim 0 x f f x f x e f 6 1 中国农业大学 2010 2011 学年秋季学期 高等数学 B 上 课程考试试题 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 得分 一 填空题 每小题一 填空题 每小题 3 分分 共共 15 分 分 1 2 22 2 sin 22 sinlimx xx x x 2 若若 6 6 xxf 则则 2 f 3 若 若1 0 x f 则则 h xfhxf h 2 3 lim 00 0 4 设 设 xf是是 1 1 上连续的偶函数上连续的偶函数 则则 dxxxf sin1 5 n n nnn n 1 sin 2 sinsin 1 lim dx 1 0 二 单项选择题 每小题二 单项选择题 每小题3分分 共共15分分 请将所选答案填在横线上 请将所选答案填在横线上 1 以下条件中 以下条件中 不是函数不是函数 xf在在 0 x处连续的充分条件处连续的充分条件 A xfxf xxxx00 00 limlim B 0 0 limxfxf xx C 0 xf 存在 存在 D xf在在 0 x处可微处可微 2 设 设 232 xx xf 则当则当0 x时时 xf是是x的的 A 等价无穷小 等价无穷小 B 同阶但不等价无穷小 同阶但不等价无穷小 C 高阶无穷小 高阶无穷小 D 低阶无穷小 低阶无穷小 3 0 x是函数是函数 1 1 1 x e xf的的间断点间断点 A 可去 可去 B 跳跃 跳跃 C 无穷 无穷 D 震荡 震荡 4 x x x 1 1lim A e B 1 e C 1 D 0 2 考生诚信承诺考生诚信承诺 1 本人清楚学校关于考试管理 考场规则 考试作弊处理的规定 并严格遵照执行 本人清楚学校关于考试管理 考场规则 考试作弊处理的规定 并严格遵照执行 2 本人承诺在考试过程中没有作弊行为 所做试卷的内容真实可信 本人承诺在考试过程中没有作弊行为 所做试卷的内容真实可信 学院 学院 班级 班级 学号 学号 姓名 姓名 5 若 若 Cxdxxf x arcsin2 则则 xf A 2 1 1 2ln 2 x x B 2 1 1 2ln 2 x x C 2 1 1 2ln2 x x D 2 1 1 2ln2 x x 三 求下列极限 每小题三 求下列极限 每小题5分分 共共10分 分 1 1ln cos1 1 cossin3 lim 2 0 xx x xx x 2 1ln 1 lim 6 0 0 2 2 x dte x t x 四 求下列导数 每小题四 求下列导数 每小题5分分 共共10分 分 1 x x ytanlncos 2 tanln 求求 y 2 设 设 xyy 由由 ty tx arctan 1ln 2 确定确定 求求 2 2 dx yd 五 求下列积分 每小题五 求下列积分 每小题5分分 共共10分 分 1 dx e x 1 1 2 dxx 0 2cos1 六 六 8分 设分 设 x dt t t xf 0 sin 求求 0 dxxf 七 七 8分 求曲线分 求曲线 x ey 直线直线ey 及及y轴所围成的图形轴所围成的图形 绕绕y轴旋转一周而成的旋转椭球 体的体积 轴旋转一周而成的旋转椭球 体的体积 八 八 8分 当分 当0 x时时 证明证明 2 1 arctan x x 九 九 8分 求曲线分 求曲线xy 的一条切线的一条切线l 使得该曲线与切线使得该曲线与切线l及直线及直线0 x 2 x所围成的图 形的面积最小 所围成的图 形的面积最小 十 十 8分 设分 设 xf在区间在区间 1 0上连续上连续 且且1 xf 证明方程证明方程 x dttfx 0 1 2在开区间在开区间 1 0 内有且仅有一个根内有且仅有一个根 中国农业大学 2010 2011 学年秋季学期 2011 1 高等数学A 课程考试试题 A卷 题号 题号 一 一 二 二 三 三 四 四 五 五 六 六 七 七 八 八 九 九 总分 总分 得分 得分 注意 本试卷共有八道大题 满分 100 分 考试时间 100 分钟 一 单项选择题 本题共有 4 道小题 每小题 3 分 满分 12 分 请将合适选项填在括号内 1 设函数 设函数 f x在处连续 下列命题错误的是 在处连续 下列命题错误的是 0 x A 若若 0 lim x f x x 存在 则存在 则 B 若若 0 0f 0 lim x f xfx x 存在 则存在 则 0 0f C 若若 0 lim x f x x 存在 则存在存在 则存在 D 若若 0 f 0 lim x f xfx x 存在 则存在 存在 则存在 0 f 2 设 2 0 sin x f xtdt 34 g xxx 则当时 0 x f x是的 g x A 高阶无穷小高阶无穷小 B 同阶但非等价无穷小同阶但非等价无穷小 C 等价无穷小等价无穷小 D 低阶无穷小 低阶无穷小 3 设是上的连续函数 则设是上的连续函数 则 xf aa cos a a f xfxxd x A 1 B 0 C 1 D 无法计算无法计算 4 下列选项正确的是 下列选项正确的是 A 1 1 2 1 dx x 2 B 1 1 2 1 dx x 2 C dx x 1 1 2 1 不存在不存在 D dx x 1 1 2 1 0 二 二 填空题 本题共有 4 道小题 每小题 3 分 满分 12 分 请将答案填在横线上 1 已知已知 0 sin lim3 2 x kx x x 则的值等于则的值等于 k 2 已知已知 cos x x 是是 f x的一个原函数 则的一个原函数 则 cos d x f xx x 3 计算定积分计算定积分 1 2 0 1dxx 1 考生诚信承诺考生诚信承诺 1 本人清楚学校关于考试管理 考场规则 考试作弊处理的规定 并严格遵照执行本人清楚学校关于考试管理 考场规则 考试作弊处理的规定 并严格遵照执行 2 本人承诺在考试过程中没有作弊行为 所做试卷的内容真实可信本人承诺在考试过程中没有作弊行为 所做试卷的内容真实可信 学院 学院 班级 班级 学号 学号 姓名 姓名 4 是偶函数 在曲线上点 1 2 处的切线方程为 则曲线 在点 1 2 处的切线方程为 是偶函数 在曲线上点 1 2 处的切线方程为 则曲线 在点 1 2 处的切线方程为 xfy xfy 053 yx 三 计算下列各题 本题共有 4 道小题 每小题 6 分 满分 24 分 1 求极限 求极限 3 0 sin lim x xx x 2 求参数方程 求参数方程 2 3 1xt yt t为参数 所确定的函数为参数 所确定的函数 yf x 的导数的导数 2 2 dy d y dx dx 3 求不定积分求不定积分 ln d x x x 2 4 已知已知 求的二阶导数 求的二阶导数 0 d x F xxt f tt F x 四 四 本题满分 10 分 求函数 x n e n xx xy 2 1 2 的极值 其中为正奇数 n 3 学院 学院 班级 班级 学号 学号 姓名 姓名 五 五 本题满分 10 分 设 f x在 0上连续 且 1 1f x 证明 0 2 d1 x xf tt 1 123 1 1 1 2 0 1 1 1 0 PPP 在 0上只 有一个解 的平面方程 六 本题满分 10 分 求经过三点 4 七 本题满分 10 分 设函数 f x在 0 1上可微 且满足 1 2 0 12d0fx fxx 证明在 内至少存在一点 0 1 使 f f 5 学院 学院 班级 班级 学号 学号 姓名 姓名 6 八 八 本题满分 12 分 求曲线 2 2yxx 0 1 3yxx与 S所围成的平面图形的面积 并求该图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积 y 1 2010 2011 学年秋季学期 2011 1 高等数学A 课程考试试题 A卷 题号题号 一一 二二 三三 四四 五五 六六 七七 八八 九九 总分总分 得分得分 注意 本试卷共有八道大题 满分 100 分 考试时间 100 分钟 一 单项选择题 本题共有 4 道小题 每小题 3 分 满分 12 分 请将合适选项填在括号内 1 设函数设函数 f x 在在0 x 处连续 下列命题错误的是处连续 下列命题错误的是 A 若若 0 lim x f x x 存在 则存在 则 0 0f B 若若 0 lim x f xfx x 存在 则存在 则 0 0f C 若若 0 lim x f x x 存在 则存在 则 0 f 存在存在 D 若若 0 lim x f xfx x 存在 则存在 则 0 f 存在存在 2 设 2 0 sin x f xtdt 34 g xxx 则当0 x 时 f x是 g x的 A 高阶无穷小高阶无穷小 B 同阶但非等价无穷小同阶但非等价无穷小 C 等价无穷小等价无穷小 D 低阶无穷小低阶无穷小 3 设设 xf是是 aa 上的连续函数 则上的连续函数 则 cos a a f xfxx