辽宁省沈阳市高三数学第九次模拟考试试卷 理（含解析）.doc

2016-2017学年辽宁省沈阳市高三第九次模拟考试理科数学一、选择题：共12题1设集合a=x|x2-2x-30，则ab=a.-1,+b.-,3c.0,3d-1,3【答案】a【解析】本题主要考查集合的基本运算、一元二次不等式的解法.集合a=xx2-2x-30=x|-1x0，则ab=x|x-1.2已知复数z在复平面内对应点是(1,2)，若i虚数单位，则z+1z-1=a.-1-ib.1+ic.-1+id.1-i【答案】d【解析】本题主要考查复数的四则运算.依题意，复数z=1+2i，则z+1z-1=2+2i2i=1-i，故选d.3已知向量a与b为单位向量，满足|a-3b|=13，则向量a与b的夹角为a.30b.60c.120d.150【答案】c【解析】本题主要考查平面向量的模与数量积，考查了转化思想与计算能力.由题意，将|a-3b|=13两边平方可得a2-6ab+9b2=13，即1-6cos+9=13,则cos=-12，所以=120.4若函数f(x)(xr)是奇函数，函数g(x)(xr)是偶函数，则a.函数f(x)-g(x)是奇函数b.函数f(x)g(x)是奇函数c.函数fg(x)是奇函数d.gf(x)是奇函数【答案】b【解析】本题主要考查函数的奇偶性.因为函数f(x)(xr)是奇函数，函数g(x)(xr)是偶函数，所以f-x=-fx，g-x=g(x)所以f-xg-x=-f(x)g(x)，故f(x)g(x)是奇函数.5定义：|abcd|=ad-bc，如|1234|=14-23=-2，则|12xdx312|=a.0b.32c.3d.6【答案】a【解析】本题主要考查新定义问题、定积分，考查了计算能力.由题意可得12xdx312=212xdx-3=x2|12-3=06某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是a.203b.6c.163d.103【答案】d【解析】本题主要考查三视图及空间几何体的体积.由三视图可知，几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，故半圆柱的体积为v1=12221=2，上部半圆锥的体积为v2=1213222=43.故几何体的体积为v=v1+v2=43+2=103，故选d.7九章算术中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是a.310b.320c.1-310d.1-320【答案】d【解析】本题主要考查几何概型、直角三角形与其内切圆，解决本题的关键是由直角三角形的边长求出内切圆的半径.由题意，直角三角形内切圆的半径r=8+15-172=3，所以现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率p=12815-912815=1-3208已知数列an满足a1，a2a1，a3a2，anan-1是首项为1,公比为2的等比数列,则a101=a.2100b.24950c.25050d.25151【答案】c【解析】本题主要考查等比数列的通项公式，因为数列an满足a1，a2a1，a3a2，anan-1是首项为1,公比为2的等比数列,所以a1=1，anan-1=2n-1,所以an=a1a2a1a3a2anan-1=1242n-1=21+2+n-1=2n(n-1)2,当n=1时，a1=1满足上式，故an=2n(n-1)2，所以a101=2101(101-1)2=250509若实数x,y满足：|x|y1，则x2+y2-2x的最小值为a.12b.-12c.22d.22-1【答案】b【解析】本题主要考查不等式的性质、二次函数的性质，考查了转化思想与计算能力.因为|x|y1，所以-1x1,所以x2+y2-2x2x2-2x=2x-122-12,因为-1x1，所以，当x=12时，x2+y2-2x取得最小值-1210水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为r的水车，一个水斗从点a(33,-3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过t秒后，水斗旋转到p点，设p的坐标为(x,y)，其纵坐标满足y=f(t)=rsin(t+)(t0,0,|0,b0)的左、右焦点为f1、f2，在双曲线上存在点p满足3|pf1+pf2|2|f1f2|,则双曲线的渐近线的斜率ba的取值范围是a.0ba32b.ba32c.00)，且y=f(x)的图象在x=0处的切线l与曲y=ex相切，符合情况的切线a.有0条b.有1条c.有2条d.有3条【答案】a【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义，设切线l与曲y=ex相切的切点(m,n),求出切点的个数即可.f(x)=1-1aexa，则f(0)=1-1a，f0=-1，所以切线l的方程为y=1-1ax-1，设切线l与曲y=ex相切的切点(m,n),则em=1-1a=1-1am-1,消去a，化简可得em=mem-1，如图所示，画出y=ex与y=xex-1的图象，观察可知它们交点横坐标m1,则eme,这与1-1a90,远离a时，apd190,故正确，错误；将三角形aa1c与三角形d1a1c展开，当a、p、d1三点共线时，ap+pd1最小，又因为，展开后，cosaa1d1=cos2aa1c=-13,由余弦定理可得ap+pd1=1+1-211(-13)=263,故正确.三、解答题：共7题17在abc中，角a,b,c所对的边分别是a,b,c，asina+bsinb-csincsinbsinc=233a.()求角c；()若abc的中线cd的长为1，求abc的面积的最大值.【答案】()asina+bsinb-csincsinbsinc=233a,cosc=a2+b2-c22ab=33sinc，即tanc=3,c=3.()由三角形中线长定理得：2(a2+b2)=22+c2=4+c2，由三角形余弦定理得：c2=a2+b2-ab，消去c2得:4-ab=a2+b22ab,ab43(当且仅当a=b时，等号成立)即sabc=12absinc124332=33.【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式，考查了转化思想与基本不等式、逻辑推理能力与计算能力.(1)将asina+bsinb-csincsinbsinc=233a中的角化为边，再结合余弦定理cosc=a2+b2-c22ab求解即可；(2) 由三角形中线长定理得：2(a2+b2)=22+c2，再利用余弦定理c2=a2+b2-ab，消去c2，结合基本不等式求出ab的取值范围，再利用三角形的面积公式求解即可.18如图，已知菱形abef所在的平面与abc所在的平面相互垂直，ab=4,bc=6,bcbe,abe=3.()求证：bc平面abef；()求平面acf与平面bce所成的锐二面角的余弦值.【答案】()取ab中点o，连结oe，由已知易得abe是正三角形，所以oeab，又因为平面abef平面abc，所以oe平面abc，即oebc，又因为bcbe,所以bc平面abef.()如图建立空间直角坐标系：则a(0,-2,0),b(0,2,0),c(6,2,0),e(0,0,23)，取eb中点n，易得平面bce的法向量是an=(0,3,3)，设面acf的法向量是n=(x,y,z)，则由nac=0naf=0，得nac=(x,y,z)(6,4,0)=0nbe=(x,y,z)(0,-2,23)=0，即6x+4y=0-2y+23z=0，则令z=1，得n=(-22,3,1)n=(-22,3,1),cos=ann|an|n|=33所以平面与acf平面所bce成的锐二面角的余弦值是33.【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、二面角、空间向量的应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力.(1) 取ab中点o，连结oe，由题意可得oeab，利用面面垂直的性质定理可得oe平面abc，则有oebc，结合条件bcbe，则可得结论；(2) 如图建立空间直角坐标系，易得平面bce的一个法向量an，求出面acf的一个法向量n，再利用向量的夹角公式cos=ann|an|n|求解即可.19某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天.两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内(含40件)的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元.经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下：()现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率；()若将频率视作概率，回答以下问题：()记乙厂家的日返利额为x(单位：元)，求x的分布列和数学期望；()商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由.【答案】()记“抽取的两天销售量都大于40”为事件a，则p(a)=c22c102=145.()()设乙产品的日销售量为a，则当a=38时，x=384=152；当a=39时，x=394=156；当a=40时，x=404=160；当a=41时，x=404+16=166；当a=42时，x=404+26=172；x的所有可能取值为：152,156,160,166,172，x的分布列为ex=152110+15615+16015+16625+172110=162.()依题意，甲厂家的日平均销售量为：380.2+390.4+400.2+410.1+420.1=39.5，甲厂家的日平均返利额为：70+39.52=149元，由()得乙厂家的日平均返利额为162元(149元)，推荐该商场选择乙厂家长期销售.【解析】本题主要考查茎叶图、古典概型、排列组合、离散型随机变量的分布列与期望，考查了分析问题与解决问题的能力.(1)根据题意，由古典概型的概率公式可得c22c102；(2)由题意，x的可能值：152,156,160,166,172,求出每一个x的概率，即可得出分布列与期望；() 依题意，求出甲厂家的日平均销售量为：380.2+390.4+400.2+410.1+420.1，则可得甲厂家的日平均返利额，与乙厂家的日平均返利额进行比较，即可得出结论.20如图，抛物线c:x2=2py(p0)的准线为y=-1，取过焦点f且平行于x轴的直线与抛物线交于不同的两点p1,p2，过p1,p2作圆心为q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且p1qp2=90.()求抛物线c和圆q的方程；()过点f作直线l与抛物线c和圆q依次交于m,a,b,n，求|mn|ab|的最小值.【答案】() 因为抛物线c:x2=2py(p0)的准线为y=-1;所以-p2=-1解得p=2，所以抛物线c的方程为x2=4y.当y=1时，由x2=4y得：x=2，不妨设p1在左侧，则p1(-2,1)，|p1f|=2由题意设圆q的方程为：x2+(y-b)2=r2(b1,r0)，由p1qp2=90且|p1q|=|p2q|知：p1qp2q，p1qp2是等腰直角三角形且qp1p2=45，|qf|=|p1f|=2，|p1q|=|qf|2+|p1f|2=22，则b=3,r=22，圆q的方程为：x2+(y-3)2=8.()由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为:y=kx+1圆心q(0,3)到直线l的距离为:，d=2k2+1.|ab|=2r2-d2=42-11+k2由x2=4yy=kx+1得：y2-(4k2+2)y+1=0，设mx1,y1,n(x2,y2),由抛物线定义有:|mn|=y1+y2+2=4(k2+1)|mn|ab|=16(k2+1)2-1k2+1设t=k2+1，则:且t1，|mn|ab|=16t2-1t=162t2-t=162(t-14)2-18，当t=1即k=0时,的|mn|ab|最小值为16.【解析】本题主要考查抛物线的方程与性质、圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系，考查了方程思想与逻辑推理能力.(1)由题意-p2=-1，易得抛物线方程；由题意y=1与抛物线方程联立求出点p1,p2的坐标，且点q在直线y=1的上方，易得p1qp2是等腰直角三角形，进而求出圆心与半径即可得出结论；(2) 由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为:y=kx+1，求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理易得ab=42-11+k2，联立直线与抛物线方程，由韦达定理，结合抛物线的定义可得mn=4(k2+1)，化简|mn|ab|，易得结论.21已知函数f(x)=lnx-kx+k.()若f(x)0有唯一解，求实数k的值；()证明：当a1时，x(f(x)+kx-k)0时，且x(0,1k时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(1k,+)时，f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)有唯一的一个最大值为f(1k)，令f(1k)=k-lnk-1=0，得k=1，此时f(x)有唯一的一个最大值为f(1)，且f(1)=0，故f(x)0的解集是1，符合题意；综上，可得k=1.()要证当a1时，x(f(x)+kx-k)0，即证ex-x2-xlnx-10.由()得，当k=1时，f(x)0，即lnxx-1，从而xlnxx(x-1)，故只需证ex-2x2+x-10，当x0时成立；令h(x)=ex-2x2+x-1(x0)，则h(x)=ex-4x+1，令f(x)=h(x)，则f(x)=ex-4，令f(x)=0，得x=2ln2.因为f(x)单调递增，所以当x(0,2ln2时，f(x)0，f(x)单调递减，即h(x)单调递减，当x(2ln2,+)时，f(x)0，f(x)单调递增，即h(x)单调递增，所以h(ln4)=5-8ln20，h(2)=e2-8+10，由零点存在定理，可知x1(0,2ln2)，x2(2ln2,2)，使得h(x1)=h(x2)=0，故当0xx2时，h(x)0，h(x)单调递增；当x1xx2时，h(x)0，故当x0时，h(x)0，所以原不等式成立.解法二：()函数f(x)的定义域为(0,+).f(x)=1-kxx，当k0时，f(x)0，f(x)在(0,+)上单调递增，且f(1)=0，所以f(x)0的解为1,+)，此时不符合题意；当k0时，f(x)=1-kxx=-kx(x-1k)，所以当x(0,1k时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(1k,+)时，f(x)0，g(k)单调递增，所以g(k)g(1)=0，由此可得当k0且k1时，f(1k)0，且当x0+,x+时，f(x)-，由零点存在定理，x1(0,1k),x2(1k,+)，使得f(x1)=f(x2)=0，当x1xx2时，f(x)0，解集不唯一，不符合题意；当k=1时，f(x)f(1)=0，所以f(x)0的解集是1，符合题意；综上可得，当k=1时，f(x)0有唯一解；()要证明当a1时，x(f(x)+kx-k)0，(因为ax2x2)即证ex-x2-xlnx-10，令f(x)=ex-x2-xlnx-1(x0)，则f(x)=ex-2x-lnx-1，令g(x)=f(x)，则g(x)=ex-2-1x在(0,+)上单调递增，且g(1)0，所以x0(1,2)使得g(x0)=0，即ex0=2+1x0，所以当xx0时，g(x)0，g(x)单调递增，即f(x)递增；当0xx0时，g(x)0，g(x)单调递减，即f(x)递减，所以f(x0)min=ex0-2x0-lnx0-1=1x0-2x0-lnx0+1，h(x)=1x-2x-lnx+1，当x(1,2)时递减，f(x0)min0，由零点存在定理，可得x1(0,x0)，x2(x0,32)，f(x1)=f(x2)=0故当0xx2时，f(x)0，f(x)单调递增，当x1xx2时，f(x)0，f(x)单调递减，当x0+时，f(x)0，由f(x2)=0得，ex2=2x2+lnx2+1，1x0x232，又f(x2)=ex2-x22-x2lnx2-1=-x22+2x2+lnx2-x2lnx2，令m(x)=-x2+2x+lnx-xlnx(1x32)，则m(x)=-2x+2+1x-lnx-1在(1,32)递减，且m(1)=0，所以m(x)0，所以当1x0，即f(x2)0，所以f(x)0，即原不等式成立.【解析】本题主要考查导数、函数的性质与极值，考查了转化思想与分类讨论思想、分析法、逻辑推理能力与计算能力.法一：(1)由题意，f(x)max=0的解唯一，f(x)=1-kxx，分k0、k0两种情况讨论函数的单调性并求出f(x)max，即可得出结论；(2)由题意，当a1时，ex-ax2-xlnx-10，即证ex-x2-xlnx-10，由(1)的结论得：ex-2x2+x-10，当x0时成立；令h(x)=ex-2x2+x-1(x0)，求导并判断函数的单调性，进而易证结论；法二：(1)同解法一；(2) 由题意，当a1时，ex-ax2-xlnx-10，即证ex-x2-xlnx-10，令f(x)=ex-x2-xlnx-1(x0)，求导并判断函数的单调性，即可得出结论.22在平面直角坐标系xoy中，曲线c1的方程为x23+y2=1，以坐标原点o为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为=4sin(+3)，射线om的极坐标方程为=0(0).()写出曲线c1的极坐标方程和曲线c2的直角坐标方程；()若射线om平分曲线c2，且与曲线c1交于点a，曲线c1上的点b满足aob=2，求|ab|.【答案】()曲线c1的极坐标方程为2=31+2sin2，曲线c2的直角坐标方程为x-32+y-12=4.