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超级几何画板动态作图教程是几何，那就少不了图形，不然何以体现其意，因此作图就是随之而来的非常重要的一方面了，然而通常我们所作的图都是静态的，很多时候不足以令我们满意，那么动态作图怎么说都将是你的“肱股”。动态作图是本智能软件的重要功能之一，也是本软件的“精彩”之处，当然这个“精彩”是建立在你灵活使用的基础上。灵活运用动态作图的有关操作以及这些操作的有效组合不但可以按要求准确地画出几何图形，而且具有动态显示功能。用鼠标拖动点可以改变图形的位置和形状，同时保持几何对象间的几何关系不变（简单地说这就是动态的含义）。这样可以形象的反映出点与点、点与线、点与面、线与线、线与面以及面与面之间的关系。借此可以观察出一些重要的几何原理。在叙述动态作图之前，我们有必要先了解一些基本操作（当然如果你不想的话可以跳过，不过最好是循序渐进，算是“先走后跑”吧）：点的选取：单击“对象选取工具”使其处于被选中状态，然后单击要选取的点。直线的选取：在“对象选取工具”处于被选中状态时单击要选取的直线，当然你也可以按下Ctrl键，然后依次选取确定直线的两个点来代替选中直线。平面的选取：在“对象选取工具”处于被选中状态时，依次选中确定平面的三个点多个对象的选取：有时需要将一个以上的几何元素同时处于选中状态，其实现操作是：依次选取所要求的对象；另外的一个方法就是在工作区中连续的选取（单击对象名），同样可以同时选取多个对象，而不需要按下Ctrl键，当然需要记住的是连续选取，不要把鼠标点到作图区中去了；或者使用连选功能。对象选取中的其他问题：相同对象（例如同是三个点）的选取先后次序不同其实现的意义也往往不同；当误选中某对象时（例如当你选取点B时却不小心误选了点A），你可以再次选取该对象（比如这里的点A），消除其选中状态，然后继续后面的步骤，当然也可以放开Ctrl键消除所有选取动作，再重新选取。关于作图中的逻辑顺序点：一般在我们作图过程中作点、画线会有先后顺序，点的命名也有一般规则：点的名字按照作点的顺序依次获得在字母表中的字母，同样，本软件在作图过程中亦是严格遵守此项规则。所以为了方便说明问题，我们将点的名字在字母表中位置前后称为点的逻辑顺序。另外：在作图过程中本智能软件实现了一次命令作出多个类似图形的功能。例如在取已知线段的中点操作中，你可以选取多条线段后执行作线段中点的命令，即可作出所有被选取的线段的中点来。关于这一点其他的命令与此类似，你尽可以利用此项功能避免重复操作的烦琐和无谓的时间浪费。以下的各个菜单命令介绍中将略去对此项的说明。在作图过程中，如果你选取了不满足作图要求的几何元素而执行命令时，计算机将拒绝你的请求并弹出对话框解释错误原因。譬如，在作两条已知直线的交点的过程中你选择的是异面的两条直线、作平面上的自由点的过程中你选择的是不共面的四个点等情况。这时你应该检验几何元素选取中的错误以及考虑所进行某项操作请求的合理性。关于这一问题及相关处理，以下各个菜单命令中均不再提及。前提说完了，接着当然是言归正传了，菜单命令“作图”的下拉菜单如图5-1，下面我们就逐个详细来说明。图5-1 “作图”的下拉菜单5.1 宏与迭代图5-2 宏与迭代简单地说，宏就是只有一层的迭代，因此下面直接介绍迭代是如何实现的。我们知道函数是如何迭代的，如函数y = f (x)自迭代5次后为y = f (f (f (f (f (f (x) ) ) ) ) )，几何图形的迭代也类似。在创建迭代前，需要选定若干几何对象作为迭代的基础。我们以实例来介绍。1任意作三角形ABC，取各边中点D、E、F，填充三角形DEF。如图5-3。图5-3 作三角形2选取该三角形ABC中包含的所有对象（包括填充的三角形DEF），单击菜单命令“作图| 宏或迭代| 新建宏或迭代”，弹出如图5-4的对话框，在这里我们进行迭代的具体设置。图5-4 迭代对话框我想必要介绍一下这个对话框：在“迭代和宏名称”栏为自己的迭代取一个名字，默认计算机会产生一个名字，如图中MI815419238则为计算机自动产生的名字。在“迭代和宏名称”栏右侧的列表框列出所有已有的迭代，用户可以通过执行“添加”按钮从文件中添加已保存过的迭代到列表中，同样选取某个迭代，单击“删除”按钮来删除不需要的迭代。“入口点”列表栏列出了我们选取的几何图形的初始点，即选取的几何图形是通过哪些点产生的。“新产生的对象”列表栏列出了由“入口点”所产生的对象，单击其中的对象列，可以设定对象产生后是否显示。“迭代点”栏则待列出用户从“入口点”或“新产生的对象”列表栏中添加来的点（双击其中的点，则添加到该栏，同样在“迭代点”栏双击其中的点，可以删除迭代点），在是迭代的关键。在“入口点”栏下的列表栏用来设定各迭代层是否使用新画笔和画刷，单击前面的，决定使用新画笔和画刷与否，右键则弹出画笔和画刷修改对话框，若小方框中有对号“”，则该层产生的新对象将使用刚设置的画笔及画刷，其中的层数由“次数”文本栏输入的数字决定。“新点自动产生名字”，若不选择该选项则在迭代过程中如果产生新点，计算机将不给其一个默认的名字。“延迟时间”栏用来输入一个时间（单位为毫秒），该时间为每曾迭代之间的时间，这方便用户决定迭代的过程的速度。3首先设置迭代名称为MI0001，次数为4，延迟时间为500毫秒。然后在“入口点”栏双击点A，使其添加到“迭代点”栏，在“新产生对象”栏分别双击点D、F，同样使其添加到“迭代点”栏，这样就把三角形ADF的顶点添加到“迭代点栏”，这样进行迭代的话，则会对三角形ADF进行想三角形ABC一样的操作（作三边的中点，并填充该三角形）。4同样的方法把三角形BDE、三角形CEF的顶点添加到“迭代点栏”；然后在在“新产生对象”栏分别单击点D、E、F，设置他们产生时隐藏。结果如图5-5。图5-5 设置5经过这样设定后，可以单击“确定”按钮，保存我们所做的迭代，而且在“宏与迭代”子菜单中会出现该迭代名。如图5-6。图5-6 菜单变了6新建一页面，任意作三点A、B、C，并选取，单击菜单命令“作图| 宏或迭代|MI0001”（其中MI0001为迭代名），则有如图5-7的迭代图形。图5-7 漂亮的迭代结果5. 2 智能作图单击本命令，鼠标将变成，这时我们就可以在作图区中进行智能作图，为什么叫“智能作图”呢？因为这支笔即能作点、画线，还能作圆，也就是平面几何中几乎所有的图形了，其中尤其是作点，不仅能作出自由点，它还能作出半自由点（如直线上的点等等），还能作出非自由点（如线段交点）。当然它作出不同类型的点种类，这取决于你设定计算机的智能程度，这可以参见“查看| 智能画笔类型”。在作图区中任意单击则为作一任意点；若单击鼠标，不松开鼠标并拖动，拖动适当距离后松开鼠标，则作出线段；若双击鼠标，在双击中的第二次单击不松开鼠标并拖动，拖动适当距离后松开鼠标，则作出圆。5. 3 点点是构成几何图形最基本的元素，而自由点又是点的基本。所谓自由点就是可以自由移动的点，不受其它对象的约束。相对自由点而已，还有半自由点及非自由点（或称约束点）；半自由点可以动，但不是任意的移动，它是几何对象上的任意点，如直线上的点，圆上的点等等；非自由点，它不能动，由其它几何对象产生，如线段的交点等。如图5-8，该子菜单包含了本软件中能作出的点。图5-8 点坐标点所谓坐标点，是指点在坐标系下的坐标需符合已知条件。单击菜单命令中的“作图| 点| 坐标点”，弹出一如图5-9点坐标输入对话框。在该对话框中有一个列表框，双击其中任意一行，进行坐标输入，如在列第一行双击则输入x坐标。其中“x拖动”及“y拖动”表示“x坐标”或“y坐标”为变量，可以在该方向上进行移动变换，当然前提是该坐标能被拖动。图5-9 坐标点如图输入点坐标（x, sin(x)），并且“x拖动”框中输入x，单击“确定”按钮，得到一点A。选取点A，单击菜单命令“作图| 跟踪”，拖动点A水平运动，则有如图5-10的图形，你会发现它就是正弦函数图形，其实对于点A你不难发现 y = sin(x)。图5-10 坐标点A的轨迹整数点该命令作出一个坐标都是整数的点。1. 单击菜单“作图| 点| 整数点”命令。2. 在画图窗口中用鼠标确定点的位置，程序将会选择一个与所选位置的坐标最接近的整数坐标，以这个坐标作出一个新的整数点。注意：由该命令作出的点不能进行拖动；若鼠标单击处已有点存在，则不再作出新点。坐标关联点该命令作出的点将与其它点坐标相关联。1选取若干点（不超过6个，多于不记），设选取三点A、B、C，单击菜单“作图| 点| 坐标关联点”命令。2弹出如图5-11的坐标填写框。其中在“x-拖动参数”上面的“参数”输入框填写横坐标，在其下的“参数”输入框填写纵坐标。图5-11 关联坐标也许你会对如图5-11中的坐标填写感到奇怪，(xxx0+xxx1+xxx2)/3 或 (yyy0+yyy1+yyy2)/3，表示什么意思？首先（xxx0, yyy0）、（xxx1, yyy1）、（xxx2, yyy2）分别代表三个点，其实（xxx0, yyy0）就是我们选取的三个点时第一个被选取的，同样（xxx1, yyy1）、（xxx2, yyy2）分别为第二、第三个点。因此如图5-11作出的点刚好是三角形ABC的重心。曲线上的点曲线上的点共有以下几种，这些点都将是半自由点，可以在相应的对象上移动：直线上的点：其中这里的直线包括直线、射线、线段及向量。选取已知的（直、射）线（段）或向量，然后单击“作图| 点| 直线上的点”。 平行直线上的点：选取任一点A、直线（或线段等）BC，然后单击“作图| 点| 平行直线上的点”。得到的该点为过点A且平行线段BC的直线上的点。垂直直线上的点：选取任一点A、直线（或线段等）BC，然后单击“作图| 点| 垂直直线上的点”。得到的该点为过点A且垂直线段BC的直线上的点。多边形上的点：即在多边形的边上的自由点。选取已知多边形（可以选取若干个点，则多边形为这些点组成的多边形），然后单击“作图| 点| 多边形上的点”，即可完成。执行上述操作后获得的点初始位置是在你所选的第一、第二个点所在边的中点，你可以用鼠标拖动该点，使其在多边形的各边的任意位置。圆上的点：选取一圆，然后单击“作图| 点| 圆上的点”，则得到该圆上的任意点。函数曲线上的点：选取一函数曲线，然后单击“作图| 点| 函数曲线上的点”，则得到该曲线上的任意点。线段的中点、点在直线上的垂足、角平分线上的点这几种意义很明显，操作也很简单。需要注意的是角平分线上的点，该不是半自由点，它其实是角平分线与该角对边的交点。如取ABC角平分线上的点D，则BD为ABC的角平分线，且BD交AC于D。三角形的“心”三角形的各个“心”自然也是不同类型的点。选取任意三点，执行相应的命令，即可作出相应的“心”：重心、垂心、外心、内心。点关于点的对称点选取任意两点A、B，单击菜单命令“作图| 点 |点关于点的对称点”，则作出点A关于点B的对称点C。若选取的点的个数是大于2的偶数，则作出的点为两个两个的作。如若选取A、B、C、D，单击菜单命令“作图| 点 |点关于点的对称点”，则作出点A关于点B的对称点E，点C关于点D的对称点F。线段的定比分点选取两点A、B，单击菜单命令“作图| 点| 线段的定比分点”，弹出如图5-12对话框，在该对话框中输入定比分点的比值（不为-1）：图5-12 定比分点单击“确定”按钮，则得到直线AB上的一点C，且AC/CB=2。线段的比例点有两种情况：A. 从3点出发：顺次选择A、B、C三点点，执行菜单命令“作图|点|线段的比例点”，在打开的对话框里输入参数d (数字、字母或数学表达式)，单击确定，就作出了点D，它满足条件 AD/BC=d 和 ADBC。当d0时，AD与BC同向平行，d0时，AE与AB同向，d0时为反向。点绕点的缩放旋转点依次选择点A、B，单击菜单命令“作图| 点| 点绕点的缩放旋转点”，弹出如图5-13对话框，在该对话框中输入缩放比例（若值为负则表示反方向）及旋转角度。图5-13 缩放比例及旋转角度如图填写，缩放比例为2，旋转角为-45（注意为逆时针）。则作出的点C满足：BC = 2*AB，ABC = 45。其意义为：把点A绕点B逆时针旋转-45（即顺时针旋转45），且把线段AB的值放缩2倍。等长线段的端点依次选择一线段和一点，单击菜单命令“作图| 点| 等长线段的端点”，则从选择的点作出一条线段，该线段和所选择的线段长度相等。交点交点有两直线的交点、直线与圆的交点、两圆的交点，作出的交点为约束点。5.3 线段、向量、射线和直线介绍了“点”后，接着自然应该是“线”，当然线分别直线与曲线。那么首先来看看直线，如图5-13，为子菜单“线段、向量、射线和直线”的内容。 图5-13 直线其中线段、向量、射线、直线作法很简单，选取若干点P1、P2、P3、Pn，单击相应的菜单命令，则得到n个相应对象P1P2、P2P3、P3P4、Pn-1Pn、PnP1。因此选点时顺序是需要注意的。当然在不选取任何对象的情况下，作直线的话，则是根据方程作直线。如图5-14，为方程输入对话框。图5-14 方程作直线用户可以选择截距式方程、斜截式方程、一般式方程三种直线方程来作直线。选择不同的方式需要输入的数据也不一样。选取任意一点及直线，则可以作出过该点且平行或垂直已知直线的“平行直线”或“垂直直线”。选取任意3个点，则可以作出由该3点构成的角的线。若是3的倍数个点，则按每3个来作角平分线。圆锥曲线的切线：选择一条圆锥曲线和一个点（所选圆锥曲线上或不在曲线上），然后单击菜单命令“作图| 线段、向量、射线和直线| 圆锥曲线的切线”，计算机将给出过所选点与所选圆锥曲线相切的所有直线（如果点在曲线上给出一条直线；点在曲线外给出两条直线；点在曲线切线退化，当点移到曲线上或曲线外时切线将会出现）。两圆的公切线：选择两个圆，单击菜单命令“作图|线段、向量、射线、直线和曲线|两圆的公切线”，系统将给出两圆所有存在的公切线。公切线的可见条数由两圆的位置关系确定，当两圆的位置关系改变时，其随之改变。圆锥曲线的准线：选择一个圆锥曲线，单击菜单命令“作图| 线段、向量、射线、直线和曲线| 圆锥曲线的准线”，系统将会给出该圆锥曲线的所有的准线。选择一条双曲线，单击菜单命令“作图| 线段、向量、射线、直线和曲线| 双曲线的渐进线”，系统将会给出该双曲线的两条渐进线。曲线的切线：任作一条曲线，在曲线上作一点，选择该点，单击菜单命令“作图| 线段、向量、射线和直线| 曲线的切线”，则作出过该点和曲线相切的直线。5.4 常见多边形软件提供如图5-15中各种常见多边形：图5-15 常见多边形等腰三角形：该命令的作用是根据一条线段(向量或两个点)作一个等腰三角形。1.在作图窗口中选取一条线段(向量或两个定点)。2.单击“作图|多边形|等腰三角形”命令即可。注意：执行该命令时，选定的线段、向量或两个定点所确定的线段均作为等腰三角形的底边。另一顶点的位置在所选的有向线段按逆时针方向旋转的一侧。注意点选取的先后顺序，选取顺序不同，得到的线段方向不同，由该线段作出的等腰三角形也不同。等边三角形：该命令的作用是根据一条线段(向量或两个点)作一个等边三角形。1.在作图窗口中选取一条线段(向量或两个定点)。2.单击“作图|多边形|等边三角形”命令即可。注意：另一顶点的位置在所选的有向线段按逆时针方向旋转的一侧。注意点选取的先后顺序，选取顺序不同，得到的线段方向不同，由该线段作出的等边三角形也不同。等边三角形：该命令的作用是根据一条线段(向量或两个点)作一个等边三角形。1.在作图窗口中选取一条线段(向量或两个定点)。2.单击“作图|多边形|等边三角形”命令即可。注意：另一顶点的位置在所选的有向线段按逆时针方向旋转的一侧。注意点选取的先后顺序，选取顺序不同，得到的线段方向不同，由该线段作出的等边三角形也不同。等腰梯形：任意选择三个点，单击菜单命令“作图|常见多边形|等腰梯形”，则生成一个等腰梯形，选择的三个点为等腰梯形的三个顶点。平行四边形：1.用鼠标在作画窗口中选定三个点。2.单击“作图|常见多边形|平行四边形”命令即可。注意：注意点的选取顺序。程序以这三点的先后顺序确定平行四边形的一个内角，第四个顶点在该内角的对角位置上。矩形：该命令的作用是根据一条线段(向量或两个点)作一个矩形。1.用鼠标在作图窗口中选定一条线段(向量或两个定点)。2.单击“作图|多边形|矩形”命令。注意：应注意选取线段(向量或两个定点)的先后顺序。矩形另外两个顶点的位置在所选线段(向量或两个定点)的方向按逆时针旋转的一侧正方形：该命令的作用是根据一条线段(向量或两个点)作一个正方形。1.用鼠标在作图窗口中选定一条线段(向量或两个定点)。2.单击菜单中的“作图|常见多边形|方正形”命令。注意：应注意选取线段(向量或两个定点)的先后顺序。正方形另外两个顶点的位置在所选线段(向量或两个定点)的方向按逆时针旋转的一侧正多边形：该命令的作用是根据一条线段(向量或两个点)作一个正多边形。1.用鼠标在作图窗口中选定一条线段(向量或两个定点)。2.单击菜单中的“作图|常见多边形|正多边形”命令。3.在弹出的对话框中输入需要做的正多边形的边数。注意：应注意选取线段(向量或两个定点)的先后顺序。正多边形其它顶点的位置在所选线段(向量或两个定点)的方向按逆时针旋转的一侧。圆内接正多边形：依次选取一圆和该圆上一点，单击菜单命令“作图|常见多边形|圆内接正多边形”，在对话框中输入多边形的边数n，则得到该圆的内接正n边形。圆外切正多边形：依次选取一圆和该圆上一点，单击菜单命令“作图|常见多边形|圆外切正多边形”，在对话框中输入多边形的边数n，则得到该圆的外切正n边形。多边形：依次选取n个点，单击菜单命令“作图|常见多边形|多边形”，则得到以选取的n个点为顶点的多边形。克隆多边形：任作一个多边形，选择该多边形的所有顶点，单击菜单命令“作图|常见多边形|克隆多边形”，则生成一个和所选择的多边形一样的多边形。在生成的多边形中，和所选择的多边形的第一个顶点相对应的点为该多边形的拖动点，可任意拖动该多边形；和所选择的多边形的第二个顶点相对应的点为该多边形的旋转点，可任意旋转该多边形。5.5 圆与圆弧圆也是基本几何之一。如图5-16为作圆与圆弧子菜单。图5-16 圆与圆弧圆：该命令作已知圆心及圆上一点的的圆。依次选取两个点，单击菜单命令“作图| 圆与圆弧| 圆”，则得到以第一个被选取的点为圆心，且过第二个被选取的点的圆。过三点的圆：选择三个点，单击菜单命令“作图| 圆和圆弧| 过三点的圆”，系统将在作图窗口内作出通过这三点的一个圆，拖动任一点可以改变圆的大小和位置。已知圆心和半径的圆：选择一个点和一条线段，单击菜单命令“作图| 圆和圆弧| 已知圆心和半径的圆”，系统将在作图窗口内作出通过这三点的一个圆，拖动任一点可以改变圆的大小和位置。已知圆心和切线的圆：选择三个点，单击菜单命令“作图| 圆和圆弧| 过三点的圆”，系统将在作图窗口内作出通过这三点的一个圆，拖动任一点可以改变圆的大小和位置。过三点的圆弧：依次选择三个点，单击菜单命令“作图|圆和圆弧|过三点的圆弧”，系统将在作图窗口内作出通过这三点的一个圆弧，拖动任一点可以改变圆弧的大小和位置。注：作出圆弧将与选点的顺序有关。圆周角上的圆弧：选择三个点（A、B、C），单击菜单命令“作图|圆和圆弧|圆周角上的圆弧”，系统将在作图窗口内作出过这三点圆的圆周角ABC所对的弧AC，拖动任一点可以改变圆的大小和位置。注：作出圆弧将与选点的顺序有关。已知圆上的圆弧：依次选择一圆和该圆上两点，单击菜单命令“作图|圆和圆弧|已知圆上的圆弧”，则可作出在该圆上，逆时针从第一点到第二点的一段圆弧。5.6 圆锥曲线(仅适用于超级画板和平面解析几何)“圆锥曲线”在几何中有着重要地位，如图5-17为各种作圆锥曲线的方法。图5-17 圆锥曲线1根据条件作标准圆锥曲线：选取任意一点（该点将作为所作圆锥曲线的中心），然后单击菜单命令“作图| 圆锥曲线| 根据条件作标准圆锥曲线”，弹出如下对话框：在“条件”选项卡内选择所要画的圆锥曲线的类型，选定之后，对话框内相应的输入栏和选项框会被激活，如果是椭圆或双曲线，选择它的焦点位置，如果是抛物线，选择它的开口方向；在对应输入栏，输入足够的已知条件，如果输入项中含有变量，单击“增加变量”，需要改变其初值的话，在对话框右栏中选择该变量，并在其下的输入栏输入初值即可；设置好之后，单击“确定”，则可到一标准圆锥曲线。2已知三点作圆锥曲线：选取任意三点，单击菜单命令“作图| 圆锥曲线| 已知两焦点并过定点的椭圆”， 计算机则作出一椭圆：先选中的两个点为椭圆的焦点，后选中的一个点为椭圆上的任意点；若单击菜单命令“作图|圆锥曲线|已知两焦点并过定点的双曲线”，计算机则作出一双曲线：先选中的两个点为双曲线的焦点，后选中的一个点为双曲线上的任意点。3已知两点及长半轴或实半轴作椭圆或双曲线：选取任意两点（作为待作圆锥曲线的两焦点），单击菜单命令“作图| 圆锥曲线| 已知两焦点和长半轴的椭圆”（或“作图| 圆锥曲线| 已知两焦点和实半轴的双曲线”），在弹出对话框中输入长半轴（或实半轴）的值（该值可以是变量），单击对话框的“确定”按钮，则得到以选取两点为焦点的椭圆（或双曲线），其长半轴（或实半轴）的值为用户输入的值。4抛物线：选取任意三点（第一点为焦点、第二点为对称轴上任意点、第三点为抛物线上的任意点），通过命令“作图| 圆锥曲线| 已知焦点、对称轴上一点并过定点的抛物线”可以作出一抛物线；若选取两点，单击菜单命令“作图| 圆锥曲线| 已知顶点和焦点的抛物线”得到抛物线，这第一点为抛物线的顶点，第二点为抛物线焦点；若选取一点及一线，单击菜单命令“作图| 圆锥曲线|已知顶点和准线的抛物线”得到抛物线，则点为抛物线的顶点，先为抛物线的准线。5圆锥曲线的统一作法：我们知道圆锥曲线有个统一的定义：到定点距离与到定直线的比为定值e，而这个e就是圆锥曲线的离心率。选取任意一点及一线，单击菜单命令“作图| 圆锥曲线| 已知焦点、准线和离心率的圆锥曲线”，在弹出的对话框中填写圆锥曲线的离心率e（可以是数值，也可以是变量、表达式），则得到一圆锥曲线