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用正交变换化二次型为标准型 1 2 把二次型化标准型的根据与步骤 要使二次型经可逆线性变换变成标准形 这就是要使 2 也就是要使 因此 上述等价的问题就是 对于对称阵A 寻求可逆矩阵C使得 为对角阵 这个问题称为把对称阵A合同对角化 成为对角阵 3 由上节定理5 8知 任给对称阵A总有正交阵P 使 把此结论应用于二次型 即有 定理5 9任给二次型 使之化为标准形 其中 推论任给n元二次型 使 为规范形 总有正交变换 是f的矩阵A的特征值 总有正交变换 4 用正交变换化二次型为标准形的步骤为 1 写出f对应的实对称矩阵A 2 寻找正交矩阵P 3 则正交变换 使 5 例5 5 1求一个正交变换 把二次型 化为标准形 解 二次型的矩阵为 6 这与例5 4 1所给矩阵相同 按例5 4 1的结果 有正交阵 使 于是有正交变换 7 把二次型f化成标准形 8 如果要把二次型化成规范形只需令 则得f的规范形为 9 例5 5 2用正交变换将二次型 化为标准形 若设 问该曲面为何种类型的曲面 10 解 二次型的矩阵为 11 得A的特征值为 当 求解 因为它们已正交 故只需单位化为 得两个线性无关的特征向量为 12 当 求解 得一个解 单位化得 所求正交矩阵 13 正交变换 为 化f为标准形 显然 由解析几何知道 这是一个单叶双曲面方程 14 注 如果要画出上述曲面的几何图形 则要求出相应的坐标
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